Об индексе дефекта и спектре квазидифференциального оператора четвертого порядка

При разделении переменных в динамической краевой задаче, описывающей малые колебания неоднородного стержня, жестко закрепленного на правом конце и подвергаемого действию следящей силы на правом конце, возникает спектральная задача четвертого порядка. Спектральные свойства таких задач, вообще говоря, могут отличаться от спектральных свойств аналогичных задач второго порядка. Например, спектр задачи о малых колебаниях стержня в отличие от задачи о малых колебаниях струны может не быть простым. Поэтому результаты, полученные для задач Штурма – Лиувилля, нельзя автоматически применять к задачам четвертого порядка.

Пусть – формально самосопряженная квазидифференциальная операция четвертого порядка:,

где, - мнимая единица. Операция задана на полуоси . В дальнейшем при некоторых предположениях о поведении коэффициентов квазидифференциальной операции найдем асимптотику решений дифференциального уравнения

, (1)

когда . Установим индекс дефекта минимального симметричного оператора , порожденного операцией в гильбертовом пространстве ; изучим природу спектра самосопряженного расширения оператора .

1. Следуя Ф. С. Рофе-Бекетову, определим квазипроизводные следующим образом:

.

При этом .

Теперь сведем уравнение (1) к системе дифференциальных уравнений первого порядка. Из определения квазипроизводых следует, что

.

Если положить то уравнение (1) будет эквивалентно системе квазидифференциальных уравнений

(2)

где

.

Будем считать, что для всех а, функции суммируемы в интервале , т.е. их модули медленно меняются на бесконечности. Эти условия на коэффициенты выражения , позволяют получить асимптотические формулы для решений уравнения (1) и их квазипроизводных по схеме, предложенной в начале 50-х годов прошлого века И. М. Рапопортом [1] (см. также [2, 3]).

Представим матрицу в виде суммы двух матриц ­и , имеющих вид

, ,

и найдем собственное значение матрицы , т.е. корни характеристического уравнения , где - единичная матрица размерности . Раскрывая этот определитель, получим уравнение

. (3)

Решая это уравнение, найдем собственные значения матрицы :

,

Значения корней выбираются так, чтобы при положительных значениях функции и принимали вещественные, а функции и – чисто мнимые значения.

Найдем матрицу такую, что

(4)

где - диагональная матрица, диагональными элементами которой являются собственные значения матрицы . Равенство (4) означает, что столбцы матрицы являются собственными векторами матрицы , отвечающими собственным значениям . Следовательно, матрица _{имеет вид}

.

Элементы матрицы можно найти, решая уравнение .

Перепишем это уравнение в виде

Следовательно, можно считать, что

Таким образом, матрица имеет вид

.

Теперь обычным способом находим обратную матрицу

.

Так как в рассматриваемом случае выполняются все условия теоремы о преобразовании системы линейных квазидифференциальных уравнений первого порядка к – диагональному виду (см., например, [1]), то подстановка приводит систему (2) к виду

(5)

где элементы матрицы суммируемы по переменной в интервале , а элементы матрицы являются непрерывными функциями переменной . Если все функции в интервале сохраняют знак то система (5) имеет четыре линейно независимых решения вида

,

где

Преобразование переводит решения - диагональной системы (5) в некоторые решения системы (2). Учитывая вид матрицы _, находим, что решения уравнения (1) и их квазипроизводные удовлетворяют, если _, следующим асимптотическим формулам:

(6)

.

2. Найдем индекс дефекта минимального оператора , порожденного дифференциальной операцией в гильбертовом пространстве (см., например [4]). Из суммируемости функций и на промежутке следует непрерывность функций и , а также существование пределов и .

Тогда, если _{, то из} уравнения (3) получим уравнение

, (7)

где . Выберем невещественное число так, чтобы все корни уравнения (7) имели различные вещественные части. Расположим их по убыванию вещественных частей . Так как уравнение (7) содержит только четные степени , то одновременно с его корнем будет также ; поэтому можно считать, что вещественные части корней - положительные, а вещественные части корней - отрицательны. Поскольку функция непрерывна и то, начиная с некоторого значения , вещественные части становятся положительными, а вещественные части функций становятся отрицательными. Отсюда следует, что функции не принадлежат пространству , а функции принадлежит пространству .

Докажем, что при и

. (8)

Действительно,

.

Так как в рассматриваемом случае , то из последнего соотношения следует формула (8).

Линейная комбинация вида не принадлежит пространству , если хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля. Если – первый из коэффициентов отличный от нуля, то, устремляя _{, получим} .

Поскольку , то и . Следовательно, , тогда . Это значит, что индекс дефекта оператора есть (2,2). Таким образом, справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Если для некоторого функции - принадлежат и для любых , то уравнение (1) имеет четыре линейно независимых решения , которые удовлетворяют, установленным выше, _{формулам (6). Индекс дефекта оператора есть (2,2).}

_{Пусть - самосопряженное расширение оператора L0. Так как индекс дефекта оператора L0 есть (2,2), то самосопряженный оператор определяется системой краевых условий в точке , которые, следуя А.В. Штраусу, можно представить в виде}

_{, (9)}

_{где - некоторая прямоугольная матрица, состоящая из двух строк и четырех столбцов, такая что} , где

.

Пусть. Найдем собственные значения самосопряженного оператора , расположенные на отрицательной полуоси

Соответствующая собственная функция должна принадлежать и поэтому, при соответствующей нумерации , является линейной комбинацией функций и , т. е. .

Кроме того, собственная функция должна удовлетворять условию (9), которое теперь можно представить в виде

. (10)

Эта система имеет нетривиальное решение относительно и тогда и только тогда, когда обращается в нуль определитель

.

Пусть - нуль этого определителя. Тогда соответствующая собственная функция оператора представима формулой

,

в которой содержатся коэффициенты , являющиеся нетривиальными решениями системы (10) соответствующими . Кратность собственного значения определяется рангом матрицы определителя в точке . То, что отрицательные , не совпавшие ни с одним из собственных значений оператора , не принадлежат спектру этого оператора, следует из ограниченности при этих l резольвенты оператора , где - тождественный оператор.

Пусть - симметрический квазидифференциальный оператор с индексом дефекта , а - его самосопряженное расширение. Если при некотором вещественном значении спектрального параметра его дефектное число оператора меньше , то принадлежит спектру самосопряженного оператора . Если, кроме того, не является собственным значением оператора , то принадлежит непрерывной части спектра оператора . Пусть теперь . В этом случае , а функции _, не принадлежат . Более того, никакая нетривиальная линейная комбинация не принадлежит

Действительно, если, то . Если , то функция имеет вид .

Предположим, что тогда получим

и поэтому функция не принадлежит пространству. В этом случае, когда , требуемое соотношение можно получить, используя ограниченность сверху при любом фиксированном функции .

Теорема 2. Если коэффициенты дифференциального выражения удовлетворяют условиям: , то непрерывная часть спектра самосопряженного оператора заполняет всю положительную полуось , а на отрицательной полуоси может находиться только дискретная часть спектра самосопряженного оператора .

Замечание. В случае, когда коэффициенты тождественно равны нулю, получаем хорошо известную ситуацию суммируемых коэффициентов.

Литература:

1. Рапопорт И.М. О некоторых асимптотических методах в теории дифференциальных уравнений. – Киев: Изд-во АН УССР, 1954.
2. Everitt W. N. Fourth order singular differential equations // Math. Ann. – 1963. – V. 149. – P. 230 – 340.
3. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. – М.: Наука, 1969. – 526 с.
4. Плеснер А.И. Спектральная теория линейных операторов. – М.: Наука, 1965. – 624 с.