Пусть 
множество комплексных чисел, 
- декартовое произведение, а 
множество матриц размера 
с комплексными элементами.
Если для матрицы 
имеет место неравенство 
при всех 
, то матрица 
называется положительно определенным. Если выполняется условие 
при всех ненулевых 
, то матрица называется строго положительно определенным.
Если матрица 
является положительной, то говорят, что 
.
Если при всех 
выполняется равенство 
, то матрица называется эрмитовой или самосопряженной.
Приведем некоторые факты о положительно определенных матриц.
Предложение 1. Матрица 
является положительной тогда и только тогда, когда она эрмитова и ее все собственные значения неотрицательны. Матрица является строго положительной тогда и только тогда, когда она эрмитова и ее все собственные значения положительны.
Предложение 2. Матрица является положительной тогда и только тогда, когда она эрмитова и ее главные миноры неотрицательные. Матрица является строго положительной тогда и только тогда, когда она эрмитова и ее все главные миноры положительные.
Предложение 3. Матрица является положительной тогда и только тогда, когда существует матрица 
такая, что 
. Матрица является строго положительной тогда и только тогда, когда матрица не сингулярная.
Предложение 4. Матрица является положительной тогда и только тогда, когда существует положительная матрица такая, что 
. Матрица является строго положительной тогда и только тогда, когда матрица строго положительна.
Заметим, что в Предложение 4, матрица является единственной, и она называется квадратным корнем матрицы 
и обозначается через 
.
Пусть
евклидово пространство, т. е. линейное пространство со скалярным произведением.
Теорема 1. Матрица 
является положительной тогда и только тогда, когда существуют элементы 
такие, что,
.
Матрица является строго положительной тогда и только тогда, когда элементы 
, 
линейно независимы.
Рассмотрим пример на применении теоремы 1.
Пример 1. Пусть 
фиксированные вещественные положительные числа. Определим матрицу размера 
с элементами
.
Такая матрица называется матрицей Коши. Тогда имеет место соотношение
.
Если 
, 
, то 
и при всех 
имеет место равенство 
, где для элементов 
справедливо равенство
.
В силу теоремы 1 матрица
является положительной.
Если и 
положительные эрмитовы матрицы, то 
также положительная эрмитова матрица. Произведение матриц 
является эрмитовым тогда и только тогда, когда и коммутативные матрицы.
Матрица 
называется симметрическим произведением матриц и . Если матрицы и эрмитовы, то 
также эрмитова. Вообще говоря, из положительности матриц и не всегда вытекает положительность матрицы 
.
Пример 2. Для любых 
определим эрмитовы матрицы
, 
.
Видно, что если 
, то матрица 
является положительно определенной. Для любого элемента 
имеет место равенство
.
Через 
обозначим аргумент комплексного числа 
. Тогда имеет место равенство 
. Поэтому квадратичная форма 
записывается в виде 
. Таким образом, при 
матрица 
является положительно определенной. По определению 
имеет место равенство
,
следовательно, для любого элемента 
имеет место равенство
.
При этом, если
близко к нулю, а 
близко к 1, то матрица 
не является положительно. Например, для элемента 
имеет место равенство 
. Если положить 
и 
, то 
.
Пусть 
и 
эрмитовы матрицы и матрица 
строго положительна. Если симметрическое произведение 
является положительным (строго положительным), то матрица 
также является положительным (строго положительным).
Литература:
- R. Bhatia. Matrix analysis. Springer-Verlag, New York, 1997.
- R. Bhatia. Positive definite matrices. In: Princeton Series in Applied Mathematics. Princeton University Press, 1997.
