В одномерной ограниченной области исследована вторая начально-краевая задача для однородного псевдопараболического уравнения с дробной по времени производной Капуто. Установлены условия однозначной разрешимости рассматриваемой задачи в классе непрерывно дифференцируемых функций. Существование решения первой краевой задачи доказано методом Фурье.
Ключевые слова: псевдопараболическое уравнение, краевые задачи, дифференциальное уравнение дробного порядка, дробная производная Капуто, дробный интеграл Римана-Лиувилля, метод Фурье, функция Миттаг-Леффлера.
In a one-dimensional bounded domain, the second initial-boundary value problem for a homogeneous pseudoparabolic equation with a time-fractional Caputo derivative is studied. Conditions for the unique solvability of the problem under consideration in the class of continuously differentiable functions are established. The existence of a solution to the first boundary value problem is proved by the Fourier method.
Keywords: pseudoparabolic equation, boundary value problems, fractional order differential equation, Caputo fractional derivative, Riemann-Liouville fractional integral, Fourier method, Mittag-Leffler function,
Введение
Дифференциальные уравнения с дробными производными естественным образом возникают в ряде областей науки, таких как физика, инженерия, биофизика, явления кровотока, аэродинамика, электронно-аналитическая химия, биология, теория управления и т. д. Более подробную информацию о таких уравнений можно найти в работах [1–4].
Псевдопараболические уравнения с дробными производными возникают при описании процессов фильтрации жидкости в сильно пористой (фрактальной) среде, фильтрации жидкости в трещиноватой среде с фрактальной геометрией трещин, переноса почвенной влаги в зоне с учетом ее движения против потенциала влажности [4–7]. В связи с этим возникает необходимость исследования краевых задач для дифференциальных уравнений с дробными производными и разработки методов их решений.
Задача Коши, начально-краевые задачи для псевдопараболического уравнения, в том числе для уравнения Аллера с дробными производными Римана-Лиувилля были изучены в работах [8–11].
В данной работе изучается первая начально-краевая задача для одномерного псевдопараболического уравнения уравнения с дробными производными Капуто.
1. Определение дробных проиводных и интегралов.
Введем некоторые понятия, необходимые для дальнейшего исследования.
Определение 1.
Дробным дифференциальным оператором Капуто
где
Определение 2.
Дробным интегральным оператором Римана-Лиувилля
![](https://moluch.ru/blmcbn/91006/91006.002.png)
![](https://moluch.ru/blmcbn/91006/91006.003.png)
Определение 3.
Двупараметрическая функция
называется функцией Миттаг-Леффлера.
Приведем некоторые соотношения, приведенные в [3]:
![](https://moluch.ru/blmcbn/91006/91006.011.png)
![](https://moluch.ru/blmcbn/91006/91006.012.png)
При
![](https://moluch.ru/blmcbn/91006/91006.017.png)
Обобщение формулы Ньютона-Лейбница, при
2. Постановка и основной результат
В области
![](https://moluch.ru/blmcbn/91006/91006.022.png)
где
Здесь
Определение 1.
Классическим решением задачи (2.1) -(2.3) в области
![](https://moluch.ru/blmcbn/91006/91006.029.png)
![](https://moluch.ru/blmcbn/91006/91006.030.png)
![](https://moluch.ru/blmcbn/91006/91006.031.png)
![](https://moluch.ru/blmcbn/91006/91006.032.png)
![](https://moluch.ru/blmcbn/91006/91006.033.png)
![](https://moluch.ru/blmcbn/91006/91006.034.png)
![](https://moluch.ru/blmcbn/91006/91006.035.png)
![](https://moluch.ru/blmcbn/91006/91006.036.png)
Теорема
. Пусть
![](https://moluch.ru/blmcbn/91006/91006.039.png)
![](https://moluch.ru/blmcbn/91006/91006.040.png)
Доказательство. Согласно методу Фурье, нетривиальные решения уравнения (2.1), удовлетворяющее граничным условиям (2.3) ищем в виде
Подставляя значения
Отсюда, предполагая, что
![](https://moluch.ru/blmcbn/91006/91006.045.png)
![](https://moluch.ru/blmcbn/91006/91006.046.png)
Известно, что задача Штурма-Лиувилля (2.6) имеет следующий вид собственные значения и собственные функции:
и образуют ортонормированный базис в пространстве
![](https://moluch.ru/blmcbn/91006/91006.050.png)
Дифференциальное уравнение дробного порядка (9) при
где
Объединив
![](https://moluch.ru/blmcbn/91006/91006.057.png)
удовлетворяют уравнению (2.1) и граничным условиям (2.3).
Воспользовавшись обобщенным принципом суперпозиции, запишем решение задачи (2.1), (2.3) в виде
Для нахождения неизвестных постоянных
Рассматривая это равенство как разложение
![](https://moluch.ru/blmcbn/91006/91006.061.png)
Подставив найденные
(2.1)-(2.3):
Теперь покажем, что найденная функция
![](https://moluch.ru/blmcbn/91006/91006.066.png)
![](https://moluch.ru/blmcbn/91006/91006.067.png)
Отсюда следует, что ряд (2.12) с коэффициентами
Далее покажем, что формально построенное решение (2.4) является классическим, т. е. регулярным при
Используя неравенство (2.13) и то, что
![](https://moluch.ru/blmcbn/91006/91006.072.png)
из формулы (2.11), имеем
Поэтому функция
Остается показать, что функция
![](https://moluch.ru/blmcbn/91006/91006.078.png)
Формально дифференцируя ряд (2.12), находим
Поскольку
![](https://moluch.ru/blmcbn/91006/91006.082.png)
то
Из оценок (2.15) заключаем, что ряды
сходятся равномерно к
![](https://moluch.ru/blmcbn/91006/91006.086.png)
![](https://moluch.ru/blmcbn/91006/91006.087.png)
![](https://moluch.ru/blmcbn/91006/91006.088.png)
Литература:
- Kilbas A. A., Srivastava H. M. and Trujillo J. J. “Theory and Applications of Fractional Differential Equations,” North-Holland Mathematics Studies , Vol. 204, 2006.
- Miller K. S. and. Ross B. “An Introduction to the Frac- tional Calculus and Fractional Differential Equations,” John Wiley, New York, 1993.
- Podlubny I. “Fractional Differential Equations,” Aca- demic Press, San Diego, New York, London, 1999.
- Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. — Минск: Наука и техника, 1987. — 688 с.
- Джарбашян М. М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М., 1966.-672с.
- Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003. 272 с.
- Учайкин В. В. Метод дробных производных. Ульяновск: Артишок, 2008. 512 с.
- Псху А. В. Уравнения в частных производных дробного порядка. М.: Наука. 2005. 199 с.
- Аблабеков, Б. С. Обратные задачи для псевдопараболических уравнений.- Бишкек: Илим, 2001. –183 с.
- Аблабеков, Б. С. Метод полуобращения и существование решений начальной, начально-краевой задачи // Наука и новые технологии. –1999.- № 4. — С. 12– 19.