Описание множества собственных значений одной блочной операторной матрицы размера 2 х 2 | Статья в журнале «Молодой ученый»

Автор:

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №13 (117) июль-1 2016 г.

Дата публикации: 28.06.2016

Статья просмотрена: 31 раз

Библиографическое описание:

Мирзакобилов Р. Н. Описание множества собственных значений одной блочной операторной матрицы размера 2 х 2 // Молодой ученый. — 2016. — №13. — С. 50-52. — URL https://moluch.ru/archive/117/32106/ (дата обращения: 20.09.2018).



Блочно-операторные матрицы — это матрицы, элементы которых являются линейными операторами, определенными между банаховым или гильбертовым пространством. Такие операторы возникают в статистической физике, теории твердого тела, теории химических реакции, магнито-гидродинамике, квантовой механике и т. д. Недавно в монографии [1] подробно изучены абстрактные свойства ограниченных и неограниченных блочно-операторных матриц и их применения в некоторых задачах математической физики.

В настоящей работе рассматривается блочно-операторная матрица действующая в так называемом двухчастичном обрезанном подпространстве Фоковского пространства. Описан дискретный спектр оператора и задача состоит в обосновании этих описаний.

Отметим, что оператор можно рассмотреть как одномерное возмущение оператора , рассмотренного в работах [2, 3], где изучены пороговые явления для оператора .

Пусть — компактное связанное множество, - гильбертово пространство квадратично интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на и — одномерное комплексное пространство.

Обозначим

Гильбертово пространство называется трехчастичным обрезанным подпространством Фоковского пространства.

Рассмотрим блочно-операторную матрицу , действующую в гильбертовом пространстве и задающуюся как

, (1)

где матричные элементы определяются по формулам

Здесь — фиксированное вещественное число, — вещественнозначные непрерывные (ненулевые) функции на . Здесь и в дальнейшем интеграл без указания пределов всюду означает интегрирование по всей области изменения переменных интегрирования.

В современной математической физике оператор называется оператором уничтожения, а оператор называется оператором рождения, см. [4]. Оператор уничтожения снижает количество частиц в заданном состоянии на единицу, а оператор рождения увеличивает число частиц в данном состоянии на единицу, и является сопряженным к оператору уничтожения. Такие операторы имеют широкое применение в квантовой механике, в частности, в изучении квантовых гармонических осцилляторов и систем многих частиц.

Легко можно проверить, что оператор , определенный операторной матрицей (1) и действующий в гильбертовом пространстве , является ограниченным и самосопряженным.

Следует отметить, что оператор типа (1) является оператором, носящим название обобщенной модели Фридрихса. Как таковая, обобщенная модель Фридрихса введена в работе [5], где были изучены ее собственные значения и «резонансы» (особенности аналитического продолжения резольвенты). А в работе [6] оно рассматривается как двухканальная молекулярно-резонансная модель.

Обозначим через и , соответственно, существенный спектр и дискретный спектр ограниченного самосопряженного оператора.

Пусть оператор действует в как

Оператор возмущения оператора является ограниченным самосопряженным оператором ранга не более чем 3. Следовательно, из известной теоремы Г. Вейля (см. [7], теорема XIII.14) о сохранении существенного спектра при возмущениях конечного ранга вытекает, что существенный спектр оператора совпадает с существенным спектром оператора . Известно, что

где числа и определяются равенствами

Из последних двух фактов следует, что

Сформулируем основные результаты работы.

Теорема 1.Операторможет иметь не более двух (не более одного) простых собственных значений, лежащих левее (правее ).

Далее, для формулировки второго результата работы вводим операторы

и .

Из определения операторов видно, что они имеют более простую структуру чем .

Теорема 2. Если один из операторов или имеет собственное значение тогда оператор имеет единственное простое собственное значение на

Литература:

  1. C. Tretter. Spectral Theory of Block Operator Matrices and Applications. ImperialCollegePress, 2008.
  2. Т. Х. Расулов. О существовании виртуального уровня обобщенной модели Фридрихса. Узбекский Математический Журнал. 2007, № 4, стр. 56–63.
  3. Т. Х. Расулов. О собственных значениях обобщенной модели Фридрихса. Узбекский математический журнал, 2006, № 4, стр. 61–68.
  4. К. О. Фридрихс. Возмущения спектра операторов в гильбертовом пространстве. М.: Мир, 1972.
  5. С. Н. Лакаев. Некоторые спектральные свойства модели Фридрихса. Труды семинара им. И. Г. Петровского, 11 (1986), 210–223.
  6. A. K. Motovilov, W. Sandhas, Y. B. Belyaev. Perturbation of a lattice spectral band by a nearby resonance. J. Math. Phys., 42 (2001), 2490–2506.
  7. М. Рид, Б. Саймон. Методы современной математической физики, т. 4. Анализ операторов, М.: Мир. 1982.
Основные термины (генерируются автоматически): оператор, гильбертово пространство, оператор уничтожения, существенный спектр, оператор рождения, блочно-операторная матрица, ограниченный самосопряженный оператор, обобщенная модель, квантовая механика, существенный спектр оператора.


Похожие статьи

Нули определителя Фредгольма, соответствующие одной...

Оператор возмущения оператора является ограниченным самосопряженным оператором ранга не более чем 3. Следовательно, из известной теоремы Г. Вейля о сохранении существенного спектра при возмущениях конечного ранга вытекает, что существенный...

Условия существования собственных значений одной...

Блочно-операторная матрица — это матрица, элементы которой являются линейными операторами в банаховом или гильбертовом пространствах [1]. Одним из специальных классов блочно-операторных матриц являются Гамильтонианы системы с несохраняющимся...

Построение резольвенты обобщенной модели Фридрихса

Обычно оператор называется оператором уничтожения, а оператор называется оператором рождения [4]. Обозначим через , и , соответственно, спектр, существенный спектр и дискретный спектр ограниченного самосопряженного оператора.

О спектре дополнения Шура одной операторной матрицы

( сопряженный оператор к ). Обозначим через и , соответственно, спектр, существенный спектр, дискретный спектр и резольвентное множества ограниченного самосопряженного оператора.

Описание существенного спектра матричной модели...

. Операторы и называются операторами уничтожения, а и называются операторами рождения.

Основные термины (генерируются автоматически): гильбертово пространство, существенный спектр оператора, оператор, обобщенная модель, блочно-операторная...

Основные термины (генерируются автоматически): оператор...

...оператор, гильбертово пространство, дискретный спектр оператора, существенный спектр, семейство операторов, оператор уничтожения, оператор рождения, блочно-операторная матрица, обобщенная модель, достаточное условие конечности...

О дискретном спектре обобщенной модели Фридрихса...

Оператор называется оператором уничтожения, а оператор называется оператором рождения [4]. Обозначим через и соответственно существенный спектр и дискретный спектр ограниченного самосопряженного оператора.

Существенный спектр дополнения Шура одной операторной...

Пусть и -три гильбертовы пространства и . Тогда известно, что всякий линейный ограниченный оператор , действующий в всегда представляется как блочно-операторная матрица. (1). С линейными ограниченными операторами .

Об основном состоянии одной блочно-операторной матрицы

. Оператор возмущения оператора является самосопряженным оператором ранга 2. Следовательно, из известной теоремы Г. Вейля о сохранении существенного спектра при возмущениях конечного ранга вытекает, что существенный спектр оператора совпадает с...

Нули определителя Фредгольма, соответствующие одной...

Оператор возмущения оператора является ограниченным самосопряженным оператором ранга не более чем 3. Следовательно, из известной теоремы Г. Вейля о сохранении существенного спектра при возмущениях конечного ранга вытекает, что существенный...

Условия существования собственных значений одной...

Блочно-операторная матрица — это матрица, элементы которой являются линейными операторами в банаховом или гильбертовом пространствах [1]. Одним из специальных классов блочно-операторных матриц являются Гамильтонианы системы с несохраняющимся...

Построение резольвенты обобщенной модели Фридрихса

Обычно оператор называется оператором уничтожения, а оператор называется оператором рождения [4]. Обозначим через , и , соответственно, спектр, существенный спектр и дискретный спектр ограниченного самосопряженного оператора.

О спектре дополнения Шура одной операторной матрицы

( сопряженный оператор к ). Обозначим через и , соответственно, спектр, существенный спектр, дискретный спектр и резольвентное множества ограниченного самосопряженного оператора.

Описание существенного спектра матричной модели...

. Операторы и называются операторами уничтожения, а и называются операторами рождения.

Основные термины (генерируются автоматически): гильбертово пространство, существенный спектр оператора, оператор, обобщенная модель, блочно-операторная...

Основные термины (генерируются автоматически): оператор...

...оператор, гильбертово пространство, дискретный спектр оператора, существенный спектр, семейство операторов, оператор уничтожения, оператор рождения, блочно-операторная матрица, обобщенная модель, достаточное условие конечности...

О дискретном спектре обобщенной модели Фридрихса...

Оператор называется оператором уничтожения, а оператор называется оператором рождения [4]. Обозначим через и соответственно существенный спектр и дискретный спектр ограниченного самосопряженного оператора.

Существенный спектр дополнения Шура одной операторной...

Пусть и -три гильбертовы пространства и . Тогда известно, что всякий линейный ограниченный оператор , действующий в всегда представляется как блочно-операторная матрица. (1). С линейными ограниченными операторами .

Об основном состоянии одной блочно-операторной матрицы

. Оператор возмущения оператора является самосопряженным оператором ранга 2. Следовательно, из известной теоремы Г. Вейля о сохранении существенного спектра при возмущениях конечного ранга вытекает, что существенный спектр оператора совпадает с...

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

Нули определителя Фредгольма, соответствующие одной...

Оператор возмущения оператора является ограниченным самосопряженным оператором ранга не более чем 3. Следовательно, из известной теоремы Г. Вейля о сохранении существенного спектра при возмущениях конечного ранга вытекает, что существенный...

Условия существования собственных значений одной...

Блочно-операторная матрица — это матрица, элементы которой являются линейными операторами в банаховом или гильбертовом пространствах [1]. Одним из специальных классов блочно-операторных матриц являются Гамильтонианы системы с несохраняющимся...

Построение резольвенты обобщенной модели Фридрихса

Обычно оператор называется оператором уничтожения, а оператор называется оператором рождения [4]. Обозначим через , и , соответственно, спектр, существенный спектр и дискретный спектр ограниченного самосопряженного оператора.

О спектре дополнения Шура одной операторной матрицы

( сопряженный оператор к ). Обозначим через и , соответственно, спектр, существенный спектр, дискретный спектр и резольвентное множества ограниченного самосопряженного оператора.

Описание существенного спектра матричной модели...

. Операторы и называются операторами уничтожения, а и называются операторами рождения.

Основные термины (генерируются автоматически): гильбертово пространство, существенный спектр оператора, оператор, обобщенная модель, блочно-операторная...

Основные термины (генерируются автоматически): оператор...

...оператор, гильбертово пространство, дискретный спектр оператора, существенный спектр, семейство операторов, оператор уничтожения, оператор рождения, блочно-операторная матрица, обобщенная модель, достаточное условие конечности...

О дискретном спектре обобщенной модели Фридрихса...

Оператор называется оператором уничтожения, а оператор называется оператором рождения [4]. Обозначим через и соответственно существенный спектр и дискретный спектр ограниченного самосопряженного оператора.

Существенный спектр дополнения Шура одной операторной...

Пусть и -три гильбертовы пространства и . Тогда известно, что всякий линейный ограниченный оператор , действующий в всегда представляется как блочно-операторная матрица. (1). С линейными ограниченными операторами .

Об основном состоянии одной блочно-операторной матрицы

. Оператор возмущения оператора является самосопряженным оператором ранга 2. Следовательно, из известной теоремы Г. Вейля о сохранении существенного спектра при возмущениях конечного ранга вытекает, что существенный спектр оператора совпадает с...

Нули определителя Фредгольма, соответствующие одной...

Оператор возмущения оператора является ограниченным самосопряженным оператором ранга не более чем 3. Следовательно, из известной теоремы Г. Вейля о сохранении существенного спектра при возмущениях конечного ранга вытекает, что существенный...

Условия существования собственных значений одной...

Блочно-операторная матрица — это матрица, элементы которой являются линейными операторами в банаховом или гильбертовом пространствах [1]. Одним из специальных классов блочно-операторных матриц являются Гамильтонианы системы с несохраняющимся...

Построение резольвенты обобщенной модели Фридрихса

Обычно оператор называется оператором уничтожения, а оператор называется оператором рождения [4]. Обозначим через , и , соответственно, спектр, существенный спектр и дискретный спектр ограниченного самосопряженного оператора.

О спектре дополнения Шура одной операторной матрицы

( сопряженный оператор к ). Обозначим через и , соответственно, спектр, существенный спектр, дискретный спектр и резольвентное множества ограниченного самосопряженного оператора.

Описание существенного спектра матричной модели...

. Операторы и называются операторами уничтожения, а и называются операторами рождения.

Основные термины (генерируются автоматически): гильбертово пространство, существенный спектр оператора, оператор, обобщенная модель, блочно-операторная...

Основные термины (генерируются автоматически): оператор...

...оператор, гильбертово пространство, дискретный спектр оператора, существенный спектр, семейство операторов, оператор уничтожения, оператор рождения, блочно-операторная матрица, обобщенная модель, достаточное условие конечности...

О дискретном спектре обобщенной модели Фридрихса...

Оператор называется оператором уничтожения, а оператор называется оператором рождения [4]. Обозначим через и соответственно существенный спектр и дискретный спектр ограниченного самосопряженного оператора.

Существенный спектр дополнения Шура одной операторной...

Пусть и -три гильбертовы пространства и . Тогда известно, что всякий линейный ограниченный оператор , действующий в всегда представляется как блочно-операторная матрица. (1). С линейными ограниченными операторами .

Об основном состоянии одной блочно-операторной матрицы

. Оператор возмущения оператора является самосопряженным оператором ранга 2. Следовательно, из известной теоремы Г. Вейля о сохранении существенного спектра при возмущениях конечного ранга вытекает, что существенный спектр оператора совпадает с...

Задать вопрос