Колебания линейных вязкоупругих систем с конечным числом степеней свободы | Статья в журнале «Молодой ученый»

Авторы: ,

Рубрика: Технические науки

Опубликовано в Молодой учёный №10 (90) май-2 2015 г.

Дата публикации: 09.05.2015

Статья просмотрена: 145 раз

Библиографическое описание:

Сафаров И. И., Ядгаров У. Т. Колебания линейных вязкоупругих систем с конечным числом степеней свободы // Молодой ученый. — 2015. — №10. — С. 305-309. — URL https://moluch.ru/archive/90/14894/ (дата обращения: 20.09.2018).

В работе описываются постановки задач о собственных и вынужденных колебаниях. Рассматриваются колебания механических систем, состоящих из абсолютно жестких тел, соединенных между собой безмассовыми вязкоупругими элементами.

 

Введение. Вопросы использования затухание динамических вязкоупругих систем с двумя степенями свободы, при всей изученности проблемы [1,2], редко рассматриваются в научной литературе. Вместе с тем, задачи защиты объекта в виде твердого тела на двух упругих опорах имеют значение для инженерной практики, поскольку системы «балочного» типа достаточно широко используются в транспортной динамике [3,4,5,6].

Постановка задачи. Общие положения. Рассмотрим линейную механическую систему с n степенями свободы, которая колеблется относительно устойчивой равновесной формы [1]. Движение системы опишем в обобщенных перемещениях , которые равны нулю в положении равновесия. Тогда потенциальную энергию V можно выразить через эти перемещения, как квадратичную форму, а кинетическую энергию Т и функцию рассеяния D представить квадратичными формами обобщенных скоростей . Используя уравнения Лагранжа, получаем уравнения движения

                                                                    (1)

Обобщенная внешняя сила  для каждой координаты может быть активной силой или силой, создаваемой заданным движением координат. Система (1) записывается в матричном виде относительно матрицы — столбца следующим образом:

                                                                               (2)

где матрица инерции [M], матрица демпфирования [С] и матрица жесткости [К] являются симметричными матрицами n-го порядка. Возмущение описывается посредством матрицы столбца . Физический смысл коэффициентов матриц таков: - составляющая количества движения по j при единичной скорости по  -демпфирующая сила по j при единичной скорости по  — упругая сила по j, обусловленная единичным перемещением по k.

Установившиеся периодические колебания — это колебания, форма волны которых есть периодическая функция времени. Их можно представить как сумму тригонометрических функций с соизмеримыми частотами. Например, для колебаний, выраженных через ускорение

                                                              (3)

где - угловая частота, - соответствующая частота. Если все  кратны какой-то основной частоте, то результирующая форма волны периодически повторяется. В противном случае она является квазипериодической или почти периодической. Комплексная экспоненциальная функция используется для теоретических анализов вместо тригонометрических функций отчасти потому, что ее производная по времени проще и введение комплексных чисел дает простой способ выражения изменения фаз и амплитуд колебаний. По стандартному фундаментальному методу определения амплитуд, когда резонансы комплектующего оборудования известны, сначала вычисляют отношения реакции к возбуждению в зависимости от частоты или измеряют их. Исходя из предположения о линейности, каждая синусоида может быть умножена на постоянное число и мгновенные характеристики на различных частотах могут быть суммированы. Отношение характеристики к возбуждению часто выражается как комплексное число, содержащее информацию о сдвиге фаз. Если характеристика и возбуждение представлены в одних и тех же единицах (например, как ускорение), то это отношение известно под названием способность передаваться. Если характеристика представляет собой движение (или, точнее скорость), а возбуждением является сила, то оно (отношение) называется подвижностью; в обратной ситуации — механическим импедансом. Если в точках необходимой характеристикой и точка возбуждения не совпадают, то более точными терминами будут подвижность переноса и сопротивление переноса. Ускорение получают умножая скорость на  в соответствии с формулами для дифференцирования или на  — при использовании комплексных обозначений. Мнимое число i выражает расхождение по фазе, равное 900. Установившиеся колебания представляют собой условное математическое понятие. Если Ak, Фk и Θk являются медленно меняющимися функциями времени, то функции вида (3) описывают квазипериодические колебания (сумму квазисинусоид). Для описания периодических колебаний рассматриваются только величины  или соответствующие среднеквадратичные значения. Фазовые углы  или  не учитываются. Однако мгновенные ускорения складываются арифметически, а величины синусоид при такой же частоте по правилам действия над векторами. Разность фаз теоретически имеет большое значение при анализе механических систем, а практически служит признаком резонанса, когда резонансные частоты определяются экспериментальным путем. Вблизи средней частоты фаза характеристики изменяется быстрее, чем величина частоты. Если матрица возбуждения , то уравнение (2) описывает свободные колебания системы, а если  — то вынужденные.

Свободные колебания диссипативных систем. Рассмотрим линейную диссипативную систему, движение которой описывается матрицами [М], [С] и [К]. Решение уравнения (2) можно найти в виде [7]

                                                                                                          (4)

где λ– комплексное число, W- комплексная числовая матрица — столбец. Числа λ называют характеристическими показателями, а числа iλ (или — iλ) — комплексными частотами. Характеристические показатели должны быть корнями характеристического уравнения

                                                                                     (5)

или в развернутом виде:

.

Система с n степенями свободы имеет 2n характеристических показателей . Если все характеристические показатели суть простые корни уравнения (5), то общее решение уравнения (2) будет равно сумме 2n частных решений вида (4)

                                                                                       (6)

Здесь – произвольные комплексные постоянные, а – числовые матрицы — столбцы. Представим характеристические показатели в виде

                                                                              (7)

где  и – действительные числа, называемые коэффициентами демпфирования и собственными частотами демпфированной системы соответственно. Если  и  удовлетворяют уравнению (5), то комплексно сопряженные  и  также ему удовлетворяют. Когда демпфирование отсутствует, все корни лежат на мнимой оси. При демпфировании корни находятся около мнимой оси. Соответствующие 2n собственные векторы удовлетворяют условиям ортогональности:

                                                                       (8)

где индекс Т обозначает транспонирование. Каждый раз, когда , условия ортогональности можно сделать справедливыми для кратных корней путем соответствующего выбора собственных векторов, связанных с кратным корнем.

Характеристики демпфирования. Коэффициент демпфирования , задаваемой формулой (7) на первой части, имеет размерность . За безразмерную характеристику демпфирования может быть принята одна из следующих величин:

- относительный коэффициент затухания;

- относительный частотный коэффициент затухания;

- логарифмический декремент затухания,

а также декремент затухания, равный отношению двух последовательных амплитуд колебаний с частотой :

где  некоторая базисная (масштабная) частота. Если коэффициент затухания  положителен, то параметры  и  называются инкрементами возрастания колебаний. Связь между коэффициентом затухания и амплитудой колебаний можно записать в виде:

.

Задача нахождения комплексных собственных значений. При наличии симметричных матриц инерции, демпфирования и жесткости [М], [С] и [К] задача состоит в определении комплексных собственных значений  и комплексных собственных векторов  которые удовлетворяют уравнению (5). Эта задача значительно труднее и менее изучена, чем задача о вещественных собственных значениях уравнения (5). Для консервативной системы все характеристические показатели чисто мнимые (рис.1, а) и равны с точностью до множителя +i собственным частотам системы. Все частные решения являются периодическими функциями времени, а движение в общем случае стационарным (почти периодическим).

Рис. 1. Расположение характеристических показателей для систем: а — консервативной, б — с полной диссипацией, в — с неполной диссипацией, г — с отрицательной диссипацией

 

Если система диссипативная и обладает полной диссипацией, то все характеристические показатели лежат в нижней полуплоскости комплексной переменной (рис.1, б). Все частные решения — затухающие функции и, следовательно, общее решение — затухающая функция времени. Если система обладает неполной диссипацией, то часть ее показателей лежит в левой полуплоскости, а часть — на мнимой оси. Среди частных решений содержатся периодические, отвечающие недемпфированным степеням свободы. Если система обладает отрицательной диссипацией, то среди характеристических показателей можно найти такие, действительные части которых отрицательны (рис.1, г). Соответствующие частные и общие решения будут неограниченно возрастающими во времени функциями.

Демпфирование вынужденных колебаний. В стационарной задаче вектор-функция  изменяется по гармоническому закону  с заданной частотой и амплитудой . Начальные условия не ставятся [3]. Вместо них требуется выполнение условия периодичности решения с той же частотой : . В результате получаем систему алгебраических уравнений относительно комплексной компоненты искомого вектора :

                                                                          (9)

Систему (9) с комплексными коэффициентами можно решить, например, методом Гаусса.

Заключение. Предварительная оценка динамических свойств механических систем с N- степенями свободы, прикрепляемом через сочленение (или шарнир) показывает возможность изменения достаточно широкого спектра изменения частотных характеристик.

 

Литература:

 

1.         Сафаров И. И. Колебания и волны в диссипативно неоднородных средах и конструкциях. Ташкент: Фан, 1992. 250с.

2.         Сафаров И. И., Тошев Н. Н. Установившиеся линейные колебания структурно-неоднородной виязкоупругой системы с несколькими степенями свободы. Изв.АН УзССР сер. техн. наук. 1988, № 3. С.37–40.

3.         Коренев С. В. Динамические гасители колебаний. Теория и технические приложения. / Б. Г. Коренев, П. М. Резников. — М.: Наука, 1963. — 535 с.

4.         Елисеев С. В., Нерубенко Г. П. Динамические гасители колебаний. — Новосибирск.: Наука. 1982. — 182 с.

5.         Карамышкин В. В. Динамические гасители колебаний. — Л.: Машиностроение. 1988. — 108 с.

6.         Ротенберг Р. В. Подвеска автомобиля. / Р. В. Ротенберг — М.: Машиностроение. 1972.

7.         Сафаров И. И., Хусанов Д. Х. Вынужденные нелинейные виязкоупругой системы с конечным числом степеней свободы. Докл. АН УзССР, 1984, № 3. С.19–21.

Основные термины (генерируются автоматически): система, частота, колебание, мнимая ось, показатель, полная диссипация, отрицательная диссипация, неполная диссипация, комплексное число, единичная скорость.


Похожие статьи

О затухании волн в структурно неоднородных упругих средах

Диссипация энергии упругой волны будет происходить в том случае, если для напряжения и деформации появляются временные производные напряжения деформации.

При этом действительная часть каждого из них определяет собственную частоту колебаний, а мнимая...

О демпфировании вибраций элементов конструкций в области...

Таким образом, если. где все величины с одной и двумя черточками сверху вещественные, то приравнивая вещественную и мнимую части получаем систему двух уравнений, которую можно записать с

где – комплексная форма колебаний; – искомая комплексная частота.

Динамические эффекты, связанные со структурной...

Исследуются частоты и коэффициенты демпфирования колебаний.

В случае однородной системы величина С2 (назовем ее глобальным коэффициентом демпфирования) целиком определяется мнимой частью наименьшей по модулю комплексной собственной частоты.

Линейные колебания упругого криволинейного стержня

В случае внешнего трения мнимая часть различных собственных значений одинаково не зависит от кривизны оси и определяется выражением. . Если трение неоднородно, собственные формы зависят от интенсивности диссипации, причем колебания различных...

Влияние эффектов Доплера на OFDM сигнал | Статья в журнале...

где — частота излучаемого сигнала; - скорость излучателя относительно приемника; — угол между направлением на источник и вектором скорости в системе.

(2). где — комплексное значение модуляционного символа; — индекс поднесущей; — расстояние между поднесущими...

К теории устойчивости вращающейся плазмы с постоянным...

В последних работах [14, 15] были получены критерии развития МВН для разряженной плазмы при учете эффектов Холла и диссипации.

(1). (2). где - кинематическая вязкость, - единичный вектор, направленный вертикально вверх по оси , - коэффициент теплового расширения...

Математическое моделирование снижения шума от пильного...

Основным фактором диссипации вибрационной энергии в предложенной конструкции

, где ω — круговая частота колебаний; — волновое число изгибных волн; — цилиндрическая

(24). В результате некоторых преобразований [15] мнимая и действительные части импедансов...

Генерация крупномасштабных магнитных полей и вихревых...

Из (65) видно, что коэффициент комплексная величина и может быть представлен как.

а мнимая часть дополнительную поправку к частоте колебаний: (72).

При выводе этой формулы мы полагали установление баланса между источником и диссипацией в...

Математическое моделирование процесса удара в шестимассовой...

При этой замене система (1) переходит в систему восьми уравнений первого порядка

При дальнейшем движении батана упругий угол уменьшается, скорость становится отрицательной, т. е. масса движется в

где — круговая частота собственных колебаний массы на пружине.

О затухании волн в структурно неоднородных упругих средах

Диссипация энергии упругой волны будет происходить в том случае, если для напряжения и деформации появляются временные производные напряжения деформации.

При этом действительная часть каждого из них определяет собственную частоту колебаний, а мнимая...

О демпфировании вибраций элементов конструкций в области...

Таким образом, если. где все величины с одной и двумя черточками сверху вещественные, то приравнивая вещественную и мнимую части получаем систему двух уравнений, которую можно записать с

где – комплексная форма колебаний; – искомая комплексная частота.

Динамические эффекты, связанные со структурной...

Исследуются частоты и коэффициенты демпфирования колебаний.

В случае однородной системы величина С2 (назовем ее глобальным коэффициентом демпфирования) целиком определяется мнимой частью наименьшей по модулю комплексной собственной частоты.

Линейные колебания упругого криволинейного стержня

В случае внешнего трения мнимая часть различных собственных значений одинаково не зависит от кривизны оси и определяется выражением. . Если трение неоднородно, собственные формы зависят от интенсивности диссипации, причем колебания различных...

Влияние эффектов Доплера на OFDM сигнал | Статья в журнале...

где — частота излучаемого сигнала; - скорость излучателя относительно приемника; — угол между направлением на источник и вектором скорости в системе.

(2). где — комплексное значение модуляционного символа; — индекс поднесущей; — расстояние между поднесущими...

К теории устойчивости вращающейся плазмы с постоянным...

В последних работах [14, 15] были получены критерии развития МВН для разряженной плазмы при учете эффектов Холла и диссипации.

(1). (2). где - кинематическая вязкость, - единичный вектор, направленный вертикально вверх по оси , - коэффициент теплового расширения...

Математическое моделирование снижения шума от пильного...

Основным фактором диссипации вибрационной энергии в предложенной конструкции

, где ω — круговая частота колебаний; — волновое число изгибных волн; — цилиндрическая

(24). В результате некоторых преобразований [15] мнимая и действительные части импедансов...

Генерация крупномасштабных магнитных полей и вихревых...

Из (65) видно, что коэффициент комплексная величина и может быть представлен как.

а мнимая часть дополнительную поправку к частоте колебаний: (72).

При выводе этой формулы мы полагали установление баланса между источником и диссипацией в...

Математическое моделирование процесса удара в шестимассовой...

При этой замене система (1) переходит в систему восьми уравнений первого порядка

При дальнейшем движении батана упругий угол уменьшается, скорость становится отрицательной, т. е. масса движется в

где — круговая частота собственных колебаний массы на пружине.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

О затухании волн в структурно неоднородных упругих средах

Диссипация энергии упругой волны будет происходить в том случае, если для напряжения и деформации появляются временные производные напряжения деформации.

При этом действительная часть каждого из них определяет собственную частоту колебаний, а мнимая...

О демпфировании вибраций элементов конструкций в области...

Таким образом, если. где все величины с одной и двумя черточками сверху вещественные, то приравнивая вещественную и мнимую части получаем систему двух уравнений, которую можно записать с

где – комплексная форма колебаний; – искомая комплексная частота.

Динамические эффекты, связанные со структурной...

Исследуются частоты и коэффициенты демпфирования колебаний.

В случае однородной системы величина С2 (назовем ее глобальным коэффициентом демпфирования) целиком определяется мнимой частью наименьшей по модулю комплексной собственной частоты.

Линейные колебания упругого криволинейного стержня

В случае внешнего трения мнимая часть различных собственных значений одинаково не зависит от кривизны оси и определяется выражением. . Если трение неоднородно, собственные формы зависят от интенсивности диссипации, причем колебания различных...

Влияние эффектов Доплера на OFDM сигнал | Статья в журнале...

где — частота излучаемого сигнала; - скорость излучателя относительно приемника; — угол между направлением на источник и вектором скорости в системе.

(2). где — комплексное значение модуляционного символа; — индекс поднесущей; — расстояние между поднесущими...

К теории устойчивости вращающейся плазмы с постоянным...

В последних работах [14, 15] были получены критерии развития МВН для разряженной плазмы при учете эффектов Холла и диссипации.

(1). (2). где - кинематическая вязкость, - единичный вектор, направленный вертикально вверх по оси , - коэффициент теплового расширения...

Математическое моделирование снижения шума от пильного...

Основным фактором диссипации вибрационной энергии в предложенной конструкции

, где ω — круговая частота колебаний; — волновое число изгибных волн; — цилиндрическая

(24). В результате некоторых преобразований [15] мнимая и действительные части импедансов...

Генерация крупномасштабных магнитных полей и вихревых...

Из (65) видно, что коэффициент комплексная величина и может быть представлен как.

а мнимая часть дополнительную поправку к частоте колебаний: (72).

При выводе этой формулы мы полагали установление баланса между источником и диссипацией в...

Математическое моделирование процесса удара в шестимассовой...

При этой замене система (1) переходит в систему восьми уравнений первого порядка

При дальнейшем движении батана упругий угол уменьшается, скорость становится отрицательной, т. е. масса движется в

где — круговая частота собственных колебаний массы на пружине.

О затухании волн в структурно неоднородных упругих средах

Диссипация энергии упругой волны будет происходить в том случае, если для напряжения и деформации появляются временные производные напряжения деформации.

При этом действительная часть каждого из них определяет собственную частоту колебаний, а мнимая...

О демпфировании вибраций элементов конструкций в области...

Таким образом, если. где все величины с одной и двумя черточками сверху вещественные, то приравнивая вещественную и мнимую части получаем систему двух уравнений, которую можно записать с

где – комплексная форма колебаний; – искомая комплексная частота.

Динамические эффекты, связанные со структурной...

Исследуются частоты и коэффициенты демпфирования колебаний.

В случае однородной системы величина С2 (назовем ее глобальным коэффициентом демпфирования) целиком определяется мнимой частью наименьшей по модулю комплексной собственной частоты.

Линейные колебания упругого криволинейного стержня

В случае внешнего трения мнимая часть различных собственных значений одинаково не зависит от кривизны оси и определяется выражением. . Если трение неоднородно, собственные формы зависят от интенсивности диссипации, причем колебания различных...

Влияние эффектов Доплера на OFDM сигнал | Статья в журнале...

где — частота излучаемого сигнала; - скорость излучателя относительно приемника; — угол между направлением на источник и вектором скорости в системе.

(2). где — комплексное значение модуляционного символа; — индекс поднесущей; — расстояние между поднесущими...

К теории устойчивости вращающейся плазмы с постоянным...

В последних работах [14, 15] были получены критерии развития МВН для разряженной плазмы при учете эффектов Холла и диссипации.

(1). (2). где - кинематическая вязкость, - единичный вектор, направленный вертикально вверх по оси , - коэффициент теплового расширения...

Математическое моделирование снижения шума от пильного...

Основным фактором диссипации вибрационной энергии в предложенной конструкции

, где ω — круговая частота колебаний; — волновое число изгибных волн; — цилиндрическая

(24). В результате некоторых преобразований [15] мнимая и действительные части импедансов...

Генерация крупномасштабных магнитных полей и вихревых...

Из (65) видно, что коэффициент комплексная величина и может быть представлен как.

а мнимая часть дополнительную поправку к частоте колебаний: (72).

При выводе этой формулы мы полагали установление баланса между источником и диссипацией в...

Математическое моделирование процесса удара в шестимассовой...

При этой замене система (1) переходит в систему восьми уравнений первого порядка

При дальнейшем движении батана упругий угол уменьшается, скорость становится отрицательной, т. е. масса движется в

где — круговая частота собственных колебаний массы на пружине.

Задать вопрос