Приведение дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами к каноническому виду | Статья в журнале «Молодой ученый»

Отправьте статью сегодня! Журнал выйдет 7 декабря, печатный экземпляр отправим 11 декабря.

Опубликовать статью в журнале

Библиографическое описание:

Сатниязова, Э. К. Приведение дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами к каноническому виду / Э. К. Сатниязова, Оразгали Бахтыбай улы Боранбаев, Д. К. Убайдуллаева, Рахим Осербай улы Онгарбаев. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2023. — № 27 (474). — С. 8-12. — URL: https://moluch.ru/archive/474/104824/ (дата обращения: 24.11.2024).



Ключевые слова: каноническая форма, гиперболический тип, характеристическое уравнение, уравнение с постоянными коэффициентами.

Вопрос о классификации частных дифференциальных уравнений второго порядка с двумя переменными и их канонической формы имеет большое значение при работе с уравнениями математической физики. Этот вопрос имеет большое значение в технике и в жизни в связи с задачами, решаемыми данным уравнением. Часто мы приводим уравнение к каноническому виду, подставляя функции одной или двух переменных. Однако в общем случае этот тип канонического представления может усложниться. Следовательно, мы должны упростить его снова. Вот несколько примеров того, что делать в такой ситуации:

Задача 1. Привести следующие уравнения с постоянными коэффициентами к каноническому виду, затем еще раз упростить.

.(1)

,

, .

— уравнение гиперболического типа.

Приведем данное уравнение к каноническому виду:

Характеристическое уравнение данного уравнения:

;

;

Теперь, если мы возьмем и отметим , то

;

Ставим найденные значения на соответствующие места в уравнении (1):

- мы привели его в канонический вид, теперь нам нужно еще больше упростить каноническую форму условием.

Для дальнейшего упрощения канонической формы сделаем следующую замену:

Затем

Ответ:

, здесь , .

Задача 2 . Привести следующие уравнения с постоянными коэффициентами к каноническому виду, затем еще раз упростить.

.(1)

, , .

— уравнение эллиптического типа.

Приведем данное уравнение к каноническому виду:

Характеристическое уравнение данного уравнения:

;

;

Теперь, если мы возьмем и отметим

, то

Ставим найденные значения на соответствующие места в уравнении (1):

— мы привели его в канонический вид, теперь нам нужно еще больше упростить каноническую форму условием.

Для дальнейшего упрощения канонической формы сделаем следующую замену:

Затем

Ответ:

, здесь ,

.

Литература:

  1. Омаров А., Курбанбаев О. О., Кылышбаева Г. К., Методы решения задач математической физики, Учебное пособие для студентов вузов — 2017. -228c
  2. Агошков В. И., Методы решения задач математической физики: Учебное пособие для студентов вузов, — М.:Физматлит, 2002. –320 с.
  3. Бицадзе А. В.. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1982–336 с.
Основные термины (генерируются автоматически): канонический вид, каноническая форма, уравнение, характеристическое уравнение, гиперболический тип, дальнейшее упрощение.


Ключевые слова

характеристическое уравнение, каноническая форма, гиперболический тип, уравнение с постоянными коэффициентами

Похожие статьи

Задачи Дарбу и Коши для линейных гиперболических уравнений с постоянными коэффициентами

Многие явления механики, физики, биологии сводятся к исследованию гиперболических уравнений. Чтобы эти явления описать полностью для гиперболических уравнений, ставится задача Дарбу и для дальнейших изучений необходимо явное представление рассматрива...

О разрешимости второй начально-краевой задачи для одномерного псевдопараболического уравнения с дробными производными

В одномерной ограниченной области исследована вторая начально-краевая задача для однородного псевдопараболического уравнения с дробной по времени производной Капуто. Установлены условия однозначной разрешимости рассматриваемой задачи в классе непреры...

Решение линейных рекуррентных соотношений второго порядка

Рассматривается неоднородное линейное рекуррентное соотношение (ЛРС) второго порядка с постоянными коэффициентами и произвольной неоднородностью. Выводится аналитическая формула общего члена этого соотношения. Результат иллюстрируется примерами.

Решение одной системы линейных рекуррентных соотношений первого порядка

Рассматривается система однородных линейных рекуррентных соотношений первого порядка, записанная в векторном виде. Оператор в правой части системы действует в пространстве R^m. Исследуются следующие случаи его собственных значений: 1) вещественные, е...

Решение начальной задачи для линейных рекуррентных соотношений первого порядка в случае одношагового расщепления

Рассматривается начальная задача для неоднородного линейного рекуррентного соотношения первого порядка с операторными коэффициентами A,B, задаваемыми квадратными числовыми матрицами. Оператор A необратим, вследствие чего задача имеет решение не при к...

Периодические решения разностного уравнения третьего порядка

В статье проведено полное исследование периодичности решений линейного разностного уравнения третьего порядка. Указаны все возможные значения коэффициентов, при которых каждое решение уравнения является либо чисто периодическим, либо предельным цикло...

Нелинейные вполне непрерывные операторы и их аппроксимации

В статье рассматриваем теорему о непрерывных изображениях, также рассматривается лемма о непрерывных операторах и получены к ним доказательства. Дано определение нелинейному оператору.

Интегральное уравнение для граничной задачи теплопроводности с дробной нагрузкой

В статье рассматривается краевая задача с дробно нагруженным уравнением теплопроводности в первом квадранте. Нагрузка имеет форму дробной производной Капуто, и порядок производной меньше порядка дифференциальной части. Обращением дифференциальной час...

Многочлены от одной переменной над булевым кольцом

В данной статье ставится и решается задача о нахождении корней многочлена над булевым кольцом. Представлен алгоритм решения уравнений и систем уравнений от одной переменной над алгеброй множеств. А также рассмотрено применение изложенного материала п...

Решение одного интегрального уравнения Фредгольма первого рода

Рассматривается интегральное уравнение Фредгольма первого рода. Такие уравнения встречаются в задачах математической физики (например, в оптических явлениях), в задачах об издержках производства и т. д. Рассматривается частный случай разложимого ядра...

Похожие статьи

Задачи Дарбу и Коши для линейных гиперболических уравнений с постоянными коэффициентами

Многие явления механики, физики, биологии сводятся к исследованию гиперболических уравнений. Чтобы эти явления описать полностью для гиперболических уравнений, ставится задача Дарбу и для дальнейших изучений необходимо явное представление рассматрива...

О разрешимости второй начально-краевой задачи для одномерного псевдопараболического уравнения с дробными производными

В одномерной ограниченной области исследована вторая начально-краевая задача для однородного псевдопараболического уравнения с дробной по времени производной Капуто. Установлены условия однозначной разрешимости рассматриваемой задачи в классе непреры...

Решение линейных рекуррентных соотношений второго порядка

Рассматривается неоднородное линейное рекуррентное соотношение (ЛРС) второго порядка с постоянными коэффициентами и произвольной неоднородностью. Выводится аналитическая формула общего члена этого соотношения. Результат иллюстрируется примерами.

Решение одной системы линейных рекуррентных соотношений первого порядка

Рассматривается система однородных линейных рекуррентных соотношений первого порядка, записанная в векторном виде. Оператор в правой части системы действует в пространстве R^m. Исследуются следующие случаи его собственных значений: 1) вещественные, е...

Решение начальной задачи для линейных рекуррентных соотношений первого порядка в случае одношагового расщепления

Рассматривается начальная задача для неоднородного линейного рекуррентного соотношения первого порядка с операторными коэффициентами A,B, задаваемыми квадратными числовыми матрицами. Оператор A необратим, вследствие чего задача имеет решение не при к...

Периодические решения разностного уравнения третьего порядка

В статье проведено полное исследование периодичности решений линейного разностного уравнения третьего порядка. Указаны все возможные значения коэффициентов, при которых каждое решение уравнения является либо чисто периодическим, либо предельным цикло...

Нелинейные вполне непрерывные операторы и их аппроксимации

В статье рассматриваем теорему о непрерывных изображениях, также рассматривается лемма о непрерывных операторах и получены к ним доказательства. Дано определение нелинейному оператору.

Интегральное уравнение для граничной задачи теплопроводности с дробной нагрузкой

В статье рассматривается краевая задача с дробно нагруженным уравнением теплопроводности в первом квадранте. Нагрузка имеет форму дробной производной Капуто, и порядок производной меньше порядка дифференциальной части. Обращением дифференциальной час...

Многочлены от одной переменной над булевым кольцом

В данной статье ставится и решается задача о нахождении корней многочлена над булевым кольцом. Представлен алгоритм решения уравнений и систем уравнений от одной переменной над алгеброй множеств. А также рассмотрено применение изложенного материала п...

Решение одного интегрального уравнения Фредгольма первого рода

Рассматривается интегральное уравнение Фредгольма первого рода. Такие уравнения встречаются в задачах математической физики (например, в оптических явлениях), в задачах об издержках производства и т. д. Рассматривается частный случай разложимого ядра...

Задать вопрос