О точном решении задачи движения вязкой сжимаемой жидкости в канале прямоугольной формы

Найдено точное решение одной модели движения жидкости в канале прямоугольной формы. Это решение может быть использовано для проверки работоспособности численных алгоритмов.

Постановка задачи о стационарном течении вязкой сжимаемой жидкости в канале прямоугольной формы.

Пусть в области с границами протекает вязкая сжимаемая жидкость. Ширина канала слева, куда втекает жидкость, имеет размер

Рисунок 1 – Область определения задачи

Для вывода уравнений, описывающих течение, примем за основу уравнение движения в напряжениях [1]:

(1)

где - тензор напряжений в жидкости,

- скорость,

- плотность.

Для замыкания (1) запишем определяющее соотношение, представляющее собой зависимость между девиаторами напряжений и деформаций или скоростей деформаций. Вид конечных уравнений будет определяться выбором определяющего соотношения.

Определяющее выражение для имеет следующий вид:

(2)

где

- символ Кронекера,

- динамический коэффициент вязкости,

- объёмный коэффициент вязкости,

р – постоянная, имеющая размерность давления.

Система уравнений движения (1) не содержит давление. Для вязкой сжимаемой жидкости используется дополнительное соотношение (2), в которое давление входит явно.

Давление не связано с деформациями и не совершает работу при движении жидкости. Это не позволяет использовать вариационные принципы аналитической динамики для получения разрешающих уравнений и граничных условий в давлениях. Таким образом, будем рассматривать модель жидкости со специальным определяющим уравнением, связывающим все компоненты напряжений со скоростями деформаций:

(3)

Заметим, что для реальных жидкостей [2] давление намного больше касательных напряжений, а дивергенция скорости мала. Поэтому в уравнении (3) коэффициент , определяющий давление, должен быть намного больше коэффициента вязкости .

Подставив определяющее соотношение в уравнение движения (1), и воспользовавшись определением тензора скоростей деформации в виде , получим уравнения:

₍₄₎

или

₍₅₎

Целью гидродинамического расчёта является нахождение полей скоростей. Плотность и вязкость, входящие в уравнения, считаются известными.

С математической точки зрения, полученные уравнения (4), (5) относятся к классу нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка. Их нелинейность, обусловленная наличием конвективных членов ускорения, приводит к вычислительным трудностям при решении [3]. Поэтому поставим задачу в таком виде, чтобы можно было сохранить не все конвективные члены и не все члены, учитывающие вязкость.

Аналитический метод решения одно- и двумерной задачи.

Рассмотрим одномерную модель течения вязкой сжимаемой жидкости. Движение жидкости в канале (рисунок 1) установившееся [4], следовательно, все производные по времени равны нулю. Так как модель одномерная, то равны нулю и компоненты скорости по осям Y, Z. Таким образом, исходное уравнение с граничными условиями будет иметь вид:

(6)

где – давление, - объёмная вязкость, - плотность, - длина канала.

Общее решение имеет вид:

(7)

Учитывая граничные условия, находим С₁ , С₂ и подставляем их в решение. Таким образом, точное решение имеет вид:

(8)

Рисунок 2 – Распределение скорости по длине канала

Рассмотрим двумерную модель течения вязкой сжимаемой жидкости. Предположим, что течение плоское, т.е. . Тогда имеем:

(9)

В результате требуется решить в указанной области (рисунок 1) уравнение движения жидкости (9) со следующими граничными условиями:

Введём параметр в задачу [5]. Строить решение будем в виде суммы ряда по степеням малого параметра :

(10)

Подставляя выражение (10) в (9) и раскрывая скобки, получаем после группировки членов с одинаковыми степенями :

Приравнивая нулю коэффициенты при одинаковых степенях , получаем последовательность линейных краевых задач:

(11)

Решив все уравнения (11) с учётом граничных условий и подставив выражения для , , в (10), получаем искомое решение двумерной задачи. Так, при сохранении трех слагаемых ряда (10) имеем:

(12)

Рисунок 3 – Распределение скорости по ширине канала

В результате получено распределение скорости по ширине канала (рисунок 3). Рассмотренная модельная задача одно- и двумерного течения вязкой сжимаемой жидкости может быть использована для тестирования численной схемы интегрирования уравнений (1).

Литература:

1. Мейз Дж. Теория и задачи механики сплошных сред [Текст] / Дж.Мейз. – М.: ЛКИ, 2007. – 320 с.

2. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа [Текст] / Л.Г. Лойцянский. – М.: Наука, 1970. – 904 с.

3. Басниев К.С., Дмитриев Н.М., Розенберг Г.Д. Нефтегазовая гидромеханика [Текст] / К.С. Басниев, Н.М. Дмитриев, Г.Д. Розенберг. – Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2005. – 544 с.

4. Биркгоф Г. Гидродинамика [Текст] / Г. Биркгоф. – М.: ИЛ, 1963. – 244 с.

5. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механики жидкости [Текст] / М. Ван-Дайк. - М.: Мир, 1967. – 296 с.