Априорная оценка для решения первой краевой задачи для уравнения смешанного типа | Статья в журнале «Молодой ученый»

Авторы: ,

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №12 (116) июнь-2 2016 г.

Дата публикации: 16.06.2016

Статья просмотрена: 97 раз

Библиографическое описание:

Меражова Ш. Б., Маматова Н. Х. Априорная оценка для решения первой краевой задачи для уравнения смешанного типа // Молодой ученый. — 2016. — №12. — С. 42-43. — URL https://moluch.ru/archive/116/31538/ (дата обращения: 17.12.2018).



В области рассмотрим следующее уравнение:

(1)

через мы обозначим линейный, дифференциальный оператор с частными производными второго порядка:

.

Здесь , , , , — заданные функции, которые удовлетворяют следующим условиям:

1) и .

2) и .

3) .

4) .

— пространство непрерывных функций, — замыкание . Область разделим на три части:

Здесь ,

,

- граница области .

— внутренняя нормаль, проведенной к .

Определим, к какому типу принадлежит (1) уравнение в области . Так как

,

где , . Отсюда .

По классификации уравнений частного производного второго порядка уравнения (1) принадлежит к уравнениям смешанного типа в области , т. е.

A) Если , то .

Если , , то .

Отсюда, в области уравнение (1) параболического типа.

B) В области , тогда уравнение (1) гиперболического типа.

C) В области , тогда уравнение (1) эллиптического типа.

Для уравнения (1) изучаем следующую краевую задачу:

Краевая задача: Найти функцию , удовлетворяющую в области уравнению (1), а при граничному условию:

,(2)

пространство функций, принадлежащих в класс и удовлетворяющих условие (2).

Через и мы обозначим объединение следующих норм в пространстве :

.

Лемма. Пусть существуют такие постоянные , и , что для коэффициентов (1) уравнения выполнялись следующие неравенства:

,

Тогда найдутся постоянные такие, что для выполняется следующее неравенство:

.(3).

Для решения краевой задачи (1) — (2), мы используем приближенной (численный) метод (метод разностных схем). Для доказательства устойчивости разностной модели, мы используем априорную оценку (3).

В этой статье рассматривается краевая задача для уравнения смешанного типа и приводится лемма для решения задачи, которая далее используется для доказательства устойчивости разностной модели, построенной для этой краевой задачи.

Литература:

  1. Алаев Р. Д. Метод диссипативных интегралов энергии для разностных схем. Новосибирск 1983г.
  2. Бицадзе А. В. Уравнения смешанного типа. –М.Изд-во АН СССР, 1959.-164с.
  3. Врагов В. Н. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. — Новосибирск: НГУ, 1983–84с.
  4. Рахмонов Х. О. О первой краевой задаче для одного уравнения смешанного типа в пространстве. — Новосибирск, 1985.-22с. — (препринт. АН СССР. Сиб. Отд-ние. Ин-т математики; № 12
  5. Алоев Р. Д., Рахмонов Х. О., Шарипова Ш. Исследование разностной модели краевой задачи для уравнения смешанного типа. «Оптимизация численных методов» Тезисы докладов международной научной конференции «Оптимизация численных методов», посвященной 90-летию со дня рождения С. Л. Соболев. Уфа ИМВЦ УНЦ РАН 1998г, 4–5-с.
  6. Меражова Ш. Численное решения первой и второй краевой задачи для уравнения смешанно-составного типа. Материалы конференции, посвященные юбилею В. И. Романовского, Ташкент, 2004, 81–84-с.
Основные термины (генерируются автоматически): краевая задача, область, уравнение, доказательство устойчивости, разностная модель, смешанный тип.


Похожие статьи

Разностная краевая задача для уравнения смешанного типа

В прямоугольной области изучается краевая задача для модельного уравнения второго порядка. (1). Где. И , И , . Пусть , , вектор внутренней нормали к границе области , . Заметим, что уравнение (1) в области является уравнением смешанного типа.

Аппроксимация первой краевой задачи разностной моделью...

краевая задача, разностная схема, разностное уравнение, проверка аппроксимации, проверка устойчивости, область, уравнение.

Условная устойчивость разностного уравнения третьего...

разностное уравнение третьего порядка, условная устойчивость, пространство начальных условий, область устойчивости.

Разрешимость одной краевой задачи для функционально-дифференциального уравнения второго порядка с монотонной нелинейностью.

Экстремальные свойства решений одной краевой задачи для...

Для системы (1) в области рассмотрим задачу Геллерстедта (задачу ).

Аппроксимация первой краевой задачи разностной моделью для уравнения смешанного типа.

Эквивалентность характеристической задачи для уравнения смешанного типа задачи Коши...

Разрешимость одной краевой задачи для...

Аппроксимация первой краевой задачи разностной моделью для уравнения смешанного типа. Об одной краевой задаче для нагруженного уравнения параболо-гиперболического типа, вырождающегося внутри области.

Программирование разностного метода решения одной задачи...

Программа предназначена для освоения студентами разностного метода решения уравнений гиперболического типа и может применяться в учебном процессе.

Решается первая начально-краевая задача для волнового уравнения.

Эквивалентность характеристической задачи для уравнения...

Аппроксимация первой краевой задачи разностной моделью для уравнения смешанного типа. Использование метода Фурье для решения смешанной задачи для гиперболической системы.

Обратная краевая задача с интегральными условиями для...

Разностная краевая задача для уравнения смешанного типа. Регуляризация решения неклассического интергального уравнения со условиями Липшица. Разрешимость одной краевой задачи для...

Численная реализация разностного метода решения одной...

Авторами был уже реализован алгоритм разностного метода для решения одной задачи для уравнения гиперболического типа [1].

В данном случае задача решается в области прямоугольной формы, краевые условия заданы на сторонах прямоугольника.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

Разностная краевая задача для уравнения смешанного типа

В прямоугольной области изучается краевая задача для модельного уравнения второго порядка. (1). Где. И , И , . Пусть , , вектор внутренней нормали к границе области , . Заметим, что уравнение (1) в области является уравнением смешанного типа.

Аппроксимация первой краевой задачи разностной моделью...

краевая задача, разностная схема, разностное уравнение, проверка аппроксимации, проверка устойчивости, область, уравнение.

Условная устойчивость разностного уравнения третьего...

разностное уравнение третьего порядка, условная устойчивость, пространство начальных условий, область устойчивости.

Разрешимость одной краевой задачи для функционально-дифференциального уравнения второго порядка с монотонной нелинейностью.

Экстремальные свойства решений одной краевой задачи для...

Для системы (1) в области рассмотрим задачу Геллерстедта (задачу ).

Аппроксимация первой краевой задачи разностной моделью для уравнения смешанного типа.

Эквивалентность характеристической задачи для уравнения смешанного типа задачи Коши...

Разрешимость одной краевой задачи для...

Аппроксимация первой краевой задачи разностной моделью для уравнения смешанного типа. Об одной краевой задаче для нагруженного уравнения параболо-гиперболического типа, вырождающегося внутри области.

Программирование разностного метода решения одной задачи...

Программа предназначена для освоения студентами разностного метода решения уравнений гиперболического типа и может применяться в учебном процессе.

Решается первая начально-краевая задача для волнового уравнения.

Эквивалентность характеристической задачи для уравнения...

Аппроксимация первой краевой задачи разностной моделью для уравнения смешанного типа. Использование метода Фурье для решения смешанной задачи для гиперболической системы.

Обратная краевая задача с интегральными условиями для...

Разностная краевая задача для уравнения смешанного типа. Регуляризация решения неклассического интергального уравнения со условиями Липшица. Разрешимость одной краевой задачи для...

Численная реализация разностного метода решения одной...

Авторами был уже реализован алгоритм разностного метода для решения одной задачи для уравнения гиперболического типа [1].

В данном случае задача решается в области прямоугольной формы, краевые условия заданы на сторонах прямоугольника.

Задать вопрос