Решение обратной задачи для параболического уравнения, возникающего при моделировании денежных накоплений семьи



Работа посвящена исследованию обратной задачи для одногопараболического уравнения, возникающего при моделировании процесса денежного моделирования. Дополнительная информация для решения обратной задачи задается в некоторой точке. Доказательство существования и единственности решения основано на сведении ее к интегральному уравнению относительно неизвестной функции .

Ключевые слова: обратные задачи, параболическое уравнение, уравнение Вольтерра.

The work is devoted to the study of the inverse problem for one parabolic equation that arose in the course of modeling the process of monetary modeling. Additional information for solving the inverse problem is given at some point. The proof of the existence and uniqueness of the solution is based on its reduction to an integral equation for an unknown function.

Keywords : inverse problems, parabolic equation, Volterra equation.

В последние годы возрос интерес к решению задач в частных производных, возникающих в финансовой математике и в экономике, в частности, процесс о денежном накоплении. Подход математического моделирования к этой проблеме приводит к изучению уравнений параболического типа. Модели предложенные в последние годы, например в [1], является стохастическими.

Обратные задачи экономики и финансовой математики : определение параметров математических моделей экономики по наблюдаемым данным, прогноз развития экономической и финансовой ситуации и т. д.

Денежные накопления — чистый доход общества, создаваемый и реализуемый на предприятии, в домашнем хозяйстве, в бизнесе в денежной форме, в виде чистого дохода, прибыли, затрачиваемой на накопления.

Известно, что [1] для математического моделирования денежных накоплений семьи предварительно необходимо ввести некоторые упрощающие допущения, применяемые при моделировании, а также функции и параметры, В реальности накопления семьи имеют в большей степени дискретный характер: семья получает зарплату и накопления семьи скачкообразно возрастают и далее не изменяются до ближайшей траты денег. При расходах накопления семьи скачкообразно уменьшаются, то есть накопления определяются кусочно-постоянной функцией времени.

Пусть конкретная семья к моменту времени накопила общую сумму денег, которую мы обозначим через

. При построении непрерывной модели функцию надо рассматривать как непрерывно изменяющуюся во времени функцию. Этого можно достичь, если предположить, что зарплата выдается непрерывно и к концу месяца достигает оклада. Аналогично и для расходов.

Для математического моделирования денежных накоплений семьи предварительно введем некоторые упрощающие допущения, которые применяются при моделировании, а также функции и параметры, описывающие динамику денежных накоплений. При этом применяется принцип сплошных сред , который используется при моделировании.

Постановка обратной задачи для уравнения денежных накоплений

В работе [3] дан строгий вывод уравнения денежных накоплений для так называемого ансамбля семей, которое является уравнением параболического типа

, ,(1)

где плотность распределения семей в пространстве накоплений

- известные функции,

Из множества решений уравнения (1) необходимо найти единственное решение, которое адекватно описывает динамику накоплений выделенного множества семей, схожих по своей экономической деятельности. Для этого необходимо наложить некоторые дополнительные условия, возникающие в зависимости от дополнительной информации, которой обладает исследователь. Сформулируем задачу Коши для уравнения (1) по аналогии с задачей Коши для уравнения математической физики.

Задача Коши на пространстве накоплений. Предположим, что в начальный момент времени известны накопления каждой семьи. В результате получим начальное условие

(2)

Таким образом, получили следующую задачу Коши: требуется найти решение , плотность распределения семей по накоплениям в любой момент времени , удовлетворяющие условиям (1),(2).

Пусть

, где искомая, а заданная функция.

Обратная задача. Найти пару функций и , удовлетворяющую условиям (1),(2), и дополнительному условию

(3)

Теорема 1. Пусть а функции

удовлетворяют условиям , и выполнено условие согласования Тогда решение обратной задачи (1) — (3) существует и единственно.

Доказательство. Заметим, что так как задача (1) — (3) линейна, то ее решение можно искать в виде

где

Отсюда следует, что для доказательства теоремы разрешимости задачи (1) — (3) достаточно доказать существование и единственность решения обратной задачи определения пары функций из условий

(4)

(5)

(6)

Известно [5], что решение прямой задачи (4) — (5) в пространства

имеет вид

(7)

где фундаментальное решение оператора .

Подставляя (7) в (4), и применяя дополнительную информацию (6) для функции получим линейное интегральное уравнение Вольтерра второго рода

или

(8)

где

Покажем, что ядро удовлетворяет неравенствам

(9)

(10)

Для доказательства неравенства (9), (10) рассматривается задача Коши для функции и где параметр,

(11)

(12)

Решение задачи (11), (12) можно представить через фундаментальное решение в виде

.(13)

Перепишем в следующей форме:

(14)

Так как коэффициенты оператора принадлежат пространству то из равенства (14) следует справедливость неравенств (9), (10). Отсюда следует, что решение интегрального уравнения (8) существует, единственно и имеет вид

(15)

где функция разрешающее ядро для

Покажем, что функция определенная формулой (15), принадлежит пространству Для этого рассмотрим разность Тогда из (8) получаем

(16)

Из (9), (10), (15), (16) и предположений теоремы получаем неравенство

(17)

Из (17) следует, что

Далее, покажем, что пара функций является решением задачи с однородными начальными условиями, где определена формулой (15), а

(18)

Функция заданная формулой (18), является единственным решением задачи (1), (2). Проверим, что условие (3) также выполнено. Пусть функция удовлетворяет равенству

(19)

Так как решение уравнения (8), то из (8) и (19) относительно функции получим обыкновенное дифференциальное уравнение с нулевыми начальными данными.

(20)

Следовательно, и условие (3) выполнено.

Отметим, что доказано не только существование решения, но и дан метод нахождения функции

Единственность решения задачи I следует из следующей леммы.

Лемма. Пара функций решение задачи (1) — (3) тогда и только тогда, когда функция есть решение интегрального уравнения

а функция определяется формулой

Доказательство. Было доказано, что если решение (19), то задача (1) -(3) имеет решение. Обратно, пусть и решение задачи (1) — (3). Так как

то функция представима в форме

Из условия (3) и уравнения (1) получаем, что решение интегрального уравнения (19). Лемма 1 доказана.

Таким образом, мы показали, что решение обратной задачи (1) — (3) существует и единственно. Теорема доказана.

Литература:

1. Оксендаль Б. Стохастические дифференциальные уравнения: Введение в теорию и приложения. М.: Мир, 2003.
2. Чернавский Д. С., Попков Ю. С., Рахимов А. Х. Математические модели типологии семейных накоплений // Экономика и математические методы. 1994. Т.30. Вып.2. С. 98–106.
3. Ерофеенко В. Т., Козловская И. С. Уравнения с частными производными и математические модели в экономике: Курс лекций. Изд. Стереотипное. — М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2018. — 248 с.
4. Аблабеков, Б. С. Обратные задачи для дифференциальных уравнений математической физики. -учеб, пособие. –Бишкек: КГНУ, 1997. — 184 с.