Библиографическое описание:

Меражова Ш. Б. Разностная краевая задача для уравнения смешанного типа // Молодой ученый. — 2016. — №8. — С. 21-23.



В прямоугольной области изучается краевая задача для модельного уравнения второго порядка

(1)

где

и ,

и ,

.

Пусть , , вектор внутренней нормали к границе области , . Заметим, что уравнение (1) в области является уравнением смешанного типа. А именно в оно будет гиперболо-параболическим, в эллиптико-параболическим, прямая есть линия вырождения типа уравнения.

Краевая задача: Найти в области решение уравнение (1) условие:

(2)

Численное решение краевой задачи (1)-(2) является непростой задачей ввиду того, что для нее не построена устойчивая разностная схема. В настоящей работе предлагается конструктивный подход построения устойчивой разностной схемы. При построении разностной схемы учитывается тип уравнения, т. е. строится гибридная схема.

С помощью функционального подхода в работе [1] доказана следующая теорема:

Теорема1. Пусть выполнены условия

в окрестности точек и , кроме того, вдоль характеристики. Тогда если решение задачи (1)-(2) их пространства существует, то оно единственно. Здесь через обозначено пространство Соболева с весом, которое получается замыканием класса дважды непрерывно дифференцируемых в функций, удовлетворяющих условию (2) по норме:

.

Разностная схема. Схему будем строить отдельно в области и отдельно в области . С этой целью в области строим разностную сетку, . Здесь — шаг по , а — шаг по .

Введем в рассмотрение следующие обозначения:

, , — операторы сдвига: , ,

а также — разностные операторы: .

С помощью этих обозначений в области предлагаем следующую разностную схему:

Разностная схема (3)-(4) является незамкнутой. Для нее требуется задание так называемого дополнительного граничного и начального условия. Для простоты мы предлагаем следующие дополнительные начальные и граничные условия:

, (5)

, , (6)

Система линейных алгебраических уравнений (3)-(6) относительно неизвестных — образует полную систему. Для разностной схеме верна следующая оценка:

(7)

Шаги разностной сетки выбираем из условия:

и , ; (8)

Тогда если , то , при , .

Таким образом, энергетическая оценка (7) при условии (7) обеспечивает однозначную разрешимость и устойчивость разностной схемы (3) –(6) в области .

Разностную схему исследуем в области . Поскольку уравнение (1) в области является гиперболо-параболическим, применяем следующий подход. Заменим уравнение (1) в области эквивалентной ему симметрической системой первого порядка:

, , (9)

где , , , ,

условием при (если )

, , (10)

Для задачи (9)-(10) легко можно получить априорную оценку:

,

где , , — некоторые постоянные.

В частности при , имеем и

откуда следует и следовательно , в области . Это дает нам возможность легко применить разностные схемы, предложенные в работе [2] для численного решения уравнения (1) в области и получить энергетические оценки типа (8).

Литература:

  1. Рахмонов Х. О. О первой краевой задаче для одного уравнения смешанного типа в пространстве. — Новосибирск, 1985. -22с. (Препринт/ АН СССР, сиб.отд. ИМ, N-12).
  2. Алаев Р. Д. Метод диссипативных интегралов энергии для разностных схем. Изд-во Новосибирского университета, 1993, 68 с.
Основные термины (генерируются автоматически): смешанного типа, уравнения смешанного типа, разностной схемы, области решение уравнение, Разностная схема, вырождения типа уравнения, уравнением смешанного типа, устойчивая разностная схема, построении разностной схемы, численного решения уравнения, устойчивой разностной схемы, границе области, Разностная краевая задача, решение краевой задачи, устойчивость разностной схемы, энергетические оценки типа, вектор внутренней нормали, следующую разностную схему, конструктивный подход построения, рассмотрение следующие обозначения.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle