Рассматривается интегральное уравнение Фредгольма первого рода. Такие уравнения встречаются в задачах математической физики (например, в оптических явлениях), в задачах об издержках производства и т. д. Рассматривается частный случай разложимого ядра по базису. Отмечается, что при выполнении некоторых условий решение определяется единственным образом; находится это решение. Результат иллюстрируется примерами.
Ключевые слова: интегральное уравнение Фредгольма, первого рода, решение.
1. Решение уравнения
Рассматривается уравнение
(1)
где 
, 
— заданные непрерывные по совокупности переменных функции, 
— искомая непрерывная функция; 
.
Многие задачи математической физики приводят к таким уравнениям: например, задача восстановления размытого изображения [1]; задача об издержках производства [2] и т. д.
Определение. Вронскианом функций 
называется определитель [3]
Пусть выполнены следующие условия:
1) ядро
раскладывается по базису 
, 
, …, 
:
2) 
(2)
3) вронскиан на 
(3)
4) функция 
записывается в виде разложения по тому же базису:
(4)
с постоянными 
.
Замечание. Подставив выражение (2) для ядра в левую часть уравнения (1), получим выражение вида (4).
Решение уравнения (1) найдем в виде
(5)
где постоянные 
надлежит вычислить.
Подставив выражения (2), (4) в (1), получим равенство:
(6)
Приравняв коэффициенты в (6) при 
:
(7)
и подставив (5) в (7), получим систему для определения
:
(8)
в обозначении
(9)
Построим следующие матрицы:
Коэффициенты в (5) определяются из системы (8) единственным образом, поскольку в силу неравенства (3) имеем 
. Они вычисляются по формулам Крамера [4]:
(10)
Таким образом, получен следующий результат.
Теорема. При выполнении условия (3) решение уравнения (1), (2), (4) единственно и определяется по формулам (5), (10), (9).
2. Примеры
Пример 1. Решить уравнение
(11)
1) Ядро 
и функцию
можно представить в виде (2) [5] и (4), где
2) Проверим, что выполнено условие (3). Действительно, на 
3) Проверим, что функции 
, 
образуют базис на . Действительно,
4) Тогда в силу теоремы решение уравнения (11) единственно и равно
(12)
где по формулам (10), (9)
Непосредственной подстановкой выражения (12) в уравнение (11) убеждаемся в правильности решения.
Пример 2. Решить уравнение
(13)
1) Внесем интегралы в левой части уравнения под один интеграл. Ядро 
и функцию 
можно представить в виде (2) и (4), где
2) Проверим, что выполнено условие (3). Действительно, на 
3) Проверим, что функции , , 
образуют базис на . Действительно,
4) Тогда в силу теоремы решение уравнения (13) единственно и равно
(14)
где по формулам (10), (9)
Непосредственной подстановкой выражения (14) в уравнение (13) убеждаемся в правильности решения.
Литература:
- Полянин А. Д., Манжиров А. В. Справочник по интегральным уравнениям. М.: Физматлит, 2003. — 608 с.
- Спирина М. С., Спирин П. А. Интегральные уравнения при моделировании издержек // Вестник Поволжского госуниверситета. Серия: Экономика. — 2015. — № 2 (40). — С. 234–238.
- Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1974. — 331 с.
- Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. М.: Добросвет, МЦНМО, 1998. — 320 с.
- Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике М.: 2006. — 509 с.
