В статье исследуется немодельное двумерное интегральное уравнение типа Вольтерра с слабо-особой и сильно-особой линией на полосе. В случае, когда функции, присутствующие в ядрах, не связаны между собой, решение немодельного двумерного интегрального уравнения типа Вольтерра с особой и слабо-особой линией сводится к решению двумерного интегрального уравнения со слабой особенностью на полосе. Решение интегрального уравнения выражается через резольвенту интегрального уравнения со слабой особенностью.
Ключевые слова: немодельное интегральное уравнение, сильно-особая линия, слабая особенность, резольвента.
In this article investigates a non-model two-dimensional Volterra-type integral equation with a weakly-singular and a strongly-singular line on the band. In the case where the functions present in the nuclei are unrelated, the solution of a non-model two-dimensional Volterra-type integral equation with a singular and weakly singular line is reduced to the solution of a two-dimensional integral equation with a weak singularity on the band. The solution of the integral equation is expressed in terms of the resolvent of the integral equation with a weak singularity.
Key words: non-model integral equation, strong-singular line, weak singularity, resolvent.
Через D обозначим область 
. Границы области соответственно обозначим: 
В области D рассмотрим двумерное интегральное уравнение вида:
(1)
где 
заданные функции соответственно на 
и 
искомая функция, 
.
Интегральное уравнение (1) будем исследовать при предположении, что 
Решение интегрального уравнения (1) будем искать в классе функций
с асимптотическим поведением
,
с асимптотическим поведением
.
В [1] изучено немодельное двумерное интегральное уравнение типа Вольтерра с граничным слабо-сингулярным ядром в случае, когда функции присутствующие в ядрах связаны и не связаны между собой в первом квадранте.
Работы [2], [3], [4] посвящены изучению модельного двухмерного интегрального уравнения типа Вольтерра с особой и слабо-особой линией на полосе в случае, когда параметры уравнения связаны между собой и не связаны между собой, работа [5] посвящена постановке граничных задач и их решению модельных двумерных интегральных уравнений типа Вольтерра с особой и слабо-особой линией на полосе.
Допустим, что в уравнении (1) 
В этом случае, согласно [1] уравнение (1) представим виде:
где
По обе стороны (2) действуя при помощи интегрального оператора 
, после слагаемое, которое содержит неизвестную функцию 
перенося в левую часть, приходим к решению интегрального уравнения:
(3)
где
Далее, при
вводя обозначение
уравнение (3) представим в виде
где
Справедливы следующие утверждения:
Теорема 1. Пусть в интегральном уравнении (1) 
, 
, 
и в окрестности точек 
удовлетворяют условиям:
(5)
при 
(6)
, 
и на 
и 
обращается в нуль с асимптотическими поведениями
при (7)
при (8)
Функция 
и на и 
обращается в нуль с асимптотическими поведениями
при
при 
Тогда задача о нахождении интегрального уравнения (1) в классе функций 
обращающеется в нуль на и эквивалентна задаче о нахождении решения двумерного интегрального уравнения типа Вольтерра со слабой особенностью (4).
Теорема 2. Пусть в интегральном уравнении (1), 
функции и в окрестности точек соответственно удовлетворяют условиям (5), (6), 
на и обращается в нуль с асимптотическими поведениями
при
при
Функция
и на и обращается в нуль с асимптотическими поведениями (7), (8). Тогда интегральное уравнение (1) имеет единственное решение, которое выражается равенством:
где 
резольвента двумерного интегрального уравнения со слабой особенностью (4).
Литература:
-
Раджабова Л. Н., Раджабов Н. К теории одного класса двумерного слабо-сингулярного интегрального уравнения типа Вольтерра на первом квадранте// Доклады Академии Наук Республики Таджикистан
2014.
Т. 57. № 6. С. 443–451.
- Раджабова Л. Н., Хушвахтов М. Б. К теории особых двумерных интегральных уравнений типа Вольтерра с особой и слабо-особой линией на полосе// Вестник Таджикского национального университета. Серия естественных наук. — 2017. — № 1/3. — С.3–5.
- Раджабова Л. Н., Хушвахтов М. Б. К теории особых двумерных интегральных уравнений типа Вольтерра с особой и слабо-особой линией на полосе в случае, когда параметры уравнения не связаны между собой// Доклады Академии Наук Республики Таджикистан. — 2018. — Т. 61. № 4. — С. 331–337.
- Хушвахтов М. Б. О некоторых случаях двумерных интегральных уравнений типа Вольтерра с особой и слабо-особой линией на полосе// Вестник Таджикского национального университета. Серия естественных наук. — 2019. — № 1. — С.44–49.
- Хушвахтов М. Б. Граничные задачи для двумерных интегральных уравнений типа Вольтерра с сильно-особой и слабо-особой линией на полосе. Материалы республиканской научной конференции, посвящённой 80-летию видного таджикского математика, профессора Бекназара Имомназарова (Таджикистан, г.Душанбе, 10–11 июня 2019г.). –Душанбе:2019.– С.263–267.
