Разностная краевая задача для уравнения смешанного типа
Отправьте статью сегодня! Электронный вариант журнала выйдет 14 августа,печатный экземпляр отправим18 августа.

Разностная краевая задача для уравнения смешанного типа

Поделиться в социальных сетях
148 просмотров
Библиографическое описание

Меражова, Ш. Б. Разностная краевая задача для уравнения смешанного типа / Ш. Б. Меражова. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2016. — № 8 (112). — С. 21-23. — URL: https://moluch.ru/archive/112/28669/ (дата обращения: 05.08.2021).



В прямоугольной области изучается краевая задача для модельного уравнения второго порядка

(1)

где

и ,

и ,

.

Пусть , , вектор внутренней нормали к границе области , . Заметим, что уравнение (1) в области является уравнением смешанного типа. А именно в оно будет гиперболо-параболическим, в эллиптико-параболическим, прямая есть линия вырождения типа уравнения.

Краевая задача: Найти в области решение уравнение (1) условие:

(2)

Численное решение краевой задачи (1)-(2) является непростой задачей ввиду того, что для нее не построена устойчивая разностная схема. В настоящей работе предлагается конструктивный подход построения устойчивой разностной схемы. При построении разностной схемы учитывается тип уравнения, т. е. строится гибридная схема.

С помощью функционального подхода в работе [1] доказана следующая теорема:

Теорема1. Пусть выполнены условия

в окрестности точек и , кроме того, вдоль характеристики. Тогда если решение задачи (1)-(2) их пространства существует, то оно единственно. Здесь через обозначено пространство Соболева с весом, которое получается замыканием класса дважды непрерывно дифференцируемых в функций, удовлетворяющих условию (2) по норме:

.

Разностная схема. Схему будем строить отдельно в области и отдельно в области . С этой целью в области строим разностную сетку, . Здесь — шаг по , а — шаг по .

Введем в рассмотрение следующие обозначения:

, , — операторы сдвига: , ,

а также — разностные операторы: .

С помощью этих обозначений в области предлагаем следующую разностную схему:

Разностная схема (3)-(4) является незамкнутой. Для нее требуется задание так называемого дополнительного граничного и начального условия. Для простоты мы предлагаем следующие дополнительные начальные и граничные условия:

, (5)

, , (6)

Система линейных алгебраических уравнений (3)-(6) относительно неизвестных — образует полную систему. Для разностной схеме верна следующая оценка:

(7)

Шаги разностной сетки выбираем из условия:

и , ; (8)

Тогда если , то , при , .

Таким образом, энергетическая оценка (7) при условии (7) обеспечивает однозначную разрешимость и устойчивость разностной схемы (3) –(6) в области .

Разностную схему исследуем в области . Поскольку уравнение (1) в области является гиперболо-параболическим, применяем следующий подход. Заменим уравнение (1) в области эквивалентной ему симметрической системой первого порядка:

, , (9)

где , , , ,

условием при (если )

, , (10)

Для задачи (9)-(10) легко можно получить априорную оценку:

,

где , , — некоторые постоянные.

В частности при , имеем и

откуда следует и следовательно , в области . Это дает нам возможность легко применить разностные схемы, предложенные в работе [2] для численного решения уравнения (1) в области и получить энергетические оценки типа (8).

Литература:

  1. Рахмонов Х. О. О первой краевой задаче для одного уравнения смешанного типа в пространстве. — Новосибирск, 1985. -22с. (Препринт/ АН СССР, сиб.отд. ИМ, N-12).
  2. Алаев Р. Д. Метод диссипативных интегралов энергии для разностных схем. Изд-во Новосибирского университета, 1993, 68 с.
Похожие статьи
Меражова Шахло Бердиевна
Аппроксимация первой краевой задачи разностной моделью для уравнения смешанного типа
Математика
2017
Фазылова Лейла Сабитовна
Программирование разностного метода решения одной задачи для уравнения гиперболического типа
Информационные технологии
2015
Фазылова Лейла Сабитовна
Численная реализация разностного метода решения одной задачи для уравнения эллиптического типа
Информационные технологии
2015
Атамуратов Андрей Жиенбаевич
Исследование устойчивости двух конечно разностных схем для численного решения уравнения колебаний балки
Математика
2013
Меражова Шахло Бердиевна
Априорная оценка для решения первой краевой задачи для уравнения смешанного типа
Математика
2016
Шенмаер Ирина Владимировна
Условная устойчивость разностного уравнения третьего порядка в критических случаях
Математика
2016
Шевченко Алеся Сергеевна
Алгоритм поиска приближенных решений уравнения Пуассона
Математика
2015
Имомов Адаш Имомович
Решение краевой задачи для линейных дифференциальных уравнений в частных производных в Mathcad
Математика
2014
Атамуратов Андрей Жиенбаевич
Исследование устойчивости конечно разностных схем для численного решения уравнений колебаний прямоугольной мембраны и прямоугольной пластины
Математика
2013
дата публикации
апрель-2 2016 г.
рубрика
Математика
язык статьи
Русский
Опубликована
Похожие статьи
Меражова Шахло Бердиевна
Аппроксимация первой краевой задачи разностной моделью для уравнения смешанного типа
Математика
2017
Фазылова Лейла Сабитовна
Программирование разностного метода решения одной задачи для уравнения гиперболического типа
Информационные технологии
2015
Фазылова Лейла Сабитовна
Численная реализация разностного метода решения одной задачи для уравнения эллиптического типа
Информационные технологии
2015
Атамуратов Андрей Жиенбаевич
Исследование устойчивости двух конечно разностных схем для численного решения уравнения колебаний балки
Математика
2013
Меражова Шахло Бердиевна
Априорная оценка для решения первой краевой задачи для уравнения смешанного типа
Математика
2016
Шенмаер Ирина Владимировна
Условная устойчивость разностного уравнения третьего порядка в критических случаях
Математика
2016
Шевченко Алеся Сергеевна
Алгоритм поиска приближенных решений уравнения Пуассона
Математика
2015
Имомов Адаш Имомович
Решение краевой задачи для линейных дифференциальных уравнений в частных производных в Mathcad
Математика
2014
Атамуратов Андрей Жиенбаевич
Исследование устойчивости конечно разностных схем для численного решения уравнений колебаний прямоугольной мембраны и прямоугольной пластины
Математика
2013