Пусть множество комплексных чисел, - декартовое произведение, а множество матриц размера с комплексными элементами.

Если для матрицы имеет место неравенство при всех , то матрица называется положительно определенным. Если выполняется условие при всех ненулевых , то матрица называется строго положительно определенным.

Если матрица является положительной, то говорят, что .

Если при всех выполняется равенство , то матрица называется эрмитовой или самосопряженной.

Приведем некоторые факты о положительно определенных матриц.

Предложение 1. Матрица является положительной тогда и только тогда, когда она эрмитова и ее все собственные значения неотрицательны. Матрица является строго положительной тогда и только тогда, когда она эрмитова и ее все собственные значения положительны.

Предложение 2. Матрица является положительной тогда и только тогда, когда она эрмитова и ее главные миноры неотрицательные. Матрица является строго положительной тогда и только тогда, когда она эрмитова и ее все главные миноры положительные.

Предложение 3. Матрица является положительной тогда и только тогда, когда существует матрица такая, что . Матрица является строго положительной тогда и только тогда, когда матрица не сингулярная.

Предложение 4. Матрица является положительной тогда и только тогда, когда существует положительная матрица такая, что . Матрица является строго положительной тогда и только тогда, когда матрица строго положительна.

Заметим, что в Предложение 4, матрица является единственной, и она называется квадратным корнем матрицы и обозначается через .

Пусть евклидово пространство, т. е. линейное пространство со скалярным произведением.

Теорема 1. Матрица является положительной тогда и только тогда, когда существуют элементы такие, что,

.

Матрица является строго положительной тогда и только тогда, когда элементы , линейно независимы.

Рассмотрим пример на применении теоремы 1.

Пример 1. Пусть фиксированные вещественные положительные числа. Определим матрицу размера с элементами

.

Такая матрица называется матрицей Коши. Тогда имеет место соотношение

.

Если , , то и при всех имеет место равенство , где для элементов справедливо равенство

.

В силу теоремы 1 матрица является положительной.

Если и положительные эрмитовы матрицы, то также положительная эрмитова матрица. Произведение матриц является эрмитовым тогда и только тогда, когда и коммутативные матрицы.

Матрица называется симметрическим произведением матриц и . Если матрицы и эрмитовы, то также эрмитова. Вообще говоря, из положительности матриц и не всегда вытекает положительность матрицы .

Пример 2. Для любых определим эрмитовы матрицы

, .

Видно, что если , то матрица является положительно определенной. Для любого элемента имеет место равенство

.

Через обозначим аргумент комплексного числа . Тогда имеет место равенство . Поэтому квадратичная форма записывается в виде . Таким образом, при матрица является положительно определенной. По определению имеет место равенство

,

следовательно, для любого элемента имеет место равенство

.

При этом, если близко к нулю, а близко к 1, то матрица не является положительно. Например, для элемента имеет место равенство . Если положить и , то .

Пусть и эрмитовы матрицы и матрица строго положительна. Если симметрическое произведение является положительным (строго положительным), то матрица также является положительным (строго положительным).

Литература:

1. R. Bhatia. Matrix analysis. Springer-Verlag, New York, 1997.
2. R. Bhatia. Positive definite matrices. In: Princeton Series in Applied Mathematics. Princeton University Press, 1997.