О затухании волн в структурно неоднородных упругих средах
Отправьте статью сегодня! Журнал выйдет 7 августа, печатный экземпляр отправим 11 августа.

О затухании волн в структурно неоднородных упругих средах

Поделиться в социальных сетях
194 просмотра
Библиографическое описание

Ядгаров, У. Т. О затухании волн в структурно неоднородных упругих средах / У. Т. Ядгаров. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2016. — № 2 (106). — С. 280-282. — URL: https://moluch.ru/archive/106/25162/ (дата обращения: 27.07.2021).



 

Диссипация энергии упругой волны будет происходить в том случае, если для напряжения и деформации появляются временные производные напряжения деформации. Даже если уравнение линейно относительно напряжения и деформации, наличие временных производных всегда вязано с диссипацией. В результате при переменном напряжении возникает эффект гистерезиса. Это означает, что в диапазоне частот, в котором затухание имеет заметную величину, деформация остаётся от напряжения.

Наличие только нелинейной связи между напряжением и деформацией (без временных производных в уравнении) вызывает два эффекта. Такая связь, во-первых, приводит к взаимодействию рассматриваемой упругой волны с другими волнами (например, с тепловыми колебаниями), и в результате происходит перераспределение энергии между волнами во — вторых, рассматриваемая волна будет генерировать более высокие гармоники, передавая им свою энергию. В обоих случаях взаимодействие зависит от амплитуды деформации.

Нелинейная связь между напряжением и деформацией при наличии временных производных приводит также затуханию, зависящему от амплитуды деформации.

Рассмотрим частную задачу о прохождении волн большой длины в упругой среде, содержащей малую объёмную долю жёстких сферических включений, обобщенное перемещение для волнового движения в упругой среде можно записать в сферических координатах в виде:

,

где φ и ψ- скалярные величины, которые удовлетворяют волновому уравнению, — единичный вектор. Падающая волна определяется в виде

.

Здесь 0 — амплитуда падающей волны;  — круговая частота, 1 — скорость распространения продольных волн. Теперь обратимся к случаю

ρь >> ρm, т.екогда плотность материала включений на много больше плотности окружающей их среды. Действующие силы можно записать в виде:

, (1)

где ; .

Подставив (1) в уравнение движения и записав результат через производные по времени, получим:

. (2)

Последний член характеризует упругую энергию, подобную энергии пружины, а скоростные члены в (2) описывают явление диссипации энергии из — за рассеяния энергии волн

;.

Первый член характеризует коэффициент затухания, а второй собственные частоты. Выражение для скорости рассеяния энергии можно представить в виде:

,

где  — соответственно компоненты по теории напряжений и смещений. Задача исследования скорости рассеяния сводится к решению трансцендентного уравнения. Выражение отражённой волны через потенциалы перемещений можно записать в виде:

;

;

;.

Здесь  — скорость сдвиговой волны; Рn (cosθ) — полиномы Лежандра; Hn (αr), Hn (βr) — сферические функции Бесселя. Коэффициенты An и Bn должны быть определены из граничных условий на поверхности жёсткой сферы, т. е. из требования непрерывности перемещений: Ur = U (t) cosθ,

Uθ = (t) sinθ, где U (t) — перемещение среды. Напряжения на поверхности сферы также должны быть связаны с уравнением её движения следующим образом:

,

где а — радиус и  — плотность сферического выключения. Перемещение сферы в рассматриваемой задаче должно быть гармоническим: U (t) = U eiωt При условии большой длины волны в (1), сила выражается следующим образом:

(3)

,

где  — плотность окружающей частицу упругой среды, V0 — объём включения, U(xi,t) — движение среды. Осциллирующие поведение коэффициента рассеяния показывает, что рассеяния можно отнести к своего рода резонансным явлениям.

При радиальных колебаниях упругого шара и включающей его среды, когда частотные уравнение имеет вид

(4)

где - безразмерная частота - отношение продольных скоростей вне и внутри шара,  — соответствующей отношение плотностей и  — параметр определяемые размерностью модулей сдвига вещество включения и вмещающей среды. Комплексное трансцендентное уравнение (4) определяет набор комплексных собственных значений . При этом действительная часть каждого из них определяет собственную частоту колебаний, а мнимая соответствующей декремент затухания.

Решение уравнения (4) в общем случае довольно сложно. При конкретных значениях параметров α, β, η его можно решать численно. Однако есть довольно интересный с геофизической точки зрения предельный случай, когда свойства неоднородности и вмещающей среды отличается не очень сильно. При этом, вообще говоря, наиболее сильно различаются модули сдвига, а в меньшей степени скорости продольных волн, и наименее сильно различаются плотности.

Измерения частот и декремент затухания собственных колебаний в зависимости изменения параметров α, β, η приведены в таблице.

 

β

α и η

 

α= η=I

Η =I, α=I,12

η=I, 02; α=I,12

0,06

3,5145

2,0452

1,4635

1,6187

1,4282

1,5364

0

Неопределённость

1,4152

1,3475

1,3867

1,2759

-0,05

1,5474

1,9392

1,3534

1,1179

1,3295

1,0817

 

Здесь верхние цифры в каждой клетке есть значения собственной частоты. Нижние везде, за исключением клетки β=0,05, η =I. Как было сказано выше, α=I не является решением. При этих параметрах нетривиальной оказывается следующая мода колебаний. Добротность, определяемая отношением α/ β тем выше, чем больше отклонения параметров α и β от единицы, т. е. в случае отсутствия включения (когда  неопределённое). При этом оказываются более добротными включения с β = — 0,05 что соответствует примерно на 15 % боле жёсткому включению.

Однако, наибольшей добротностью обладает включение с β = — 0,05, η =I, α=I т. е. следует моде колебаний. Изменения частоты для моды происходит примерно с одинаковой степенью изменения параметров η и α. Однако имеет место сильная зависимость от α в случае β = — 0,05, η =I, α=I. Именно, при изменение α от 1,029 до 1,0385 β повышается практически от нуля до значения 1,25.

 

Литература:

 

  1.              И. И. Сафаров Колебания и волны в диссипативно неоднородных средах и конструкциях. Изд. ''Фан'' Ташкент 1992.
  2.              С. С. Каюмов, И. И. Сафаров. Распространение и дифракция волн в диссипативно-неоднородных цилиндрических деформируемых механических системах. Ташкент: ФАН, 2004й., 218с.
Похожие статьи
Джумаев Зокир Фатиллоевич
Колебания упругого полупространства с цилиндрическими преградами при воздействии поверхностной волны
Технические науки
2017
Джумаев Зокир Фатиллоевич
Колебания упругого полупространства с цилиндрическими преградами при воздействии поверхностной волны
Технические науки
2017
Джумаев Зокир Фатиллоевич
Дифракция упругих нестационарных волн в цилиндрическом слое
Технические науки
2018
Джумаев Зокир Фатиллоевич
Дифракция упругих нестационарных волн в цилиндрическом слое
Технические науки
2018
Марасулов Абдурахим Мустафаевич
Динамические напряжения и смещения вблизи цилиндрической подкрепленной полости от плоской гармонической волны
Технические науки
2017
Марасулов Абдурахим Мустафаевич
Динамические напряжения и смещения вблизи цилиндрической подкрепленной полости от плоской гармонической волны
Технические науки
2017
Джумаев Зокир Фатиллоевич
Линейные колебания упругого криволинейного стержня
Технические науки
2016
Джумаев Зокир Фатиллоевич
Линейные колебания упругого криволинейного стержня
Технические науки
2016
Сафаров Исмаил Ибрагимович
Колебания линейных вязкоупругих систем с конечным числом степеней свободы
Технические науки
2015
Сафаров Исмаил Ибрагимович
Колебания линейных вязкоупругих систем с конечным числом степеней свободы
Технические науки
2015
Марасулов Абдурахим Мустафаевич
Продольно-поперечные колебания в системе цилиндрических оболочек, заполненных или погруженных в жидкость
Технические науки
2017
Марасулов Абдурахим Мустафаевич
Продольно-поперечные колебания в системе цилиндрических оболочек, заполненных или погруженных в жидкость
Технические науки
2017
Садиков Холмирза Содикович
Численное моделирование задач изгиба и колебаний вязкоупругих пластин сложной формы при различных моделях вязкости
Технические науки
2017
Садиков Холмирза Содикович
Численное моделирование задач изгиба и колебаний вязкоупругих пластин сложной формы при различных моделях вязкости
Технические науки
2017
Горохов Александр Андреевич
Анализ уравнения, описывающего динамическое деформирование в слое микроразрушенной среды
Математика
2015
Горохов Александр Андреевич
Анализ уравнения, описывающего динамическое деформирование в слое микроразрушенной среды
Математика
2015
Ядгаров Уктам Турсунович
О демпфировании вибраций элементов конструкций в области резонанса
Технические науки
2017
Ядгаров Уктам Турсунович
О демпфировании вибраций элементов конструкций в области резонанса
Технические науки
2017
дата публикации
январь-2 2016 г.
рубрика
Технические науки
язык статьи
Русский
Опубликована
Похожие статьи
Джумаев Зокир Фатиллоевич
Колебания упругого полупространства с цилиндрическими преградами при воздействии поверхностной волны
Технические науки
2017
Джумаев Зокир Фатиллоевич
Колебания упругого полупространства с цилиндрическими преградами при воздействии поверхностной волны
Технические науки
2017
Джумаев Зокир Фатиллоевич
Дифракция упругих нестационарных волн в цилиндрическом слое
Технические науки
2018
Джумаев Зокир Фатиллоевич
Дифракция упругих нестационарных волн в цилиндрическом слое
Технические науки
2018
Марасулов Абдурахим Мустафаевич
Динамические напряжения и смещения вблизи цилиндрической подкрепленной полости от плоской гармонической волны
Технические науки
2017
Марасулов Абдурахим Мустафаевич
Динамические напряжения и смещения вблизи цилиндрической подкрепленной полости от плоской гармонической волны
Технические науки
2017
Джумаев Зокир Фатиллоевич
Линейные колебания упругого криволинейного стержня
Технические науки
2016
Джумаев Зокир Фатиллоевич
Линейные колебания упругого криволинейного стержня
Технические науки
2016
Сафаров Исмаил Ибрагимович
Колебания линейных вязкоупругих систем с конечным числом степеней свободы
Технические науки
2015
Сафаров Исмаил Ибрагимович
Колебания линейных вязкоупругих систем с конечным числом степеней свободы
Технические науки
2015
Марасулов Абдурахим Мустафаевич
Продольно-поперечные колебания в системе цилиндрических оболочек, заполненных или погруженных в жидкость
Технические науки
2017
Марасулов Абдурахим Мустафаевич
Продольно-поперечные колебания в системе цилиндрических оболочек, заполненных или погруженных в жидкость
Технические науки
2017
Садиков Холмирза Содикович
Численное моделирование задач изгиба и колебаний вязкоупругих пластин сложной формы при различных моделях вязкости
Технические науки
2017
Садиков Холмирза Содикович
Численное моделирование задач изгиба и колебаний вязкоупругих пластин сложной формы при различных моделях вязкости
Технические науки
2017
Горохов Александр Андреевич
Анализ уравнения, описывающего динамическое деформирование в слое микроразрушенной среды
Математика
2015
Горохов Александр Андреевич
Анализ уравнения, описывающего динамическое деформирование в слое микроразрушенной среды
Математика
2015
Ядгаров Уктам Турсунович
О демпфировании вибраций элементов конструкций в области резонанса
Технические науки
2017
Ядгаров Уктам Турсунович
О демпфировании вибраций элементов конструкций в области резонанса
Технические науки
2017