Авторы: Меражова Шахло Бердиевна, Маматова Нилуфар Хусеновна

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №12 (116) июнь-2 2016 г.

Дата публикации: 16.06.2016

Статья просмотрена: 50 раз

Библиографическое описание:

Меражова Ш. Б., Маматова Н. Х. Априорная оценка для решения первой краевой задачи для уравнения смешанного типа // Молодой ученый. — 2016. — №12. — С. 42-43.



В области рассмотрим следующее уравнение:

(1)

через мы обозначим линейный, дифференциальный оператор с частными производными второго порядка:

.

Здесь , , , , — заданные функции, которые удовлетворяют следующим условиям:

1) и .

2) и .

3) .

4) .

— пространство непрерывных функций, — замыкание . Область разделим на три части:

Здесь ,

,

- граница области .

— внутренняя нормаль, проведенной к .

Определим, к какому типу принадлежит (1) уравнение в области . Так как

,

где , . Отсюда .

По классификации уравнений частного производного второго порядка уравнения (1) принадлежит к уравнениям смешанного типа в области , т. е.

A) Если , то .

Если , , то .

Отсюда, в области уравнение (1) параболического типа.

B) В области , тогда уравнение (1) гиперболического типа.

C) В области , тогда уравнение (1) эллиптического типа.

Для уравнения (1) изучаем следующую краевую задачу:

Краевая задача: Найти функцию , удовлетворяющую в области уравнению (1), а при граничному условию:

,(2)

пространство функций, принадлежащих в класс и удовлетворяющих условие (2).

Через и мы обозначим объединение следующих норм в пространстве :

.

Лемма. Пусть существуют такие постоянные , и , что для коэффициентов (1) уравнения выполнялись следующие неравенства:

,

Тогда найдутся постоянные такие, что для выполняется следующее неравенство:

.(3).

Для решения краевой задачи (1) — (2), мы используем приближенной (численный) метод (метод разностных схем). Для доказательства устойчивости разностной модели, мы используем априорную оценку (3).

В этой статье рассматривается краевая задача для уравнения смешанного типа и приводится лемма для решения задачи, которая далее используется для доказательства устойчивости разностной модели, построенной для этой краевой задачи.

Литература:

  1. Алаев Р. Д. Метод диссипативных интегралов энергии для разностных схем. Новосибирск 1983г.
  2. Бицадзе А. В. Уравнения смешанного типа. –М.Изд-во АН СССР, 1959.-164с.
  3. Врагов В. Н. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. — Новосибирск: НГУ, 1983–84с.
  4. Рахмонов Х. О. О первой краевой задаче для одного уравнения смешанного типа в пространстве. — Новосибирск, 1985.-22с. — (препринт. АН СССР. Сиб. Отд-ние. Ин-т математики; № 12
  5. Алоев Р. Д., Рахмонов Х. О., Шарипова Ш. Исследование разностной модели краевой задачи для уравнения смешанного типа. «Оптимизация численных методов» Тезисы докладов международной научной конференции «Оптимизация численных методов», посвященной 90-летию со дня рождения С. Л. Соболев. Уфа ИМВЦ УНЦ РАН 1998г, 4–5-с.
  6. Меражова Ш. Численное решения первой и второй краевой задачи для уравнения смешанно-составного типа. Материалы конференции, посвященные юбилею В. И. Романовского, Ташкент, 2004, 81–84-с.
Основные термины (генерируются автоматически): смешанного типа, уравнения смешанного типа, краевой задачи, доказательства устойчивости разностной, разностной модели, устойчивости разностной модели, Меражова Ш, «Оптимизация численных методов», уравнениям смешанного типа, Уравнения смешанного типа, АН СССР, разностных схем, уравнения смешанно-составного типа, решения краевой задачи, Рахмонов Х, второго порядка уравнения, модели краевой задачи, метод разностных схем, решения задачи, –М.Изд-во АН СССР.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle
Задать вопрос