К теории устойчивости вращающейся плазмы с постоянным градиентом температуры | Статья в журнале «Молодой ученый»

Автор:

Рубрика: Физика

Опубликовано в Молодой учёный №23 (103) декабрь-1 2015 г.

Дата публикации: 04.12.2015

Статья просмотрена: 123 раза

Библиографическое описание:

Копп М. И. К теории устойчивости вращающейся плазмы с постоянным градиентом температуры // Молодой ученый. — 2015. — №23. — С. 34-40. — URL https://moluch.ru/archive/103/24082/ (дата обращения: 21.11.2018).

 

В статье исследуется устойчивость конвективного течения в неоднородно вращающейся цилиндрической плазме в аксиальном однородном магнитном поле. В приближении геометрической оптики получено дисперсионное уравнение для малых осесимметричных возмущений с учетом эффектов вязкости, омической и теплопроводной диссипации. Найдены критерии устойчивости течений плазмы, при нарушении которых, возникает новый тип конвективной магнитовращательной неустойчивости.

Ключевые слова: магнитовращательная неустойчивость; дисперсионное уравнение; алгоритм Раусса — Гурвица; конвективные течения; критические числа Рэлея.

 

  1. Введение

Исследование эффектов вращения в электропроводящих средах играет важную роль для технических применений, например в термоядерных установках [1], в устройствах по накоплению энергии, в плазменных центрифугах [2].

Теоретическим исследованиям устойчивости вращающихся электропроводящих сред (плазме и т. п.) в слабых магнитных полях посвящено огромное число работ (например, обзоры [3–7]). Здесь следует отметить и об астрофизических приложениях данной проблемы. В частности, переоткрытая в работах [8, 9] магнитовращательная неустойчивость (МВН) применялась для объяснения происхождения турбулентности плазмы в аккреционных дисках. За долго до работ [8, 9], в работе [10], была описана неустойчивость неоднородно вращающейся в осевом магнитном поле абсолютно электропроводящей жидкости. В дальнейшем исследование устойчивости вращающейся плазмы проводилось с учетом влияния различных факторов. Так, в работах [11, 12] подробно исследовалось влияние эффектов вязкости и магнитной диффузии на устойчивость неоднородно вращающейся плазмы. Кроме того, в работах [12, 13] учитывалась радиальная стратификация плазмы, нетривиальная топология внешнего магнитного поля, т. е. ненулевая спиральность этого поля: . В последних работах [14, 15] были получены критерии развития МВН для разряженной плазмы при учете эффектов Холла и диссипации.

Хорошо известно, что свободная конвекция несжимаемой жидкости при вертикальном подогреве является абсолютно неустойчивой [3]. В связи с этим, возникает вопрос об устойчивости неоднородно вращающейся плазмы в однородном магнитном поле и при вертикальном подогреве в постоянном гравитационном поле. Именно данной проблеме посвящена настоящая работа. Результаты, полученные в настоящей работе, могут иметь практическое значение как для ряда астрофизических задач, так и для лабораторных исследований.

  1. Основные уравнения и постановка задачи

Рассмотрим вращающуся проводящую среду (плазму) в постоянном гравитационном и магнитном полях при постоянном градиенте температуры. Конвективные явления, вызванные градиентом температуры, описываются уравнениями движения вязкой несжимаемой электропроводящей жидкости в приближении Буссинеска [16]:

(1)

(2)

где - кинематическая вязкость, - единичный вектор, направленный вертикально вверх по оси , - коэффициент теплового расширения, , - постоянный градиент температуры (его знак меняется от условий подогрева), - плотность среды, - коэффициент теплопроводности среды. Уравнения (1), (2) дополним уравнениями индукции магнитного поля и условиями соленоидальности полей и :

(3)

, (4)

Основной нашей задачей является вопрос об устойчивости малых возмущений физических величин, эволюция которых описывается системой уравнений (1)-(4). Для решения этой проблемы будем использовать цилиндрическую систему координат , выбор которой обусловлен возможностью практического применения развиваемой здесь теории. Пусть плазма находится в однородном магнитном поле , направленным вдоль оси вращения , и вращается в азимутальном направлении со скоростью , где - угловая скорость вращения, являющаяся произвольной функцией радиуса. Система уравнений (1)-(4) имеет стационарные решения вида:

, , , ,

,, (5)

Для такого течения в радиальном направлении устанавливается центробежное равновесие:

,

а в вертикальном — гидростатическое:

В линейном приближении, возмущенные решения представим в виде:

, , ,

(6)

После подстановки (6) в систему уравнений (1)-(4), и последующей линеаризации, получим основные уравнения для исследования устойчивости малых возмущений.

Рассмотрим предел слабой стратификации среды, когда характерный масштаб неоднородности (стратификации) намного превышает характерный масштаб возмущений : . В этом случае выполняется приближение геометрической оптики [17] и поэтому возмущенные величины можно представить в виде плоских волн с пространственно-временной зависимостью вида:, где и -радиальная и аксиальная проекции волнового вектора , - инкремент возмущений. Здесь мы также рассматриваем осесимметричные возмущения, для которых . Тогда линеаризованная система дифференциальных уравнений (1)-(4) сводится к алгебраической из которой мы получим дисперсионное уравнение следующего вида:

(7)

В уравнении (7) введены обозначения для вязкостной , омической и теплопроводной частоты, , - альфвеновская частота, , - частота Вяйселя-Брента на градиенте температуры, , .

Дисперсионное уравнение (7) после несложных алгебраических преобразований расщепляется на два дисперсионных уравнения следующего вида:

(8)

(9)

Дисперсионное уравнение (8) описывает затухание альфвеновских волн в плазме с вязкой и омической диссипацией. В этом уравнении отсутствует влияние вращения и температурной стратификации на инкремент возмущений, поэтому представляет интерес анализ дисперсионного уравнения (9), в котором это влияние содержится.

Нетрудно заметить, что уравнение (9) содержит в себе результаты, ставшие уже классическими. Например, при отсутствии вращения и магнитного поля в случае непроводящей среды получаем дисперсионное уравнение, описывающее свободную конвекцию Рэлея [16]:

(10)

Переходя к безразмерным переменным , и учитывая (- целое число, характеризующее масштаб по вертикали), решение уравнения (10) имеет вид [16]:

(11)

Величина инкремента неустойчивости зависит от безразмерных чисел Рэлея , Прандтля и волнового числа. Условием устойчивости малых возмущений является положительность подкоренного выражения, что соответствует числам Рэлея .

Если среда однородная по температуре (), бездиссипативная и вращается с угловой скоростью (течение Куэтта) при отсутствии магнитного поля, то из уравнения (9) мы получим известный критерий неустойчивости Рэлея (см. например обзор [4]):

(12)

Для идеально проводящих сред, Велиховым [10] было показано, что магнитное поле дестабилизирует течение Куэтта. Критерий неустойчивости для этого случая обобщает результат (31):

(13)

Учет только вращения и магнитного поля в однородной диссипативной среде преобразует уравнение (9) к дисперсионному уравнению следующего вида:

(14)

Уравнение (14) подробно исследовалось в работе [11], а его обобщение с учетом радиальной тепловой стратификации среды в работах [12, 13]. В отличие от работ [12, 13], в полученном нами дисперсионном уравнении (9) учтена тепловая диссипация (члены с ) и вертикальная стратификация (члены с ) по температуре в поле тяжести. Фактически это означает, что мы рассматриваем свободные конвективные движения неоднородно вращающейся плазмы в постоянном магнитном поле.

3. Анализ устойчивости вращающейся плазмы с постоянным градиентом температуры

Раскрывая скобки в уравнении (9), получим окончательный вид дисперсионного уравнения в виде полинома пятой степени относительно инкремента :

, (15)

где коэффициенты имеют соответствующий вид:

, ,

,

(16)

Критерии асимптотической устойчивости возмущений, описываемых алгебраическим уравнением (15), можно получить, применяя алгоритм Рауса-Гурвица или Льенара-Шипара. Суть алгоритма состоит в следующем [18]: для того чтобы многочлен имел все корни с отрицательными вещественными частями, необходимо и достаточно, чтобы

а) все коэффициенты многочлена были положительны: , ;

б) имели место неравенства для определителей Гурвица: , …, где - обозначает определитель Гурвица - порядка:

Используя алгоритм Рауса-Гурвица получим необходимые и достаточные условия устойчивости неоднородно вращающейся плазмы с постоянным градиентом температуры:

, , , . (17)

Здесь определители и соответственно равны:

, (18)

Подставляя значения коэффициентов , определяемые соотношениями (16), в условия (17) находим следующие неравенства:

1)        () - это неравенство выполняется автоматически;

2)        () — отсюда видно, что вязкая, омическая и теплопроводностная диссипация естественно приводят к стабилизации устойчивости течений плазмы. Кроме того, стабилизирующими факторами выступают однородное магнитное поле (альфвеновский эффект), неоднородное вращение, если профиль угловой скорости вращения близок к (), а также градиент температуры при (подогрев снизу). В пределе бездиссипативной и однородной электропроводящей жидкости в однородном магнитном поле это неравенство переходит в известный критерий устойчивости Велихова [1];

3)        неравенство не содержит новых условий стабилизации возмущений;

4)        (), где введены обозначения для диссипативных членов: , , , . В бездиссипативном случае и однородной плазмы () условие устойчивости 4) принимает упрощенный вид [13]:

При наличии диссипации в условии 4) видно появление дестабилизирующего члена, который играет существенную роль для малых значений магнитного поля , и является причиной возникновения МВН.

5)        .

Переходя к безразмерным переменным в неравенстве 5) условие устойчивости конвективных течений плазмы принимает простой вид: , где - критическое число Рэлея, соответствующее точке () на нейтральной кривой, разделяющей области устойчивости и неустойчивости возмущений. Значение критического числа Рэлея равно:

(19)

Отсюда видно, что критические числа Рэлея зависят не только от волновых чисел , но и от безразмерных параметров среды: магнитного числа Прандтля , числа Гартмана , числа Тейлора , числа Россби . Для твердотельного вращения параметр Россби равен нулю , в случае кеплеровского вращения , для профиля угловой скорости соответственно .

Выражение (19) содержит уже известные результаты из монографии [3] в различных предельных случаях. Так, для не вращающейся и не электропроводной жидкости (, ) критические числа Рэлея, как известно, равны [3, с. 37] , а минимальное его значение при равно . В случае твердотельного вращения (, ) непроводящей жидкости (,) [3, с. 210]: , не вращающейся () проводящей жидкости [3, с. 194]: .

Перейдем теперь к условиям устойчивости б), состоящим из неравенств с определителями Гурвица (18). Для определителя получаем:

(20)

В этом неравенстве появился новый дестабилизирующий член (вторая дробь), оказывающий существенное влияние при условии малости чисел Прандтля . При условии и происходит стабилизация возмущений магнитным полем в диссипативной среде. После подстановки значений коэффициентов в выражение для определителя Гурвица мы получим последнее из условий устойчивости: . Явный вид неравенства мы не приводим из-за громоздкого вида входящих в него выражений. Однако заметим, что критерий устойчивости содержит в себе предыдущий критерий устойчивости (20).

Заключение

В настоящей работе с помощью алгоритма Раусса-Гурвица исследовались критерии устойчивости неоднородно вращающейся плазмы в аксиальном однородном магнитном поле при вертикальном подогреве в поле силы тяжести. При нарушении этих критериев устойчивости, в плазме возможно появление нового типа конвективной магнитовращательной неустойчивости (КМВН). В результате развития КМВН происходит рост амплитуд возмущений, образуются когерентные структуры (типа конвективных ячеек), совершающие хаотические движения, переходящие в турбулентность. Естественно, в этом случае начинают важную роль играть нелинейные эффекты. Однако, уже в рамках линейной теории мы видим при каких физических условиях развивается неустойчивость. Дальнейший анализ КМВН следует проводить в рамках нелинейной теории, но это не входило в круг задач, рассматриваемых в настоящей работе, и поэтому будет рассматриваться в следующих работах.

 

Литература:

 

  1.      Федотовский В. С., Логинов Н. И., Михеев А. С., Верещагина Т. И., Тереник Л. В., Прохоров Ю. П. Экспериментальная установка для исследования магнитовращательной неустойчивости // Пути ученого. Е. П. Велихов. Под общ. ред. ак. В. П. Смирнова. М.: РНЦ «Курчатовский институт», Москва, 2007. С. 167–175.
  2.      Карчевский А. И., Потанин Е. П. Плазменные центрифуги. Изотопы. Свойства, получение, применение. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.
  3.      Shakura N., Postnov K. On properties of Velikhov-Chandrasekhar MRI in ideal and non-ideal plasma. ArXiv: 1412.1223v1 [astro-ph. HE] 3 Dec. 2014.
  4.      Шалыбков Д. А. Гидродинамическая и гидромагнитная устойчивость течения Куэтта // УФН. 2009. Т. 179. № 9. С. 971–993.
  5.      Михайловский А. Б., Ломинадзе Дж. Г., Чуриков А. П., Пустовитов В. Д. Прогресс в теории неустойчивостей вращающейся плазмы // Физика плазмы. 2009. Т. 35. С. 307–350.
  6.      Rudiger G., Kitchatinov L., Hollerbach R. Magnetic Processes in Astrophysics. Theory, Simulation, Experiments. Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA. 2013. P. 346.
  7.      Kirillov O., Stefani F. Standard and helical magnetorotational instabilty. ArXiv: 1109.1940v1 [astro-ph.SR] 9 Sep. 2011.
  8.      Balbus S. and Hawley J. A powerful local shear instability in weakly magnetized disk. I. Linear analysis // Astrophys. J. 1991.V. 376.P. 214–222.
  9.      Papaloizou J. and Szuszkiewich E. The stability of a differentially rotating disk with a poloidal magnetic field // Geophys. Astrophys. Fluid. Dyn. 1992. V. 66. P. 223–242.
  10. Велихов Е. П. Устойчивость течения идеально проводящей жидкости между вращающимися цилиндрами в магнитном поле // ЖЭТФ. 1959. Т. 36. С. 1398–1404.
  11. Goodman J. and Ji H. Magnetorotational instability of dissipative Couette flow// J. Fluid. Mech. 2002. V.462. P. 365–382.
  12. Лахин В. П., Ильгисонис В. И. О влиянии диссипативных эффектов на неустойчивости дифференциально-вращающейся плазмы // ЖЭТФ. 2010. Т. 137. Вып. 4. С. 783–788.
  13. Лахин В. П. Неустойчивости и волны во вращающейся плазме и турбулентная генерация регулярных структур // Дисс. на соиск. уч. степ. доктора физ.-мат. наук. Москва: НИЦ «Курчатовский институт» 2013. 257 с.
  14. Горшунов Н. М., Потанин Е. П. Влияние холловских эффектов на устойчивость вращающейся плазмы // Успехи прикладной физики. 2013. Т. 1. № 2. С. 178–182.
  15. Горшунов Н. М., Потанин Е. П. Границы устойчивости вращающейся вязкой плазмы в магнитном поле // Успехи прикладной физики. 2014. Т. 2. № 1. С. 18–23.
  16. Гершуни Г. З., Жуховицкий Е. М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука. 1972. 392 с.
  17. Михайловский А. Б. Теория плазменных неустойчивостей. Т. 2. Неустойчивости неоднородной плазмы. М.: Атомиздат. 1971. 312 с.
  18. Гантмахер Ф. Р. Лекции по аналитической механике. М.: ФИЗМАТЛИТ. 2005. 264 с.
Основные термины (генерируются автоматически): дисперсионное уравнение, градиент температуры, вращающаяся плазма, магнитное поле, критическое число Рэлея, работа, условие устойчивости, уравнение, вертикальный подогрев, однородный магнитный пол.


Ключевые слова

магнитовращательная неустойчивость; дисперсионное уравнение; алгоритм Раусса — Гурвица; конвективные течения; критические числа Рэлея.

Похожие статьи

О генерации магнитных полей 2d конвективными течениями...

критическое число Рэлея, уравнение, магнитное поле, система уравнений, поле, электронная жидкость, работа, спонтанная генерация, странный аттрактор, минимальное значение.

Генерация крупномасштабных магнитных полей и вихревых...

крупномасштабная неустойчивость, система уравнений, уравнение, магнитное поле, возмущение, поле, внешний источник, крупномасштабное магнитное поле, теория динамо, вид.

Генерация крупномасштабных вихревых структур во...

В дальнейшем были найдены другие факторы нарушения симметрии уравнений, такие как неоднородный поток [19], градиент температуры в поле тяжести [20], частицы примеси и пузырьки воздуха в среде [19].

Управление технологическими процессами с помощью магнитных...

уравнение движения заряженной частицы в магнитном поле. уравнение магнитной изоляции. уравнение электрического и магнитных полей.

Математическое описание движения частиц твёрдого тела и газа...

Приводятся уравнения движения и уравнение неразрывности потока.

Градиент скорости при этом обусловливает одновременно два процесса: 1) вокруг частицы образуется несимметричное поле скоростей, в результате появляется подъемная сила, направленная к...

Гидродинамическая аналогия переноса импульса и тепла...

Для определения параметров полученных уравнений в пограничном слое с различными

Рис. 1. Влияние продольного градиента давления на распределение температуры по сечению

Обозначено: - формпараметр градиентного течения; - число Рейнольдса, вычисляемое по...

Математическая модель нагрева волновода при передаче...

Начальным условием примем однородное температурное поле, которое для одномерной модели запишется как равенство температуры некоторой

Разработана математическая модель нагрева волновода и получено разрешающее дифференциальное уравнение задачи с...

Колебания упругого полупространства с цилиндрическими...

Основной целью работы является исследование воздействия поверхностной волны Рэлея на цилиндрический слой.

Математическая постановка задачи включает вариационное уравнение принципа возможных перемещений, по которому сумма работ всех активных сил, включая...

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

О генерации магнитных полей 2d конвективными течениями...

критическое число Рэлея, уравнение, магнитное поле, система уравнений, поле, электронная жидкость, работа, спонтанная генерация, странный аттрактор, минимальное значение.

Генерация крупномасштабных магнитных полей и вихревых...

крупномасштабная неустойчивость, система уравнений, уравнение, магнитное поле, возмущение, поле, внешний источник, крупномасштабное магнитное поле, теория динамо, вид.

Генерация крупномасштабных вихревых структур во...

В дальнейшем были найдены другие факторы нарушения симметрии уравнений, такие как неоднородный поток [19], градиент температуры в поле тяжести [20], частицы примеси и пузырьки воздуха в среде [19].

Управление технологическими процессами с помощью магнитных...

уравнение движения заряженной частицы в магнитном поле. уравнение магнитной изоляции. уравнение электрического и магнитных полей.

Математическое описание движения частиц твёрдого тела и газа...

Приводятся уравнения движения и уравнение неразрывности потока.

Градиент скорости при этом обусловливает одновременно два процесса: 1) вокруг частицы образуется несимметричное поле скоростей, в результате появляется подъемная сила, направленная к...

Гидродинамическая аналогия переноса импульса и тепла...

Для определения параметров полученных уравнений в пограничном слое с различными

Рис. 1. Влияние продольного градиента давления на распределение температуры по сечению

Обозначено: - формпараметр градиентного течения; - число Рейнольдса, вычисляемое по...

Математическая модель нагрева волновода при передаче...

Начальным условием примем однородное температурное поле, которое для одномерной модели запишется как равенство температуры некоторой

Разработана математическая модель нагрева волновода и получено разрешающее дифференциальное уравнение задачи с...

Колебания упругого полупространства с цилиндрическими...

Основной целью работы является исследование воздействия поверхностной волны Рэлея на цилиндрический слой.

Математическая постановка задачи включает вариационное уравнение принципа возможных перемещений, по которому сумма работ всех активных сил, включая...

Задать вопрос