Сатниязова, Э. К. Приведение дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами к каноническому виду / Э. К. Сатниязова, Оразгали Бахтыбай улы Боранбаев, Д. К. Убайдуллаева, Рахим Осербай улы Онгарбаев. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2023. — № 27 (474). — С. 8-12. — URL: https://moluch.ru/archive/474/104824/ (дата обращения: 24.11.2024).
Вопрос о классификации частных дифференциальных уравнений второго порядка с двумя переменными и их канонической формы имеет большое значение при работе с уравнениями математической физики. Этот вопрос имеет большое значение в технике и в жизни в связи с задачами, решаемыми данным уравнением. Часто мы приводим уравнение к каноническому виду, подставляя функции одной или двух переменных. Однако в общем случае этот тип канонического представления может усложниться. Следовательно, мы должны упростить его снова. Вот несколько примеров того, что делать в такой ситуации:
Задача 1.
Привести следующие уравнения с постоянными коэффициентами к каноническому виду, затем еще раз упростить.
.(1)
,
,
.
— уравнение гиперболического типа.
Приведем данное уравнение к каноническому виду:
Характеристическое уравнение данного уравнения:
;
;
Теперь, если мы возьмем
и отметим
, то
;
Ставим найденные значения на соответствующие места в уравнении (1):
- мы привели его в канонический вид, теперь нам нужно еще больше упростить каноническую форму условием.
Для дальнейшего упрощения канонической формы сделаем следующую замену:
Затем
Ответ:
, здесь
,
.
Задача 2
. Привести следующие уравнения с постоянными коэффициентами к каноническому виду, затем еще раз упростить.
.(1)
,
,
.
— уравнение эллиптического типа.
Приведем данное уравнение к каноническому виду:
Характеристическое уравнение данного уравнения:
;
;
Теперь, если мы возьмем
и отметим
, то
Ставим найденные значения на соответствующие места в уравнении (1):
— мы привели его в канонический вид, теперь нам нужно еще больше упростить каноническую форму условием.
Для дальнейшего упрощения канонической формы сделаем следующую замену:
Затем
Ответ:
, здесь
,
.
Литература:
Омаров А., Курбанбаев О. О., Кылышбаева Г. К., Методы решения задач математической физики, Учебное пособие для студентов вузов — 2017. -228c
Агошков В. И., Методы решения задач математической физики: Учебное пособие для студентов вузов, — М.:Физматлит, 2002. –320 с.
Бицадзе А. В.. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1982–336 с.
Многие явления механики, физики, биологии сводятся к исследованию гиперболических уравнений. Чтобы эти явления описать полностью для гиперболических уравнений, ставится задача Дарбу и для дальнейших изучений необходимо явное представление рассматрива...
В одномерной ограниченной области исследована вторая начально-краевая задача для однородного псевдопараболического уравнения с дробной по времени производной Капуто. Установлены условия однозначной разрешимости рассматриваемой задачи в классе непреры...
Рассматривается неоднородное линейное рекуррентное соотношение (ЛРС) второго порядка с постоянными коэффициентами и произвольной неоднородностью. Выводится аналитическая формула общего члена этого соотношения. Результат иллюстрируется примерами.
Рассматривается система однородных линейных рекуррентных соотношений первого порядка, записанная в векторном виде. Оператор в правой части системы действует в пространстве R^m. Исследуются следующие случаи его собственных значений: 1) вещественные, е...
Рассматривается начальная задача для неоднородного линейного рекуррентного соотношения первого порядка с операторными коэффициентами A,B, задаваемыми квадратными числовыми матрицами. Оператор A необратим, вследствие чего задача имеет решение не при к...
В статье проведено полное исследование периодичности решений линейного разностного уравнения третьего порядка. Указаны все возможные значения коэффициентов, при которых каждое решение уравнения является либо чисто периодическим, либо предельным цикло...
В статье рассматриваем теорему о непрерывных изображениях, также рассматривается лемма о непрерывных операторах и получены к ним доказательства. Дано определение нелинейному оператору.
В статье рассматривается краевая задача с дробно нагруженным уравнением теплопроводности в первом квадранте. Нагрузка имеет форму дробной производной Капуто, и порядок производной меньше порядка дифференциальной части. Обращением дифференциальной час...
В данной статье ставится и решается задача о нахождении корней многочлена над булевым кольцом. Представлен алгоритм решения уравнений и систем уравнений от одной переменной над алгеброй множеств. А также рассмотрено применение изложенного материала п...
Рассматривается интегральное уравнение Фредгольма первого рода. Такие уравнения встречаются в задачах математической физики (например, в оптических явлениях), в задачах об издержках производства и т. д. Рассматривается частный случай разложимого ядра...
Многие явления механики, физики, биологии сводятся к исследованию гиперболических уравнений. Чтобы эти явления описать полностью для гиперболических уравнений, ставится задача Дарбу и для дальнейших изучений необходимо явное представление рассматрива...
В одномерной ограниченной области исследована вторая начально-краевая задача для однородного псевдопараболического уравнения с дробной по времени производной Капуто. Установлены условия однозначной разрешимости рассматриваемой задачи в классе непреры...
Рассматривается неоднородное линейное рекуррентное соотношение (ЛРС) второго порядка с постоянными коэффициентами и произвольной неоднородностью. Выводится аналитическая формула общего члена этого соотношения. Результат иллюстрируется примерами.
Рассматривается система однородных линейных рекуррентных соотношений первого порядка, записанная в векторном виде. Оператор в правой части системы действует в пространстве R^m. Исследуются следующие случаи его собственных значений: 1) вещественные, е...
Рассматривается начальная задача для неоднородного линейного рекуррентного соотношения первого порядка с операторными коэффициентами A,B, задаваемыми квадратными числовыми матрицами. Оператор A необратим, вследствие чего задача имеет решение не при к...
В статье проведено полное исследование периодичности решений линейного разностного уравнения третьего порядка. Указаны все возможные значения коэффициентов, при которых каждое решение уравнения является либо чисто периодическим, либо предельным цикло...
В статье рассматриваем теорему о непрерывных изображениях, также рассматривается лемма о непрерывных операторах и получены к ним доказательства. Дано определение нелинейному оператору.
В статье рассматривается краевая задача с дробно нагруженным уравнением теплопроводности в первом квадранте. Нагрузка имеет форму дробной производной Капуто, и порядок производной меньше порядка дифференциальной части. Обращением дифференциальной час...
В данной статье ставится и решается задача о нахождении корней многочлена над булевым кольцом. Представлен алгоритм решения уравнений и систем уравнений от одной переменной над алгеброй множеств. А также рассмотрено применение изложенного материала п...
Рассматривается интегральное уравнение Фредгольма первого рода. Такие уравнения встречаются в задачах математической физики (например, в оптических явлениях), в задачах об издержках производства и т. д. Рассматривается частный случай разложимого ядра...