Рассматривается система однородных линейных рекуррентных соотношений первого порядка, записанная в векторном виде. Оператор в правой части системы действует в пространстве 
. Исследуются следующие случаи его собственных значений: 1) вещественные, единичной алгебраической кратности; 2) кратные вещественные; 3) комплексно сопряженные. Получено общее решение в аналитическом виде. Результаты иллюстрируются примерами с конкретными операторами.
Ключевые слова: система линейных рекуррентных соотношений, первый порядок, общее решение.
Рассматривается система линейных рекуррентных соотношений (далее, ЛРС) первого порядка, записанная в векторном виде:
(1)
где 
— искомая вектор-последовательность, 
— оператор, задаваемый числовой квадратной матрицей, 
.
Системами рекуррентных соотношений задаются модели, описывающие развитие (идеализированной) популяции кроликов [1], распределение государством денежной массы по агрегатам [2], взаимодействие с окружающей средой (например, вырубка лесов) [3] и т. д.
Приведем необходимые для решения задачи сведения [4].
Определение 1. Собственное значение 
оператора 
— это корень характеристического уравнения
(2)
где
— единичный оператор той же размерности.
Определение 2. Собственный вектор 
, отвечающий собственному значению , определяется при решении уравнения
(3)
Определение 3. Алгебраической кратностью собственного значения 
назовем степень соответствующего множителя 
, с которым он входит в разложение характеристического уравнения.
В настоящей работе будет построено решение ЛРС (1) в следующих случаях: I) вещественных, единичной алгебраической кратности, II) кратных вещественных, III) комплексных собственных значений оператора .
- Случай I
Исследуется случай: оператор имеет собственные значения единичной алгебраической кратности. Пусть 
, 
, 
, 
‒ собственные значения оператора , а 
, 
, , 
‒ собственные векторы, отвечающие этим собственным значениям.
Имеет место следующее утверждение.
Лемма 1. Пусть ‒ собственное значение оператора , а — собственный вектор, отвечающий этому собственному значению. Тогда последовательность
(4)
является частным решением соотношения (1).
Доказательство. Действительно, подставив последовательность (4) в соотношение (1) вместо 
, получим:
Последнее равенство верно в силу определения 2. Лемма доказана.
Из леммы 1 вытекает следующий результат.
Теорема 1. Последовательность
где 
‒ произвольные скаляры, является общим решением соотношения (1).
- Случай II
Исследуется случай: оператор имеет кратные собственные значения. Пусть собственное значение имеет алгебраическую кратность 
.
Рассмотрим вспомогательное дифференциальное уравнение:
(5)
Частное решение этого уравнения, отвечающее собственному значению , равно
где здесь и далее 
— произвольные вектор-постоянные [5].
Определим функционал для непрерывно дифференцируемой 
раз в точке 
функции 
формулой:
Имеет место следующее утверждение.
Лемма 2. Для всех 
имеет место равенство:
где 
— количество размещений из элементов по 
.
Доказательство. По формуле Лейбница имеем
(6)
где 
— биномиальный коэффициент. Нетрудно видеть, что
Подставив два последних равенства в (6), учитывая, что при 
слагаемые суммы равны нулю, получим:
Выделим в сумме слагаемое с 
, имея 
Взяв в последнем выражении , получим утверждение леммы. Лемма доказана.
Методом, введенным в работе [6], с применением леммы 2 получено следующее утверждение.
Лемма 3. Частное решение ЛРС (1), отвечающее собственному значению равно
(7)
Тем самым, справедлив следующий результат.
Теорема 2. Общее решение соотношения (1) является суммой частных решений (7):
- Случай III
Пусть оператор имеет комплексно-сопряженные собственные значения вида
(8)
Частное решение 
уравнения (5), отвечающее собственному значению (8), раскладывается по собственным функциям 
, 
[5]:
Имеет место следующий результат.
Лемма 4. Частное решение для ЛРС (1), отвечающее собственным значениям (8), определяется формулой:
(9)
где
— целая часть числа x.
Доказательство. Применим тот же метод доказательства, что и в предыдущем пункте. Частное решение для ЛРС (1), отвечающее собственному значению (8), равно
(10)
По формуле Лейбница
(11)
Далее, нетрудно видеть, что
Взяв в последних соотношениях и подставив в (11), (10), в силу соотношений:
где символом mod обозначен остаток от деления, приходим к формуле из утверждения леммы. Лемма доказана.
Из леммы 4 вытекает следующий результат.
Теорема 3. Общее решение — это сумма частных решений, каждое из которых отвечает своей паре комплексно сопряженных собственных значений оператора . Эти частные решения определяются по формуле (9).
- Примеры
Проиллюстрируем полученные результаты следующими примерами.
Пример 1. Решить следующую систему ЛРС
(12)
Система (12) — это система вида (1) с искомой вектор-последовательностью
и оператором
1) Вычислим собственные числа оператора 
. Для этого решим характеристическое уравнение (2):
2) Вычислим собственные векторы 
, 
, отвечающие собственным числам 
, 
. Решив уравнение (3), получим:
3) Оператор имеет вещественные собственные значения единичной алгебраической кратности, следовательно, имеет место случай I. Общее решение системы (12) в силу теоремы 1 равно
Непосредственной подстановкой последнего выражения в исходную систему убеждаемся в истинности решения.
Пример 2. Решить следующую систему ЛРС
(13)
Система (13) — это система вида (1) с искомой вектор-последовательностью
и оператором
1) Вычислим собственные числа оператора . Для этого решим характеристическое уравнение:
2) Оператор имеет вещественное собственное значение алгебраической кратности 3, следовательно, имеет место случай II. Общее решение системы (13) в силу теоремы 2 равно
Чтобы выразить одни коэффициенты через другие, применим следующее утверждение [6].
Утверждение. Система последовательностей 
образует базис.
Из него вытекает следствие.
Следствие. Пусть 
— постоянные. Тогда равенство нулю линейной комбинации 
влечет равенство нулю ее коэффициентов.
Подставив полученное выражение во второе соотношение системы, в силу следствия, получим:
Подстановка полученного выражения в третье соотношение системы влечет равенства:
Наконец, из первого соотношения системы получаем:
Взяв в качестве параметров 
, 
, 
, 
, получим искомое решение системы:
Пример 3. Решить следующую систему ЛРС
(14)
Система (14) — это система вида (1) с искомой вектор-последовательностью
и оператором
1) Решив характеристическое уравнение
вычислим собственные числа оператора :
2) Оператор обладает комплексными собственными значениями, следовательно, имеет место случай III. Общее решение системы (14) в силу теоремы 3 равно
(15)
3) Для определения коэффициентов подставим (15) в (14), взяв
, 
. Решив полученную систему, имеем:
Таким образом,
Некоторые результаты настоящей работы апробированы на конференции [7].
Литература:
- Неверова Г. П. Режимы динамики лимитированной структурированной популяции при избирательном промысле / Г. П. Неверова, А. И. Абакумов, Е. Я. Фрисман // Математическая биология и биоинформатика. 2017. Т. 12. № 2. С. 327–342.
2. Денежная масса и денежная база. Структура денежной массы [электронный ресурс]. Режим доступа: https://studopedia.ru/6_106532_denezhnaya-massa-i-denezhnaya-baza-struktura-denezhnoy-massi.html (дата обращения: 21.12.2019).
- Игнатенко В. В., Турлай И. В., Федоренчик А. С. Моделирование и оптимизация процессов лесозаготовок: учебное пособие для студентов специальности «Лесоинженерное дело». Мн.: БГТУ, 2004.
- Бирман М. Ш., Виленкин Н. Я., Горин Е. А. Функциональный анализ. М.: Наука. 1972. 544 с.
- Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1974. 331 с.
- Усков В. И., Анжаурова Т. М. Решение линейных рекуррентных соотношений второго порядка // Молодой ученый. 2019. № 42 (280). C. 1–6.
- Бурчакова Т. Л., Довгаль В. А. Решение одной системы линейных рекуррентных соотношений первого порядка // Материалы VI Международной научно-практической конференции (школы-семинара) молодых ученых «Прикладная математика и информатика: современные исследования в области естественных и технических наук». Тольятти, 2020.
