Изучаются свойства собственных значений и собственных функций в задаче о нормальных колебаниях вязкой несжимаемой стратифицированной жидкости, заполняющей упругий сосуд. Получены утверждения о локализации спектра и доказана терема о полноте собственных функций с конечным дефектом.
Изучение задач о движении жидкости в сосуде
относятся к числу классических задач гидромеханики. Движения жидкости
и сосуда, зависящие от времени как
называются нормальными или свободными.
Задачи о колебаниях вязкой стратифицированной жидкости в неподвижном
сосуде рассматривались в
.
В
были исследованы некоторые задачи о колебаниях вязкой несжимаемой
однородной жидкости в упругом сосуде, однако условия согласования
между жидкостью и упругим сосудом в этой работе носили математической
характер.
Настоящая работа посвящена задаче о нормальных колебаниях системы
вязких несжимаемых стратифицированных жидкостей в упругом сосуде. При
этом условия согласование между упругой стенкой и жидкостью будет
выписано, как это принято в линейной теории. Часть результатов данной
работы изложена в
.
1. Постановка задачи. Рассмотрим ограниченную
область
и
пусть
подобласть и
,
причем границы
класса
.
Пусть в упругом сосуде занимающем область
находится система из двух вязких стратифицированных несжимаемых
жидкостей заполняющая область
.
Границы раздела жидкостей обозначим через
.
Пусть
и
части
,
лежащие соответственно ниже и выше
.
.
Соответствующий участок упругого сосуда обозначим через
Напомним, что основным частотным параметром, характеризующий
распространение и типы волн в стратифицированной жидкости, является
так называемая частота Вяйсяля – Брента
которая определяется соотношением
где
и
соответственно стационарное распределение плотности и его
производная, а
ускорение
свободного падения. Будем считать, что на стратифицированную жидкость
действует гравитационное поле с ускорением
оси
декартовой системы координат
.
Рассматривается случай устойчивой стратификации жидкости:
где
считается непрерывной функцией
Тогда в приближении Буссинеска линеаризованные уравнения движения
стратифицированной вязкой жидкости в объеме
примут вид
где
динамическая
вязкость,
отклонение
плотности от положения равновесия
скорость
частицы жидкости. Чтобы упростить первое уравнение из (1.3) в области
заменим его приближенными уравнениями в областях
и
где
константы,
усредняющие в областях
и
значений
усредняют значения
отклонения
плотности от положения равновесия в областях
и
.
При этом на границе соприкосновения
должны, очевидно, выполнятся условия
где первое равенство означает непрерывность скорости, а второе – равенство напряжений. Здесь
тензор
Навье – Стокса, соответствующий течению
внешняя
нормаль на Г к
.
Если теперь область
заполнена вязкой стратифицированной жидкостью, уравнения движения
которой мы описываем приближенной системой (1.4) , (1.5) то уравнения
свободных колебаний такой механической системы примут вид:
тензор
напряжений изотропного упругого тела,
постоянные
Ляме,
символ
Кронекера,
плотность
тела, нормаль
внешняя
к той области, из которой берется нормальная производная. Краевое
условие (1.6) означает отсутствие напряжений на
Первое равенство (1.9) является условием прилипания вязкой жидкости
на стенке
а второе равенство напряжений на
.
(1.11) начальные данные.
Чтобы получить задачу на собственные значения будем искать решения,
зависящие от времени как
Подставляя решение такого вида в (1.6) – (1.10) и с помощью
возникающих равенств
исключая плотности
,
придем к системе
Именно
эта система является объектом исследования последующих пунктов и цель
которую мы ставим, состоит в том чтобы изучить структуру спектра и
свойства собственных функций указанной задачи.
- 2. Переход к операторному уравнению. Положим
и обозначим
подпространство в
.
Для дальнейшего исследования задачу (1.12) – (1.15) сведем к операторному пучку. С этой целью рассмотрим следующие вспомогательные задачи:
Задача I. По функции
найти решение задачи
Задача II.
По функции
найти
решение задачи
Из результатов работ
и
следует каждой из этих задач отвечает оператор, которой однозначно
задает обобщенное решение задачи. Выпишем последовательно обозначения
для этих операторов и перечислим их свойства.
I. В задаче I
возникает компактный оператор
причем
II. В задаче II возникает непрерывный оператор
III. В задаче III возникает компактный, самосопряженный оператор
IV. В задаче IV (а) возникает непрерывный оператор
В задаче IV (б) возникает непрерывный оператор
Заметим теперь, что если
решение задачи, отвечающее числу
,
то с помощью введенных операторов задача (1.12-1.15) может быть
записана в виде системы:
Введем операторы
Тогда последнюю систему можно записать в виде
Учитывая, что в силу (1.14)
и применяя к второму равенству системы (2.1) оператор взятия следа
получим
где
оператор взятия следа
Введем обозначение
, тогда учитывая
получим
Подставляя последнего формулу в первое и второе уравнение системы
(2.1) получим
Откуда делая замену
после некоторых преобразований придем к системе
или
где
систему (2.2) можно переписать в виде
из (2.3) видно, что исходная задача (1.12-15) свелась к исследованию операторного пучка
3. Структура спектра. Утверждение о
полноте. Сначала отметим, что так как
то операторы
определяемые равенствами
положительные в
.
Его сужение на
есть самосопряженный положительный компактный оператор, действующий в
Из результатов работы
известно, что
ограничен и его образ
является подпространством в
.
Также получается, что
в
и ограничен,
Исследование операторного пучка приводит к следующему результату.
Теорема. Спектр пучка (2.4) (и задачи (1.12-15)) состоит из
собственных значений (с.з.).
конечной кратности, имеющих предельные точки в
и на
,
расположен в правой полуплоскости и симметричен относительно
вещественной оси. При этом при больших
все с.з.
,
за исключением конечного числа точек попадают в сколь угодно малые
углы примыкающие к мнимой оси и положительной полуоси.
Доказательство. Введем обозначения
произвольное достаточно малое число а,
выбирается достаточно большим,
где
достаточно
малое число,
-
также достаточно мало.
Прежде всего подчеркнем, что говоря о свойствах спектра пучка
в этой теореме, мы рассматриваем
не как пучок с абстрактными оператора перечисленными выше, а как
конкретный пучок полученный сведением именно из задачи (1.12-15). В
свете этого сразу получим, что спектр симметричен относительно
вещественной оси и
,
так как это непосредственно проверяется для задачи (1.12-15).
Дискретность спектра кроме точек 0 и
,
есть следствие теоремы 5.1 из
примененной к
.
Утверждение о локализации спектра при больших и малых
следует из аналитичности вектор – функции
Функция
в (2.5) является сопряженным к оператор функции
.
Теорема доказана.
При формулировке проводимого ниже утверждения для простоты будем
считать, что все с. з.
пучка
(и задачи 1.12 – 15) простыми. Каждому такому
и отвечающему собственному вектору
пучка
поставим в соответствие вектор
из пространства
.
Теорема 2. Система векторов
отвечающих всем с. з.
при
полна в
с точностью до конечномерного подпространства.
Доказательство. Допустим, что система
неполна в указанном пространстве. Тогда согласна лемме 2 из
найдутся векторы
из которых хотя бы один отличен от нуля, такие что вектор –
функция
будет аналитична в
.
Выбираем
достаточно малым, учитывая что
имеет конечный порядок роста, и применяя к ней теорему Фрагмена –
Линделефа вне области
можно получить, что
Полученное противоречие доказывает, что система
полна в пространстве
с точностью до конечномерного подпространства. Теорема доказана.
Замечание. Для того, чтобы сформулировать результат о полноте
с конечным дефектом для исходной задачи (1.12-15), нужно проследить
за обратным переходом от пучка
из (2.4) к этой задаче.
Литература:
Копачевский Н. Д., Темнов А. Н. Свободные колебания вязкой стратифицированной жидкости в сосуде – Деп. в ВИНТИ 16.08.33, № 4531-83 ДЕП, 43 с.
Копачевский Н. Д., Темнов А. Н. Колебания стратифицированной жидкости в бассейне произвольной формы. – ЖВМ и МФ, 1986, т. 26, № 5.
Оразов М. Б. Некоторые вопросы спектральной теории несамосопряженных операторов и связанные с ними задачи механики. - Докт. Дисс., Ашхабад. 1983.
Ashirov A. On the problem about fluctuations of the system of a viscous stratified liquid in the elastic vessel. – The IV congress of the Turkic World mathematical society. Book of abstracts. Baku, Azerbaijan, 2011.
Краусс В. К. Внутренние волны. – Л., “Гидрометеоиздат”, 1968.
Аскеров Н. К., Крейн С. Г., Лаптев Г. И. Задача о колебаниях вязкой жидкости и связанные с ней операторные уравнения -функциональный анализ и его приложения, 1968, т. 2, № 2.
Бабский В. Г., Копачевский Н. Д., Мышкис А. Д., Слобожанин Л. А., Тюпцов А. Д. Гидромеханика невесомости. – М., “Наука”, 1976.
Гохберг И. Ц, Крейн М. Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов, М., “Наука” 1965.
Радзиевский Г. В. Квадратичный пучок операторов. – Препринт, Киев 1976.