Числовой образ модели Фридрихса с одномерным возмущением | Статья в журнале «Молодой ученый»

Авторы: ,

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №2 (61) февраль 2014 г.

Дата публикации: 04.02.2014

Статья просмотрена: 28 раз

Библиографическое описание:

Расулова З. Д., Хамроева Х. Ю. Числовой образ модели Фридрихса с одномерным возмущением // Молодой ученый. — 2014. — №2. — С. 27-29. — URL https://moluch.ru/archive/61/8838/ (дата обращения: 17.07.2018).

Пусть  комплексное гильбертово пространство и  линейный оператор с областью определения . Множество

.

называется числовым образом оператора . Из определения видно, что множество  является подмножеством комплексной плоскости и геометрические свойства множества  дает некоторые информации об операторе .

Изучение числового образа линейного оператора в гильбертовом пространстве является одним из основных методов в изучении местоположения спектра таких операторов. Это понятие впервые введено в работе [1] и доказано, что числовой образ матрицы содержит все ее собственные значения. В работе [2] показано, что числовой образ оператора является выпуклым. Отметим, что выше сказанные результаты верны не только для матриц, но и в более общем случае для любого линейного ограниченного оператора. В работе [3] доказано, что спектр любого линейного ограниченного оператора содержится в замыкании числового образа этого оператора. Вслед за этим это понятие обобщено разными способами, см. например [4–7].

В данной работе рассматривается линейный ограниченный самосопряженный модель Фридрихса с одномерным возмущением. Найден явный вид числового образа этого оператора.

Для полноты сначала приведем ряд основных свойств числового образа линейного оператора (вообще говоря несамосопряженного) , доказательство которых вытекает непосредственно из определения. Обозначим через  и  — множество всех вещественных и комплексных чисел, соответственно. Всюду в работе под  и  понимается скалярное произведение и норма в соответствующих гильбертовых пространствах.

1)     Если  ограниченный оператор, то ;

2)     ;

3)     . Если  и  произвольные комплексные числа, то имеет место

;

4)     Для самосопряженного оператора  имеет место соотношение ;

5)     Если  конечномерное пространство, то множества  является компактным;

6)     Если  унитарно эквивалентные операторы, то ;

7)     , где  точечный спектр оператора ;

Определим (см. [8]) аппроксимативно точечный спектр линейного оператора  как

.

Подчеркнем, что последнее множество имеет еще одно название, «ядро спектра» оператора  (см. [9]).

Следующее утверждение устанавливает связь между  и :

8)     .

Теперь перейдем к постановку задачи и обсуждение основного результата.

Пусть  — гильбертово пространство квадратично-интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на .

Рассмотрим модель Фридрихса  действующего в гильбертовом пространстве  по формуле

,

где операторы  и  определяются равенствами

.

Здесь  — вешественнозначная непрерывная функция на .

Можно проверить, что при этих предположениях оператор  является ограниченным и самосопряженным в гильбертовом пространстве .

Обозначим через ,  и , соответственно, спектр, существенный спектр и дискретный спектр ограниченного самосопряженного оператора.

Оператор возмущения  оператора  является одномерным самосопряженным оператором. Следовательно, из известной теоремы Г. Вейля [8] о сохранении существенного спектра при возмущениях конечного ранга вытекает, что существенный спектр оператора  совпадает с существенным спектром оператора . Известно, что

. Из последних фактов следует, что .

Определим регулярную в  функцию (детерминант Фредгольма, ассоциированный с оператором )

.

Установим связь между собственными значениями оператора  и нулями функции .

Лемма 1. Оператор  имеет собственное значение  тогда и только тогда, когда .

Доказательство. Пусть число  — есть собственное значение оператора  и пусть  — соответствующая собственная функция. Тогда  удовлетворяет уравнению  или

.                                                                 (1)

Для любых  и  имеет место соотношение .

Из уравнения (1) для  имеем

,                                                                                                      (2)

где

.                                                                                                     (3)

Подставляя выражение (2) для  в равенство (3) получим, что уравнений (1) имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда . Лемма 1 доказана.

Согласно леммы 1 функция  обладает характеристическим свойством определителя Фредгольма. По этой причине мы назовём её определителем Фредгольма, ассоциированный с оператором .

Из леммы 1 вытекает, что

.

Таким образом

.

Теперь сформулируем основной результат работы.

Теорема 1. Пусть . Тогда числовой образ оператора  совпадает с множеством , где  единственный простой отрицательный собственный значений оператора .

Доказательство. Сначала отметим, что функция  дифференцируема в полуосях  и , и для любого  имеет место соотношение

.

Следовательно, функция  монотонна убывает в полуосях  и . Так как  при всех , в силу леммы 1 оператор  не имеет собственных значений в . Исследуем отрицательных собственных значений оператора .

Из разложения

вытекает, что существуют положительные числа  и  такие, что

.

Так как непрерывная функция  удовлетворяет условию , существуют положительные числа  и  такие, что

.

Тогда пологая  имеем, что

.

Следовательно,

.

Так как функция  монотонно убывает в , последнее означает, что функция  имеет единственный простой отрицательной нуль . В силу леммы 1 число  является собственным значением оператора .

Пусть  нормированная собственная функция оператора  соответствующего собственному значению . Тогда

,

т. е. .

Ясно, что . Покажем, что . Допустим противное. Пусть . Тогда существует функция  такое, что  и . В этом случае имеем, что

.

Последнее равенство выполняется тогда и только тогда, когда . Это противоречить условия нормировки функции . Значить . Теорема 1 доказана.

В ходе доказательство теоремы 1 доказано, что , где  — единственной простой отрицательной собственной значение оператора , и . Поэтому , но   и .

Литература:

1.         O. Toeplitz. Das algebraische Analogon zu einem Satze von Fejer // Math. Z., 2:1–2 (1918), 187–197.

2.         F. Hausdorff. Der Wertvorrat einer Bilinearform // Math. Z., 3:1 (1919), 314–316.

3.         A. Wintner. Zur Theorie der beschrankten Bilinearformen // Math. Z., 30:1 (1929), 228–281.

4.         H. Langer, A. S. Markus, V. I. Matsaev, C. Tretter. A new concept for block operator matrices: the quadratic numerical range // Linear Algebra Appl., 330:1–3 (2001), 89–112.

5.         L. Rodman, I. M. Spitkovsky. Ratio numerical ranges of operators // Integr. Equ. Oper. Theory, 71 (2011), 245–257.

6.         M. T. Heydari. Numerical range and compact convex sets // Rend. Circ. Mat. Palermo, 60 (2011), 139–143.

7.         W.-S. Cheung, X. Liu, T.-Y. Tam. Multiplicities, boundary points and joint numerical ranges // Operators and Matrices. 5:1 (2011), 41–52.

8.         М. Рид, Б. Саймон. Методы современной математической физики. Т.4. Анализ операторов, М.: Мир. 1982, 430 с.

9.         М. Саломяк, М. Бирман. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве, Изд. Ленинградского университета, Ленинград, 1980, 264 c.

Основные термины (генерируются автоматически): линейный оператор, числовой образ, собственное значение оператора, оператор, гильбертово пространство, числовой образ оператора, функция, линейный ограниченный оператор, непрерывная функция, собственное значение.


Похожие статьи

Условия существования собственных значений одной...

Блочно-операторная матрица — это матрица, элементы которой являются линейными операторами в банаховом или гильбертовом пространствах [1]. Одним из специальных классов блочно-операторных матриц являются Гамильтонианы системы с несохраняющимся...

Числовой образ многомерной обобщенной модели Фридрихса

Пусть — комплексное гильбертово пространство и линейный оператор с областью определения . Множество. Называется числовым образом оператора. Из определения видно, что множество является подмножеством комплексной плоскости и геометрические свойства...

Спектр и квадратичный числовой образ обобщенной модели...

Один из классических методов изучения спектра линейного оператора в гильбертовом пространстве — это изучение числового образа этого оператора [1]: , здесь есть область определения оператора . Если — ограниченный оператор, то .

Описание множества собственных значений одной блочной...

Блочно-операторные матрицы — это матрицы, элементы которых являются линейными операторами, определенными между банаховым или гильбертовым пространством. Такие операторы возникают в статистической физике, теории твердого тела...

Формула для числового образа одной операторной матрицы

Для линейного оператора в гильбертовом пространстве с областью определения его числовой образ определяется следующим образом: . Пусть — одномерное комплексное пространство, - гильбертово пространство квадратично интегрируемых...

Спектр и резольвента одного частично интегрального оператора

Тогда оператор является ограниченным самосопряженным оператором в гильбертовом пространстве .

Возмущения спектра операторов в гильбертовом пространстве.

Спектр и числовой образ одного интегрального оператора.

Числовой образ линейных операторов: основные свойства...

В настоящей работе сформулированы основные свойства числового образа линейного оператора в комплексном гильбертовом пространстве. Приведены несколько примеров разного характера для вычисления числового образа.

Теорема 2.Число является собственным значением оператора...

гильбертово пространство, оператор, собственное значение оператора, существенный спектр оператора, существенный спектр, операторная матрица, ограниченный самосопряженный оператор.

Связь между числовым образом и спектром модели Фридрихса...

Наряду с оператором , рассмотрим также ограниченный и самосопряженный оператор , действующий в гильбертовом пространстве по формуле При условии 1 дискретный спектр оператора совпадает с объединением дискретных спектров операторов и.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

Условия существования собственных значений одной...

Блочно-операторная матрица — это матрица, элементы которой являются линейными операторами в банаховом или гильбертовом пространствах [1]. Одним из специальных классов блочно-операторных матриц являются Гамильтонианы системы с несохраняющимся...

Числовой образ многомерной обобщенной модели Фридрихса

Пусть — комплексное гильбертово пространство и линейный оператор с областью определения . Множество. Называется числовым образом оператора. Из определения видно, что множество является подмножеством комплексной плоскости и геометрические свойства...

Спектр и квадратичный числовой образ обобщенной модели...

Один из классических методов изучения спектра линейного оператора в гильбертовом пространстве — это изучение числового образа этого оператора [1]: , здесь есть область определения оператора . Если — ограниченный оператор, то .

Описание множества собственных значений одной блочной...

Блочно-операторные матрицы — это матрицы, элементы которых являются линейными операторами, определенными между банаховым или гильбертовым пространством. Такие операторы возникают в статистической физике, теории твердого тела...

Формула для числового образа одной операторной матрицы

Для линейного оператора в гильбертовом пространстве с областью определения его числовой образ определяется следующим образом: . Пусть — одномерное комплексное пространство, - гильбертово пространство квадратично интегрируемых...

Спектр и резольвента одного частично интегрального оператора

Тогда оператор является ограниченным самосопряженным оператором в гильбертовом пространстве .

Возмущения спектра операторов в гильбертовом пространстве.

Спектр и числовой образ одного интегрального оператора.

Числовой образ линейных операторов: основные свойства...

В настоящей работе сформулированы основные свойства числового образа линейного оператора в комплексном гильбертовом пространстве. Приведены несколько примеров разного характера для вычисления числового образа.

Теорема 2.Число является собственным значением оператора...

гильбертово пространство, оператор, собственное значение оператора, существенный спектр оператора, существенный спектр, операторная матрица, ограниченный самосопряженный оператор.

Связь между числовым образом и спектром модели Фридрихса...

Наряду с оператором , рассмотрим также ограниченный и самосопряженный оператор , действующий в гильбертовом пространстве по формуле При условии 1 дискретный спектр оператора совпадает с объединением дискретных спектров операторов и.

Задать вопрос