Аппроксимация первой краевой задачи разностной моделью для уравнения смешанного типа | Статья в журнале «Молодой ученый»

Отправьте статью сегодня! Журнал выйдет 23 ноября, печатный экземпляр отправим 27 ноября.

Опубликовать статью в журнале

Авторы: ,

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №25 (159) июнь 2017 г.

Дата публикации: 27.06.2017

Статья просмотрена: 46 раз

Библиографическое описание:

Меражова Ш. Б., Умарова У. У. Аппроксимация первой краевой задачи разностной моделью для уравнения смешанного типа // Молодой ученый. — 2017. — №25. — С. 10-12. — URL https://moluch.ru/archive/159/44939/ (дата обращения: 14.11.2019).



Исследования разностных схем проводятся, разбивая на два этапа.

I этап. Проверка аппроксимации. I этап состоит в проверке того, что интересующее нас решение дифференциального уравнения

,

после замены его на следующее разностное уравнение

удовлетворяет ли его, т. е. выполняются ли следующие равенства:

(здесь шаги разностной схемы). Проверка этих неравенств называется проверкой аппроксимации.

II этап. Проверка устойчивости.

Проверка следующего неравенства

для решений разностного уравнения, называется проверкой устойчивости разностной схемы.

Теперь в области рассмотрим следующее уравнения:

(1)

Мы через обозначим линейный, дифференциальный оператор с частными производными второго порядка:

.

Здесь , , , , — заданные функции, которые удовлетворяют следующие условиям:

1) и .

2) и .

3) .

4) .

— пространство непрерывных функций, — замыкание . Область разделим на три области:

Здесь ,

,

- граница области .

— внутренняя нормаль проведений к границе .

Определим, к какому типу принадлежит (1) уравнение в области . Введем следующие обозначения: .

Мы знаем в области значения выражения может быть отрицательным, положительным или равным нулю, тогда соответственно в (1) уравнение называется или эллиптического, или гиперболического или параболического типа.

Здесь , .

По классификацию уравнений частного производного второго порядка (1) уравнения принадлежит к уравнениям смешанного типа в области .

Для уравнения (1) изучаем следующую краевую задачу:

Краевая задача: Найти функцию , удовлетворяющую в области уравнения (1), а при граничное условие:

(2)

пространство функций, принадлежащих классу и удовлетворяющих условию (2).

Для решения краевой задачи (1) — (2), мы используем приближенной (численный) метод (метод разностных схем).

В области построим разностную сетку шагами , (, ).

Приближенное решение (1)-(2) краевой задачи в точке обозначим через .

Здесь, — узловые точки, получение пересечением прямых линий . Введем следующие операторы сдвига и разностные операторы:

, ,

.

Тогда аппроксимируем краевую задачу (1)-(2), следующей схемой [2]:

Это схема имеет первую аппроксимацию по .

Литература:

  1. Алоев Р. Д., Рахмонов Х. О., Шарипова Ш. Исследование разностной модели краевой задачи для уравнения смешанного типа. «Оптимизация численных методов» Тезисы докладов международной научной конференции «Оптимизация численных методов», посвященной 90-летию со дня рождения С. Л. Соболев. Уфа ИМВЦ УНЦ РАН 1998г, 4–5-с.
  2. Меражова Ш. Численное решения первой и второй краевой задачи для уравнения смешанно-составного типа. В. И. Романовский юбилейига бағишланган конференция материаллари тўплами. Тошкент, 2004, 81–84-с.
Основные термины (генерируются автоматически): краевая задача, разностная схема, разностное уравнение, проверка аппроксимации, проверка устойчивости, область, уравнение.


Похожие статьи

Программирование разностного метода решения одной задачи...

Решается первая начально-краевая задача для волнового уравнения.

Соотношения (2)-(5) образуют явную трехслойную разностную схему. Эта схема имеет первый порядок аппроксимации по и второй – по , так как соотношение (4) аппроксимирует...

Априорная оценка для решения первой краевой задачи для...

краевая задача, уравнение, область, смешанный тип, доказательство устойчивости, разностная модель.

Разностная краевая задача для уравнения смешанного типа

Основные термины (генерируются автоматически): разностная схема, область, краевая задача, разностная сетка, устойчивая разностная схема, уравнение.

Аппроксимация первой краевой задачи разностной моделью для уравнения смешанного типа.

Условная устойчивость разностного уравнения третьего...

Ключевые слова: разностное уравнение третьего порядка, условная устойчивость, пространство начальных условий, область устойчивости. Введение ипостановка задачи.

Численная реализация разностного метода решения одной...

В данной работе рассматривается проблема решения краевых задач для уравнений эллиптического типа.

Разностные схемы получаются путем замены производных их конечно-разностными аппроксимациями.

Исследование устойчивости двух конечно разностных схем для...

Рассматривается задача исследования устойчивости двух разностных схем для численного решения уравнения колебаний балки. Исследование проводится методом Неймана. Выводятся соотношения зависимости шага по времени от шагов по пространственным переменным для...

Анализ уравнения, моделирующего волновые движения...

Воспользуемся неявной разностной схемой для аппроксимации задачи (6). Начальные и краевые условия аппроксимируем поточечно.

Основные термины (генерируются автоматически): горная порода, краевая задача, уравнение, глубинный тектонический разлом...

Алгоритм поиска приближенных решений уравнения Пуассона

Рис. 1.Алгоритм поиска приближенных решений краевой задачи для уравнения Пуассона.

При этом производную в уравнениях (3) — (5) мы заменим не разностным отношением, а используем для аппроксимации ее интерполяционный многочлен [1].

Аппроксимация полиномов n степени методом наименьших...

Аппроксимация первой краевой задачи разностной моделью для уравнения смешанного типа. Решение задачи методом многих масштабов. Когомологии первой степени простых модулей над алгебраической группой типа в положительной характеристике.

Программирование разностного метода решения одной задачи...

Решается первая начально-краевая задача для волнового уравнения.

Соотношения (2)-(5) образуют явную трехслойную разностную схему. Эта схема имеет первый порядок аппроксимации по и второй – по , так как соотношение (4) аппроксимирует...

Априорная оценка для решения первой краевой задачи для...

краевая задача, уравнение, область, смешанный тип, доказательство устойчивости, разностная модель.

Разностная краевая задача для уравнения смешанного типа

Основные термины (генерируются автоматически): разностная схема, область, краевая задача, разностная сетка, устойчивая разностная схема, уравнение.

Аппроксимация первой краевой задачи разностной моделью для уравнения смешанного типа.

Условная устойчивость разностного уравнения третьего...

Ключевые слова: разностное уравнение третьего порядка, условная устойчивость, пространство начальных условий, область устойчивости. Введение ипостановка задачи.

Численная реализация разностного метода решения одной...

В данной работе рассматривается проблема решения краевых задач для уравнений эллиптического типа.

Разностные схемы получаются путем замены производных их конечно-разностными аппроксимациями.

Исследование устойчивости двух конечно разностных схем для...

Рассматривается задача исследования устойчивости двух разностных схем для численного решения уравнения колебаний балки. Исследование проводится методом Неймана. Выводятся соотношения зависимости шага по времени от шагов по пространственным переменным для...

Анализ уравнения, моделирующего волновые движения...

Воспользуемся неявной разностной схемой для аппроксимации задачи (6). Начальные и краевые условия аппроксимируем поточечно.

Основные термины (генерируются автоматически): горная порода, краевая задача, уравнение, глубинный тектонический разлом...

Алгоритм поиска приближенных решений уравнения Пуассона

Рис. 1.Алгоритм поиска приближенных решений краевой задачи для уравнения Пуассона.

При этом производную в уравнениях (3) — (5) мы заменим не разностным отношением, а используем для аппроксимации ее интерполяционный многочлен [1].

Аппроксимация полиномов n степени методом наименьших...

Аппроксимация первой краевой задачи разностной моделью для уравнения смешанного типа. Решение задачи методом многих масштабов. Когомологии первой степени простых модулей над алгебраической группой типа в положительной характеристике.

Похожие статьи

Программирование разностного метода решения одной задачи...

Решается первая начально-краевая задача для волнового уравнения.

Соотношения (2)-(5) образуют явную трехслойную разностную схему. Эта схема имеет первый порядок аппроксимации по и второй – по , так как соотношение (4) аппроксимирует...

Априорная оценка для решения первой краевой задачи для...

краевая задача, уравнение, область, смешанный тип, доказательство устойчивости, разностная модель.

Разностная краевая задача для уравнения смешанного типа

Основные термины (генерируются автоматически): разностная схема, область, краевая задача, разностная сетка, устойчивая разностная схема, уравнение.

Аппроксимация первой краевой задачи разностной моделью для уравнения смешанного типа.

Условная устойчивость разностного уравнения третьего...

Ключевые слова: разностное уравнение третьего порядка, условная устойчивость, пространство начальных условий, область устойчивости. Введение ипостановка задачи.

Численная реализация разностного метода решения одной...

В данной работе рассматривается проблема решения краевых задач для уравнений эллиптического типа.

Разностные схемы получаются путем замены производных их конечно-разностными аппроксимациями.

Исследование устойчивости двух конечно разностных схем для...

Рассматривается задача исследования устойчивости двух разностных схем для численного решения уравнения колебаний балки. Исследование проводится методом Неймана. Выводятся соотношения зависимости шага по времени от шагов по пространственным переменным для...

Анализ уравнения, моделирующего волновые движения...

Воспользуемся неявной разностной схемой для аппроксимации задачи (6). Начальные и краевые условия аппроксимируем поточечно.

Основные термины (генерируются автоматически): горная порода, краевая задача, уравнение, глубинный тектонический разлом...

Алгоритм поиска приближенных решений уравнения Пуассона

Рис. 1.Алгоритм поиска приближенных решений краевой задачи для уравнения Пуассона.

При этом производную в уравнениях (3) — (5) мы заменим не разностным отношением, а используем для аппроксимации ее интерполяционный многочлен [1].

Аппроксимация полиномов n степени методом наименьших...

Аппроксимация первой краевой задачи разностной моделью для уравнения смешанного типа. Решение задачи методом многих масштабов. Когомологии первой степени простых модулей над алгебраической группой типа в положительной характеристике.

Программирование разностного метода решения одной задачи...

Решается первая начально-краевая задача для волнового уравнения.

Соотношения (2)-(5) образуют явную трехслойную разностную схему. Эта схема имеет первый порядок аппроксимации по и второй – по , так как соотношение (4) аппроксимирует...

Априорная оценка для решения первой краевой задачи для...

краевая задача, уравнение, область, смешанный тип, доказательство устойчивости, разностная модель.

Разностная краевая задача для уравнения смешанного типа

Основные термины (генерируются автоматически): разностная схема, область, краевая задача, разностная сетка, устойчивая разностная схема, уравнение.

Аппроксимация первой краевой задачи разностной моделью для уравнения смешанного типа.

Условная устойчивость разностного уравнения третьего...

Ключевые слова: разностное уравнение третьего порядка, условная устойчивость, пространство начальных условий, область устойчивости. Введение ипостановка задачи.

Численная реализация разностного метода решения одной...

В данной работе рассматривается проблема решения краевых задач для уравнений эллиптического типа.

Разностные схемы получаются путем замены производных их конечно-разностными аппроксимациями.

Исследование устойчивости двух конечно разностных схем для...

Рассматривается задача исследования устойчивости двух разностных схем для численного решения уравнения колебаний балки. Исследование проводится методом Неймана. Выводятся соотношения зависимости шага по времени от шагов по пространственным переменным для...

Анализ уравнения, моделирующего волновые движения...

Воспользуемся неявной разностной схемой для аппроксимации задачи (6). Начальные и краевые условия аппроксимируем поточечно.

Основные термины (генерируются автоматически): горная порода, краевая задача, уравнение, глубинный тектонический разлом...

Алгоритм поиска приближенных решений уравнения Пуассона

Рис. 1.Алгоритм поиска приближенных решений краевой задачи для уравнения Пуассона.

При этом производную в уравнениях (3) — (5) мы заменим не разностным отношением, а используем для аппроксимации ее интерполяционный многочлен [1].

Аппроксимация полиномов n степени методом наименьших...

Аппроксимация первой краевой задачи разностной моделью для уравнения смешанного типа. Решение задачи методом многих масштабов. Когомологии первой степени простых модулей над алгебраической группой типа в положительной характеристике.

Задать вопрос