Рассматривается начальная задача для неоднородного линейного рекуррентного соотношения первого порядка с операторными коэффициентами
Ключевые слова: линейное рекуррентное соотношение, первый порядок, начальная задача, фредгольмов оператор, одношаговое расщепление.
Рассматривается задача:
где








Под решением задачи (1), (2) подразумевается последовательность
Основы теории рекуррентных соотношений (возвратных последовательностей) были разработаны и опубликованы в 20-х гг. XVIII в. французским математиком А. Муавром и швейцарским математиком Д. Бернулли. Развёрнутую теорию дал крупнейший математик XVIII в. петербургский академик Л. Эйлер. Из более поздних работ следует выделить изложение теории возвратных последовательностей в курсах исчисления конечных разностей, читанных знаменитыми русскими математиками академиками П. Л. Чебышевым и А. А. Марковым.
Рекуррентные соотношения играют большую роль в дискретной математике, являясь по существу в некотором смысле дискретным аналогом дифференциальных уравнений. Кроме того, они позволяют сводить данную задачу от n параметров к задаче от n — 1 параметров, потом к задаче от n — 2 параметров и т. д. Последовательно уменьшая число параметров, можно дойти до задачи, которую уже легко решить.
Рекуррентными соотношениями первого порядка и их системами описывается динамика частицы в вязкой среде под действием импульсных толчков (отображение Эно) [1], динамика лимитированной структурированной популяции при избирательном промысле [2] и т. д.
Здесь оператор
A
полагается вырожденным:
1. Необходимые сведения
Рассмотрим вспомогательную задачу:

где
Имеет место следующая лемма.
Лемма 1. Решение задачи (4), (5) единственно и равно
Доказательство. Методами функционального анализа [4] доказывается, что если оператор D ограничен, то задача имеет единственное решение.
Установим, что последовательность (5) является решением. Имеем:
что и требовалось доказать.
Замечание 1
[5].Линейный оператор

Этот результат в частном случае некоторого оператора будет доказан далее.
В силу замечания оператор A можно полагать фредгольмовым, что влечет разложения в прямые суммы:
где
Для него введем проектор







Пусть далее, оператор
A
имеет одномерное ядро. Зафиксируем элементы



В работе [6] доказано следующее утверждение.
Лемма 2.
Линейное уравнение

Перейдем к решению задачи, для чего докажем лемму о регуляризации соотношения (1) (то есть, сведения к виду (3)).
2. Решение начальной задачи
В силу леммы 2 соотношение (1) равносильно системе
с искомой последовательностью
Заменив в (9)


Подставив в полученное соотношение выражение (8), получим
откуда

Далее, пусть выполнено условие.
Условие 1.
Выразив
в обозначениях
Тем самым, получен следующий результат.
Лемма 4. Пусть выполнено условие 1. Тогдасоотношение (1) равносильно системе (11), (9).
Имеет место предложение.
Предложение 1.
Оператор
Операторы A , B ограничены, как действующие в



Это влечет ограниченность



Из лемм 4, 1 и предложения 1 вытекает следующее утверждение.
Теорема 1. Пусть выполнено условие 1. Тогда решение задачи (1), (2) существует при выполнении условия
Оно единственно и определяется формулой
Это решение обладает свойством

Условие (12) называется условием согласования.
3. О фредгольмовости одного оператора
Предложение 2. Оператор
фредгольмов.
Доказательство.
Будем обозначать
1. Вычислим ядро этого оператора, решив уравнение
с искомым вектором

В этом системе возьмем одну из переменных — например,
Разложим этот элемент по базису

Отметим, что ядро одномерно.
2. Построим подпространство
то есть,

Докажем, что (14) является прямой суммой, для чего установим, что
откуда из вторых компонент вытекает
3. Построим образ

Заметим, что вторая строка в 3 раза больше первой:
4. Теперь построим дефект

и разложим
то есть,

Разложим этот элемент по базису
Отметим, что дефект одномерен, значит, условие равенства размерностей ядра и дефекта выполнено. Кроме того, имеет место (7).
Аналогично доказывается, что (15) является прямой суммой.
5. Вычислим оператор

Из первого и второго равенства системы вытекает, что первая компонента
6. Построим проектор


Проверяем, что
4. Пример
Рассматривается задача:
где
Система (16) — это соотношение (1) с операторами

вектором
В предыдущем пункте было доказано, что оператор
Вычислим оператор


Рассмотрим частный случай

Литература:
- Кузнецов С. П. Динамический хаос (курс лекций) / С. П. Кузнецов. ‒ Физматлит, 2001. ‒ 295 с.
- Неверова Г. П. Режимы динамики лимитированной структурированной популяции при избирательном промысле / Г. П. Неверова, А. И. Абакумов, Е. Я. Фрисман // Математическая биология и биоинформатика. ‒ 2017. ‒ Т. 12. № 2. ‒ С. 327‒342.
- Никольский С. М. Линейные уравнения в линейных нормированных пространствах / С. М. Никольский // Изв. АН СССР. Сер. матем. — 1943. — Т. 7, вып. 3. — С. 147‒166.
- Функциональный анализ. — Под общ. ред. С. Г. Крейна. — М.: Наука, 1972.
- Усков В. И. Решение задач для уравнений соболевского типа методом каскадной декомпозиции // Дисс… канд. физ.-мат. наук. — Воронеж, 2019. — 137 с.
- Zubova S. P. Asymptotic Solution of the Cauchy Problem for a First-Order Equation with a Small Parameter in a Banach Space. The Regular Case / S. P. Zubova, V. I. Uskov // Mathematical Notes, 2018, Vol. 103, No. 3, p. 395 ‒ 404.