Разностная краевая задача для уравнения смешанного типа | Статья в журнале «Молодой ученый»

Автор:

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №8 (112) апрель-2 2016 г.

Дата публикации: 27.04.2016

Статья просмотрена: 24 раза

Библиографическое описание:

Меражова Ш. Б. Разностная краевая задача для уравнения смешанного типа // Молодой ученый. — 2016. — №8. — С. 21-23. — URL https://moluch.ru/archive/112/28669/ (дата обращения: 20.07.2018).



В прямоугольной области изучается краевая задача для модельного уравнения второго порядка

(1)

где

и ,

и ,

.

Пусть , , вектор внутренней нормали к границе области , . Заметим, что уравнение (1) в области является уравнением смешанного типа. А именно в оно будет гиперболо-параболическим, в эллиптико-параболическим, прямая есть линия вырождения типа уравнения.

Краевая задача: Найти в области решение уравнение (1) условие:

(2)

Численное решение краевой задачи (1)-(2) является непростой задачей ввиду того, что для нее не построена устойчивая разностная схема. В настоящей работе предлагается конструктивный подход построения устойчивой разностной схемы. При построении разностной схемы учитывается тип уравнения, т. е. строится гибридная схема.

С помощью функционального подхода в работе [1] доказана следующая теорема:

Теорема1. Пусть выполнены условия

в окрестности точек и , кроме того, вдоль характеристики. Тогда если решение задачи (1)-(2) их пространства существует, то оно единственно. Здесь через обозначено пространство Соболева с весом, которое получается замыканием класса дважды непрерывно дифференцируемых в функций, удовлетворяющих условию (2) по норме:

.

Разностная схема. Схему будем строить отдельно в области и отдельно в области . С этой целью в области строим разностную сетку, . Здесь — шаг по , а — шаг по .

Введем в рассмотрение следующие обозначения:

, , — операторы сдвига: , ,

а также — разностные операторы: .

С помощью этих обозначений в области предлагаем следующую разностную схему:

Разностная схема (3)-(4) является незамкнутой. Для нее требуется задание так называемого дополнительного граничного и начального условия. Для простоты мы предлагаем следующие дополнительные начальные и граничные условия:

, (5)

, , (6)

Система линейных алгебраических уравнений (3)-(6) относительно неизвестных — образует полную систему. Для разностной схеме верна следующая оценка:

(7)

Шаги разностной сетки выбираем из условия:

и , ; (8)

Тогда если , то , при , .

Таким образом, энергетическая оценка (7) при условии (7) обеспечивает однозначную разрешимость и устойчивость разностной схемы (3) –(6) в области .

Разностную схему исследуем в области . Поскольку уравнение (1) в области является гиперболо-параболическим, применяем следующий подход. Заменим уравнение (1) в области эквивалентной ему симметрической системой первого порядка:

, , (9)

где , , , ,

условием при (если )

, , (10)

Для задачи (9)-(10) легко можно получить априорную оценку:

,

где , , — некоторые постоянные.

В частности при , имеем и

откуда следует и следовательно , в области . Это дает нам возможность легко применить разностные схемы, предложенные в работе [2] для численного решения уравнения (1) в области и получить энергетические оценки типа (8).

Литература:

  1. Рахмонов Х. О. О первой краевой задаче для одного уравнения смешанного типа в пространстве. — Новосибирск, 1985. -22с. (Препринт/ АН СССР, сиб.отд. ИМ, N-12).
  2. Алаев Р. Д. Метод диссипативных интегралов энергии для разностных схем. Изд-во Новосибирского университета, 1993, 68 с.
Основные термины (генерируются автоматически): разностная схема, область, краевая задача, разностная сетка, устойчивая разностная схема, уравнение.


Похожие статьи

Аппроксимация первой краевой задачи разностной моделью для...

краевая задача, разностная схема, разностное уравнение, проверка аппроксимации, проверка устойчивости, область, уравнение.

Программирование разностного метода решения одной задачи...

Постановка задачи [2]. Построить явную разностную схему для решения задачи, в которой имеется струна длиной , натянутая

Решается первая начально-краевая задача для волнового уравнения. , , , (1).

Соотношения (2)-(5) образуют явную трехслойную разностную схему.

Численная реализация разностного метода решения одной...

Постановка задачи [2]. Требуется построить разностную схему для решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа

В данном случае задача решается в области прямоугольной формы, краевые условия заданы на сторонах прямоугольника.

Исследование устойчивости двух конечно разностных схем для...

Рассматривается задача исследования устойчивости двух разностных схем для численного решения уравнения колебаний балки. Исследование проводится методом Неймана. Выводятся соотношения зависимости шага по времени от шагов по пространственным переменным для...

Априорная оценка для решения первой краевой задачи для...

краевая задача, уравнение, область, смешанный тип, доказательство устойчивости, разностная модель.

Условная устойчивость разностного уравнения третьего...

Ключевые слова: разностное уравнение третьего порядка, условная устойчивость, пространство начальных условий, область устойчивости. Введение ипостановка задачи.

Алгоритм поиска приближенных решений уравнения Пуассона

Для нахождения приближенного решения смешанной задачи (3), (6), (7) или (4), (6), (7) или (5), (6), (7) предложена дифференциально-разностная модель, основанная на методе прямых и принципах схем без насыщения. При этом производную в уравнениях (3) — (5)...

Решение краевой задачи для линейных дифференциальных...

В качестве дискретной задачи мы берем конечно-разностную схему (КРС), и тогда дискретная задача есть система алгебраических уравнений (СЛАУ), и элементы есть таблица значений функций.

Исследование устойчивости конечно разностных схем для...

Рассматривается задача исследования устойчивости разностных схем для численного решения уравнений колебаний прямоугольной мембраны и прямоугольной пластины. Исследование проводится методом Неймана.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

Аппроксимация первой краевой задачи разностной моделью для...

краевая задача, разностная схема, разностное уравнение, проверка аппроксимации, проверка устойчивости, область, уравнение.

Программирование разностного метода решения одной задачи...

Постановка задачи [2]. Построить явную разностную схему для решения задачи, в которой имеется струна длиной , натянутая

Решается первая начально-краевая задача для волнового уравнения. , , , (1).

Соотношения (2)-(5) образуют явную трехслойную разностную схему.

Численная реализация разностного метода решения одной...

Постановка задачи [2]. Требуется построить разностную схему для решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа

В данном случае задача решается в области прямоугольной формы, краевые условия заданы на сторонах прямоугольника.

Исследование устойчивости двух конечно разностных схем для...

Рассматривается задача исследования устойчивости двух разностных схем для численного решения уравнения колебаний балки. Исследование проводится методом Неймана. Выводятся соотношения зависимости шага по времени от шагов по пространственным переменным для...

Априорная оценка для решения первой краевой задачи для...

краевая задача, уравнение, область, смешанный тип, доказательство устойчивости, разностная модель.

Условная устойчивость разностного уравнения третьего...

Ключевые слова: разностное уравнение третьего порядка, условная устойчивость, пространство начальных условий, область устойчивости. Введение ипостановка задачи.

Алгоритм поиска приближенных решений уравнения Пуассона

Для нахождения приближенного решения смешанной задачи (3), (6), (7) или (4), (6), (7) или (5), (6), (7) предложена дифференциально-разностная модель, основанная на методе прямых и принципах схем без насыщения. При этом производную в уравнениях (3) — (5)...

Решение краевой задачи для линейных дифференциальных...

В качестве дискретной задачи мы берем конечно-разностную схему (КРС), и тогда дискретная задача есть система алгебраических уравнений (СЛАУ), и элементы есть таблица значений функций.

Исследование устойчивости конечно разностных схем для...

Рассматривается задача исследования устойчивости разностных схем для численного решения уравнений колебаний прямоугольной мембраны и прямоугольной пластины. Исследование проводится методом Неймана.

Задать вопрос