Об одной задаче определения правой части линейного дифференциального уравнения четвертого порядка

В работе исследована обратная задача определения правой части для дифференциального уравнения с частными производными четвертого порядка с переопределениям во внутренних точках. Сначала с помощью функции Грина исходная прямая задача сводится к эквивалентной задаче, для которой доказывается теорема существования и единственности решения. Далее, пользуясь методами обратных теории задач, доказывается существование и единственность решения рассматриваемой обратной задачи.

Ключевые слова: обратная задача, дифференциального уравнения с частными производными, функция Грина.

К настоящему времени обратные задачи превратились в бурно развивающуюся область знаний, проникающую почти во все сферы математики, включая алгебру, анализ, дифференциальные уравнения, математическую физику и др. С другой стороны, теория обратных задач широко применяется для решения практических задач почти во всех областях науки, в частности, в физике, медицине, экологии, экономике.

На данный момент в связи с проблемами геофизики, океанологии, физики атмосферы, использованием криогенных жидкостей в технике и ряда других проблем значительно возрос интерес к изучению динамики неоднородных, и в частности, стратифицированных жидкостей, которые приводят к начально-краевым задачам для уравнений с частными производными четвертого порядка.

В работе рассматривается обратная задача для дифференциальных уравнений с частными производными четвертого порядка.

Постановка задачи. Требуется найти функции f(t) иu(t,x) в области

Ω_T={(x, t)|0<x<1,},удовлетворяющие уравнению

,(1)

заданным начальным и краевым условиям,

(3)

и известно решениеu(t,x) в точке

,(4)

где 0<T — заданная постоянная,αиβ- известные постоянные.

Предположим выполнение следующих условий:

(5)

Лемма 1. Еслито резольвентаR(t,s)ядра, представима в виде

.(6)

Доказательство.Для докакзательства покажем, что

.

Лемма 1 доказана.

Лемма 2. Если α>0, то функция Грина краевой задачи

записывается в виде

(7)

Доказательство.Функцию Грина G(x,) будем искать в виде

где a₁,a₂,b₁,b₂ — пока неизвестные функции.Из определения функции Грина G(x,) имеем:

,

,

,

.

Продифференцируем (8) по х:

Тогда

Отсюда находим

(10)

Подставляя (9) и (10) в (8), получим (7). Лемма 2 доказана.

Для решения обратной задачи (1)-(4) введем обозначение

(11)

Тогда имеют место равенства

(12)

Учитывая (11) и (12), из (1) имеем

. (13)

Применяя резольвенту (5) ядра , из (12) получим

(14)

(15)

Используя функцию ГринаG(x,) определенную по формуле (7)к краевой задаче (14)-(15), получим

(16)

Введя обозначение для известных функций

(17)

уравнение (16) перепишем в виде

(18)

Полагая иучитывая (4), (11), из (18) имеем

(19)

где(20)

Таким образом, для определенияи v(t,x),,мыполучили систему линейных интегральных уравнений Вольтерра второго рода (18) и (19).Тем самым доказана следующая

Теорема. Пусть выполняются условия (5) и (20). Тогда обратная задача (1)-(4) имеет единственное решение {v(t,x),f(t),}из пространствагде пространство n- мерных вектор- функций с элементами из

Литература:

1. Asanov A., Atamanov E. R. Nonclassical and Inverse Problems for Pseudoparabolic Equations. — Netherlands: VSP, Utrecht, 1997. — 152 p.
2. Асанов А., Атаманов Э. Р. Обратная задача для операторного интегро-дифференциального псевдопараболического уравнения.- Сиб. матем. журнал.- 1995. Т.36. № 4.- С.752–762.
3. Бухгейм А. Л. Уравнения Вольтерра и обратные задачи. — Новосибирск: Наука, 1983. — 207 с.
4. Кабанихин С. И. Обратные и некорректные задачи. — Новосибирск: Сибирское научное издательство, 2009. — 457 с.
5. Лаврентьев М. М. О некорректных задачах математической физики.- Новосибирск: СО АН СССР, 1962.
6. Матанова К. Б. Обратная задача для дифференциальных уравнений с частными производными четвертого порядка // Вестник ОшГУ. Труды международной научно-теоретической конференции “Проблемы образования, науки и культуры в начале 21 века”. 2001. Вып. 4. — С. 94–100.