Интегральное уравнение для граничной задачи теплопроводности с дробной нагрузкой

В статье рассматривается краевая задача с дробно нагруженным уравнением теплопроводности в первом квадранте. Нагрузка имеет форму дробной производной Капуто, и порядок производной меньше порядка дифференциальной части. Обращением дифференциальной части уравнения задача сводится к интегральному уравнению типа Вольтерра второго рода. Ядро полученного интеграла уравнение содержит специальную функцию, а именно вырожденную гипергеометрическую функцию Трикоми. Решение интегрального уравнения обладает некоторым порядком малости при малых значениях времени, причем порядок малости зависит от порядка дробной производной в нагруженном слагаемом.

Ключевые слова : дробная нагрузка, производная, уравнение, интегральное уравнение.

Исследование по дробным дифференциальным уравнениям активно проводилось как в предыдущие десятилетия, так и сейчас интерес к этой области продолжает расти [1–4]. Это связано как развитием самой теории дробного интегрирования и дифференцирования, так и приложениями аппарата дробного интегрирования и дифференцирования в различных областях науки. Решение многих важных задач, например, по оптимальному управлению агроэкосистемой, сводятся к изучению именно таких уравнений [5–6].

Существование и единственность решений дробно-нагруженных краевых задач в определенных функциональных классах зависят от порядка дробной производной в нагруженном слагаемом. Методы исследования базируются на подходе к исследованию краевых задач, основанном на их сведении к интегральным уравнениям. К интегральному уравнению задача сводится обращением дифференциальной части.

Краевые задачи для дробно-нагруженного уравнения теплопроводности, когда нагруженное слагаемое представлено в форме дробной производной, исследованы некоторыми авторами.

1. Постановка дробно-нагруженной краевой задачи теплопроводности

Рассмотрим задачу в области:

(1)

где — комплексный параметр, — производная Капуто порядка , ; — непрерывно возрастающая функция, .

(3)

Обратим дифференциальную часть задачи (1)-(2).

Получим

(4)

От (4) найдем производную Капуто порядка от , и затем положим

Предварительно вычислим

;

Тогда согласно формуле производной Капуто порядка , , имеем

Первый интеграл вычисляем интегрированием по частям, во 2-м и 3-м интеграле меняем порядок интегрирования

Потребуем при

Тогда

, (5)

Где

,

Замена

Замена: Тогда

Нахушев А. М. Уравнения математической биологии — [1, с. 286]; формула 2.3.6 (9)

(6)

Аналогично получим

Здесь — вырожденная гипергеометрическая функция Трикоми.

Подставив выражения (6) и (7) в (5), получим:

(8)

С учетом (8) при из (4), получим:

где

(9)

или

(10)

Где

Преобразуем выражение в фигурных скобках в равенстве (11) обозначив его через

Обозначим

;

Тогда

(12)

Введем обозначения согласно [Бейтман 1]

Тогда согласно формуле (7) и (6) из [Бейтман 1, стр. 246]

Тогда выражение (12)изменит вид с учетом обозначения для z;

Тогда ядро (11) можно переписать виде

Основной результат

Лемма Краевая задача (1)-(2) эквивалентно сводится к интегральному уравнению Вольтерра (11) с ядром и правой частью, определяемыми формулами (9) и (13) соответственно, где удовлетворяет условию: , .

Литература:

1. Нахушев А. М. Уравнения математической биологии. — М.: Высшая школа, 1995.
2. Нахушев А. М. Нагруженные уравнения и их приложения // Дииференц. уравнения. — 1983.
3. Нахушев А. М. О задаче Дарбу для одного вырождающегося нагруженного интегро-дифференциального уравнения. — 1976.
4. Дженалиев М. Т. К теории линейных краевых задач для нагруженных дифференциальных уравнений. — Алматы: Компьютерный центр ИТПМ, 1995.
5. Дженалиев М. Т. О нагруженных уравнениях с периодическим граничными условиями // Дифференц. уравнения. — 2001. — Т.37, № 1. — С.48–54.
6. Дженалиев М. Т. Рамазанов М. И. Нагруженные уравнения — как возмущения дифференциальных уравнения. — Алматы: ГЫЛЫМ, 2010.
7. Oldham K. B., Spainer J. The Fractional Calculus. — New York-London: Academic Press, 1974.
8. Самко С. Г., Килбас А. А., Марчев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. — Минск: Наука и техника, 1987.
9. Космакова М. Т., Касымова Л. Ж. К решению уравнения теплопроводности с дробной нагрузкой. — Вестник КазНУ. Серия математика, механика, информатика. № 1 (101), 2010.