Решение краевой задачи для линейных дифференциальных уравнений в частных производных в Mathcad | Статья в журнале «Молодой ученый»

Автор:

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №8 (67) июнь-1 2014 г.

Дата публикации: 03.06.2014

Статья просмотрена: 966 раз

Библиографическое описание:

Имомов А. И. Решение краевой задачи для линейных дифференциальных уравнений в частных производных в Mathcad // Молодой ученый. — 2014. — №8. — С. 6-12. — URL https://moluch.ru/archive/67/11505/ (дата обращения: 17.12.2018).

В настоящее время появилась возможность решения математических задач без составления компьютерных программ на алгоритмических языках. Причиной этого является разработка специальных математических программ — математических систем. В вузах и научных учреждениях чаще всего применяются математические системы: MATHCAD, MATLAB, Maple, Mathematika. С применением математических систем учебный процесс становится интереснее, студенты понимают содержание занятия быстрее, глубже, а для укрепления преподаваемых понятий и решения задач остаётся больше времени.

В последнее время задачи вычислительной математики [1,2] по преимуществу решают в математической системе MATHCAD [3–6]. Именно в MATHCAD задача формулируется в наиболее естественном математическом виде, а в других математических системах шаги алгоритма решения задачи записываются с помощью команд системы.

В статье алгоритмы методов конечно-разностных схем приближённого решения линейного параболического и гиперболического дифференциальных уравнений с краевыми условиями организованы в математической системе MATHCAD.

1.           Метод решения дифференциальных уравнений в MATHCAD.

Пусть дана краевая задача для дифференциального уравнения в непрерывной области D. Сопоставим ей некоторую дискретную задачу  в дискретной области , где - параметр дискретизации и , при , и - дискретный оператор, а переменные - дискретные функции, такие, что , , , , т. е. каркас –таблица значений функций  на сетке точек . В качестве дискретной задачи мы берем конечно-разностную схему (КРС), и тогда дискретная задача есть система алгебраических уравнений (СЛАУ), и элементы  есть таблица значений функций. В MATHCAD идея решения дискретной задачи  очень проста и естественна: . Эта идея имеет место даже тогда, когда элементы  являются матрицами:, где  — матрицы [3–6].

Команды в MATHCAD отличаются от математических формул с лишь следующим: знак (:=) означает определение, знак равенство (=) или стрелка (→) означает вывод вычисленного значения. После знака «записывается текст замечание.

2. Дифференциальные краевые задачи и КРС [1,2].

А) Рассмотрим краевую задачу для параболического уравнения:

,,(1)

.                                    (2)

(1), (2) называется краевой задачей для параболического дифференциального уравнения (КЗ для ПДУ). Функция , удовлетворяющая ПДУ и краевым условиям называется точным решением: , , .

Явная КРС ,для ПДУ с точностью имеет вид:

(3)

Неявная КРС ,для ПДУ с точностью имеет вид:

(4)

К (3) и (4) необходимо присоединить начальные и краевые условия

,(5)

Явная КРС для ПДУ решается с помощью реккурентных формул:

,                 (6)

Неявная КРС для ПДУ на каждом слое j сводиться к системе линейных уравнений:

.            (7)

Неявная КРС для ПДУ на каждом слое j есть система линейных уравнений с трёхдиагональной матрицей и, начиная с первого слоя, решается методом прогонки.

Вводя матрицу  с коэффициентами ;

; ,

и векторы  неявную схему можно записать в векторно-матричном виде, связывающим неизвестные го и го слоёв

.                                                                                (8)

В) Рассмотрим краевую задачу для гиперболического уравнения:

, ,(9)

.                  (10)

(9), (10) называется краевой задачей для гиперболического дифференциального уравнения (КЗ для ГДУ). Функция , удовлетворяющая ГДУ и краевым условиям называется точным решением: , , .

Явная КРС ,для ГДУ с точностью имеет вид:

,

Неявная КРС ,для ГДУ с точностью имеет вид:

,

Используя матрицу , неявную схему можно записать в векторно-матричном виде,

,                                                             (11)

которая связывает неизвестные го и го слоёв.

Явная КРС для ГДУ решается с помощью рекуррентных формул: ,

.

Неявная КРС для ГДУ на каждом слое j есть система линейных уравнений с трёхдиагональной матрицей и, начиная со второго слоя, решается методом прогонки:

,

Для ГДУ в явной и неявной КРС аппроксимацию можно улучшить до , если аппроксимацию начальных условий взять в следующем виде:

,.

3. Организация решения КРС для ПДУ в MathCAD.

Пусть дана краевая задача для параболического уравнения (1),(2) с данными:

,.                                                               (12)

, .                                                                           (13)

A) Решение с помощью внутренней функции Pdesolve.

Вводим в окне MathCAD следующие команды:

 «область

 «сетка

 «начальные данные

Given  «ПДУ, равенство жирное

 «краевые условия, равенство жирное

  «обращение к Pdesolve

 «решения ,

«выведем таблицу значений приближённого решения

«выведем таблицу значений точного решения

«выведем графики приближённого и точного решений

 

B) Решение явной КРС для ПДУ в MathCAD.

Записываем в окне MathCAD следующие команды:

 «область

 «сетка

 «начальные данные

 «дополнительные условия

«послойное вычисление и вывод

  «вычисление и вывод

Отметим, что таблицы значений приближённого и точного решений совпадают с соответствующими таблицами из пункта А), полученными внутренней функцией Pdesolve.

C) Решение неявной КРС для ПДУ в MathCAD.

Записываем в окне MathCAD следующие команды:

 «область

 «сетка

  «точное решение и его каркас

 «начальные данные

 «дополнительные условия

  «ввод матрицу СЛАУ

 «ввод матрицу СЛАУ

 «вычисление

A= «выведем для контроля матрицу А

 «вывод каркаса решения

 «вывод каркаса решения

Отметим, что таблицы значений приближённого и точного решений совпадают с соответствующими таблицами из пункта А), полученными внутренней функцией Pdesolve.

4. Организация решения КРС для ГДУ в MathCAD.

Рассмотрим краевую задачу для гиперболического уравнения (9),(10) с данными:

, (12)

, . (14)

A) Решение с помощью внутренней функции Pdesolve.

Для решения ГДУ внутренней функцией записываем следующие команды:

 «область

 «сетка

  «точное решение и его каркас

 «данные

Given  «ГДУ, равенство жирное

 «данные,

 «обращение к Pdesolve

«Выведем таблицу точного и приближённого решений

В) Решение явной КРС для ГДУ в MathCAD.

Записываем следующие команды (шаги алгоритма):

 «область

 «сетка

 «точное решение и его каркас

 «данные

 «явная КРС

«Вывод таблицу значений приближённого и точного решений:

«Только при увеличении десятичных разрядов можно увидеть разницу.

С) Решение неявной КРС для ГДУ в MathCAD.

Записываем следующие команды (шаги алгоритма):

 «область

 «сетка

 «точное решение и его каркас

 «данные

 «дополнительные условия

 «задание матрицы неявной КРС

 «задание матрицы неявной КРС

 «задание матрицы неявной КРС

 «задание правой части в КРС

«Организуем вычисления по неявной схеме

«Для контроля выведем значения приближённого решения на 0-ом, и 1-ом слоях

,

«Выведем таблицу значений точного и приближённого решений

«Выведем графики приближённого и точного решений:

 

Литература:

1.         Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1981.-456 c.

2.         Вержбицкий В. М. Основы численных методов. М.:ВШ, 2002.-840 с.

3.         Поршнев С. В., Беленкова И. В. Численные методы на базе MATHCAD.СПб, 2005.-464 с.

4.         Ракитин В. И. Руководство по ВМ и приложения MATHCAD.М.:ФМ, 2005.-264 с.

5.         Имомов А. Организация численных методов в MATHCAD. Молодой учёный, № 6(65), май 1, 2014 г.-с. 15–19.

6.         Ирискулов С. С., Исманова К. Д., Олимов М., Имомов А. Численные методы и алгоритмы. MATHCAD. Учебное пособие. -Наманган, Изд-во «Наманган», 2013.-278с.

Основные термины (генерируются автоматически): MATHCAD, точное решение, краевая задача, таблица значений, приближенное решение, внутренняя функция, дискретная задача, неявная схема, задание матрицы, Решение.


Похожие статьи

Организация вычислений решения краевой задачи для...

MATHCAD, функция, точное решение, система, элемент метода, линейная система уравнений, краевая задача, вычисление значений, вспомогательная функция, математическая система.

Реализация схемы Кранка — Николсона для линейного...

«выведем графики приближённого и точного решений. D) Решение КРС Кранка- Николсона для ПДУ в MathCAD.

Основные термины (генерируются автоматически): дискретная задача, краевая задача, точное решение, таблица значений, приближенное решение...

Организация решения задач исследования операций в MATHCAD

Основная цель работы — показать, как решаются основные задачи исследования операций, такие как задача линейного программирования, транспортная задача, задача о назначении, задача о коммивояжере, матричная игра в MathCAD.

Организация приближённого решения интегральных уравнений...

3) решение определяющую СЛАУ коэффициентов приближённого решения, например, или ,где -внутренняя функция MathCAD, дающая решение СЛАУ ; 4) вычисление некоторых значений приближённого решения, например, и вывод результатов вычислений в графики и таблицы.

Организация численных методов в MathCAD | Статья в журнале...

В MathCADе задачи решаются тремя способами: 1) с помощью стандартных внутренних функций MathCAD, 2) с помощью естественного математического алгоритма решения задачи

Решение транспортных задач с применением программирования...

Задачи исследования: 1. Рассмотреть типы транспортных задач и методы их решения. 2. Составить алгоритм для реализации методов решения транспортных задач в MathCAD.

Решение дифференциальных уравнений методом...

Точное решение этого уравнения: Решение 3-го приближения следующее: Нарисуем графики этих решений, т. е. точное и приближенное решение при помощи программы Mathcad

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

Организация вычислений решения краевой задачи для...

MATHCAD, функция, точное решение, система, элемент метода, линейная система уравнений, краевая задача, вычисление значений, вспомогательная функция, математическая система.

Реализация схемы Кранка — Николсона для линейного...

«выведем графики приближённого и точного решений. D) Решение КРС Кранка- Николсона для ПДУ в MathCAD.

Основные термины (генерируются автоматически): дискретная задача, краевая задача, точное решение, таблица значений, приближенное решение...

Организация решения задач исследования операций в MATHCAD

Основная цель работы — показать, как решаются основные задачи исследования операций, такие как задача линейного программирования, транспортная задача, задача о назначении, задача о коммивояжере, матричная игра в MathCAD.

Организация приближённого решения интегральных уравнений...

3) решение определяющую СЛАУ коэффициентов приближённого решения, например, или ,где -внутренняя функция MathCAD, дающая решение СЛАУ ; 4) вычисление некоторых значений приближённого решения, например, и вывод результатов вычислений в графики и таблицы.

Организация численных методов в MathCAD | Статья в журнале...

В MathCADе задачи решаются тремя способами: 1) с помощью стандартных внутренних функций MathCAD, 2) с помощью естественного математического алгоритма решения задачи

Решение транспортных задач с применением программирования...

Задачи исследования: 1. Рассмотреть типы транспортных задач и методы их решения. 2. Составить алгоритм для реализации методов решения транспортных задач в MathCAD.

Решение дифференциальных уравнений методом...

Точное решение этого уравнения: Решение 3-го приближения следующее: Нарисуем графики этих решений, т. е. точное и приближенное решение при помощи программы Mathcad

Задать вопрос