Решение методом продолжения задач математической физики в полуограниченных областях | Статья в журнале «Молодой ученый»

Автор:

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №12 (116) июнь-2 2016 г.

Дата публикации: 16.06.2016

Статья просмотрена: 86 раз

Библиографическое описание:

Меражова Ш. Б. Решение методом продолжения задач математической физики в полуограниченных областях // Молодой ученый. — 2016. — №12. — С. 43-45. — URL https://moluch.ru/archive/116/31537/ (дата обращения: 21.10.2018).



Пусть задано следующее уравнение 2-го порядка с двумя переменными в области :

(1)

Здесь — коэффициенты уравнения, определенные в области достаточно гладкие функции, одновременно в не равные нулю, а заданная функция своих аргументов.

Введем следующее обозначение: .

Мы знаем, что в области значение выражения может быть отрицательным, положительным или равным нулю, тогда соответственно в уравнение (1) называется или эллиптического, или гиперболического, или параболического типа.

Для изучения физического процесса кроме уравнения определяющий этот процесс, должны быть заданы дополнительные условия, т. е. начальные и граничные условия. С точки зрения математики это связано с неединственностью решения дифференциального уравнения.

Для нахождения решения задачи, определяющего физический процесс, нам приходиться задать дополнительные условия. Пусть область, где происходит процесс, а её граница, она частично гладкая поверхность. Для дифференциальных уравнений различают три типа задач: задача Коши; краевая задача; смешанная задача.

Мы знаем, что свободное колебание струны задается следующим уравнением:

.(2)

Общее решение этого уравнения имеет следующий вид:

Используя это решение, мы можем решить задачу Коши.

Задача Коши: Найти решение уравнение (2) в области , удовлетворяющее начальные условия:

,. (3)

Решения задачи Коши задается формулой Даламбера:

. (4)

В полуограниченной области для уравнение (2) мы можем ставить следующие краевые задачи; т. е. в области мы должны найти функцию, решение задачи (2)-(3), удовлетворяющее, или (I краевое условие), или (II краевое условие), или (III краевое условие) граничное условие. Эти задачи соответственно называются или первой краевой задачей, или второй краевой задачей, или третьей краевой задачей.

Для решения таких задач используем метод продолжений. Здесь функция продолжается или на четную, или на нечетную функцию. Если начально- заданные функции относительно нечетные, тогда , если начально- заданные функции относительно четные, тогда . Мы используем эти факты при решения задач, заданных в полуограниченных областях для уравнений гиперболического типа.

Теперь рассмотрим в полуограниченной области задачу для уравнения теплопроводности:

, , ,(5)

.(6)

Для решения задач поставленных для уравнений теплопроводности в полуограниченной области мы можем использовать следующие леммы.

Лемма 1. Если в определенная функция относительно точки нечетная, тогда решение задачи (5), (6) в точке равно нулю, т. е. .

Доказательство. Для доказательства этой леммы, мы используем следующую формулу Пуассона для решения задачи (5), (6):

.(7)

Находим значения функции при :

т. е., по условию леммы — нечетная функция, а мы знаем, — четная функция. Произведение четных и нечетных функций есть нечетная функция, по свойству определенного интеграла в симметрической области определенный интеграл от нечетной функции равен нулю, значить и наш интеграл тоже равен нулю. Лемма доказана.

Лемма 2. Если в определенная функция относительно точки четная, тогда производная по от решения задачи (5), (6) в точке равен нулю, т. е. .

Доказательство этой леммы проводится, как предыдущая лемма.

Используя эти леммы, мы можем решить задачи, поставленные для уравнений параболического типа в полуограниченных областях.

Литература:

  1. Салохиддинов М. С., Математик физика тенгламалари. Т. «Ўзбекистон». 2002. — 448 б.
  2. Жўраев Т. Ж., Абдиназаров С. Математик физика тенгламалариТ., 2003
  3. Бицадзе А. В. Уравнения математической физики. М., Наука 1976.
  4. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М. 1968.
Основные термины (генерируются автоматически): решение задачи, краевая задача, нечетная функция, область, краевое условие, задача, уравнение, функция, параболический тип, III.


Похожие статьи

Разностная краевая задача для уравнения смешанного типа

Краевая задача: Найти в области решение уравнение (1) условие: (2). Численное решение краевой задачи (1)-(2) является непростой задачей ввиду того, что для нее не построена устойчивая разностная схема.

Априорная оценка для решения первой краевой задачи для...

краевая задача, уравнение, область, смешанный тип, доказательство устойчивости, разностная модель.

Программирование разностного метода решения одной задачи...

Решается первая начально-краевая задача для волнового уравнения.

Основные термины (генерируются автоматически): начальное условие, учебный процесс, краевое условие, волновое уравнение, решение, условие устойчивости, гиперболический тип, временный слой...

Разрешимость одной краевой задачи для...

Рассматривается вопрос о разрешимости краевой задачи для нелинейного функционально-дифференциального уравнения в предположениях: оператор Немыцкого , определенный равенством , непрерывен; , — измеримая функция, такая...

Об одной краевой задаче для нагруженного уравнения...

Краевые задачи для невырождающихся нагруженных уравнений смешанного типа второго и третьего порядка, когда нагруженная часть содержит след или производную от искомой функции, изучены в работах А. М. Нахушева [1], Б.Исломова и Д. М. Курьязова [2]...

Решение краевой задачи для линейных дифференциальных...

А) Рассмотрим краевую задачу для параболического уравнения

Функция , удовлетворяющая ПДУ и краевым условиям называется точным решением: , , . Явная КРС ,для ПДУ с точностью имеет вид

Краевая задача: Найти функцию , удовлетворяющую в области...

Для уравнения (1) изучаем следующую краевую задачу: Краевая задача: Найти функцию , удовлетворяющую в области уравнения (1), а при граничное условие: (2). пространство функций, принадлежащих классу и удовлетворяющих условию (2).

Задача Трикоми для уравнения параболо-гиперболического типа...

Аналогично задаче решение задачи \ сведем к доказательству существования решения интегрального

Обратная краевая задача с интегральными условиями для гиперболического уравнения второго порядка.

Разностная краевая задача для уравнения смешанного типа.

Численная реализация разностного метода решения одной...

В данной работе рассматривается проблема решения краевых задач для уравнений эллиптического типа. Эти задачи являются стационарными, так как в них отсутствует временная переменная.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

Разностная краевая задача для уравнения смешанного типа

Краевая задача: Найти в области решение уравнение (1) условие: (2). Численное решение краевой задачи (1)-(2) является непростой задачей ввиду того, что для нее не построена устойчивая разностная схема.

Априорная оценка для решения первой краевой задачи для...

краевая задача, уравнение, область, смешанный тип, доказательство устойчивости, разностная модель.

Программирование разностного метода решения одной задачи...

Решается первая начально-краевая задача для волнового уравнения.

Основные термины (генерируются автоматически): начальное условие, учебный процесс, краевое условие, волновое уравнение, решение, условие устойчивости, гиперболический тип, временный слой...

Разрешимость одной краевой задачи для...

Рассматривается вопрос о разрешимости краевой задачи для нелинейного функционально-дифференциального уравнения в предположениях: оператор Немыцкого , определенный равенством , непрерывен; , — измеримая функция, такая...

Об одной краевой задаче для нагруженного уравнения...

Краевые задачи для невырождающихся нагруженных уравнений смешанного типа второго и третьего порядка, когда нагруженная часть содержит след или производную от искомой функции, изучены в работах А. М. Нахушева [1], Б.Исломова и Д. М. Курьязова [2]...

Решение краевой задачи для линейных дифференциальных...

А) Рассмотрим краевую задачу для параболического уравнения

Функция , удовлетворяющая ПДУ и краевым условиям называется точным решением: , , . Явная КРС ,для ПДУ с точностью имеет вид

Краевая задача: Найти функцию , удовлетворяющую в области...

Для уравнения (1) изучаем следующую краевую задачу: Краевая задача: Найти функцию , удовлетворяющую в области уравнения (1), а при граничное условие: (2). пространство функций, принадлежащих классу и удовлетворяющих условию (2).

Задача Трикоми для уравнения параболо-гиперболического типа...

Аналогично задаче решение задачи \ сведем к доказательству существования решения интегрального

Обратная краевая задача с интегральными условиями для гиперболического уравнения второго порядка.

Разностная краевая задача для уравнения смешанного типа.

Численная реализация разностного метода решения одной...

В данной работе рассматривается проблема решения краевых задач для уравнений эллиптического типа. Эти задачи являются стационарными, так как в них отсутствует временная переменная.

Задать вопрос