Библиографическое описание:

Худаяров С. С. Нули определителя Фредгольма, соответствующие одной блочно-операторной матрице // Молодой ученый. — 2016. — №12. — С. 66-67.



Блочно-операторные матрицы — это матрицы, элементы которых являются линейными операторами, определенными между банаховым или гильбертовым пространством. Такие операторы возникают в статистической физике, теории твердого тела, теории химических реакции, магнито-гидродинамике, квантовой механике и т. д. Недавно в монографии [1] подробно изучены абстрактные свойства ограниченных и неограниченных блочно-операторных матриц и их применения в некоторых задачах математической физики.

В настоящей работе рассматривается блочно операторная матрица , действующая в так называемом двухчастичном обрезанном подпространстве Фоковского пространства. Изучен нули определителя Фредгольма соответствующей оператору .

Отметим, что оператор можно рассмотреть как одномерное возмущение оператора , рассмотренного в работах [2, 3], где изучены пороговые явления для оператора .

Пусть — компактное связанное множество, - гильбертово пространство квадратично интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на и — одномерное комплексное пространство.

Обозначим

Гильбертово пространство называется двухчастичным обрезанным подпространством Фоковского пространства.

Рассмотрим блочно-операторную матрицу действующую в гильбертовом пространстве и задающуюся как

, (1)

где матричные элементы определяются по формулам

Здесь — фиксированное вещественное число, — вещественнозначные непрерывные (ненулевые) функции на . Здесь и в дальнейшем интеграл без указания пределов всюду означает интегрирование по всей области изменения переменных интегрирования.

В современной математической физике оператор называется оператором уничтожения, а оператор называется оператором рождения, см. [4].

Легко можно проверить, что оператор , определенный операторной матрицей (1) и действующий в гильбертовом пространстве , является ограниченным и самосопряженным.

Обозначим через и , соответственно, существенный спектр и дискретный спектр ограниченного самосопряженного оператора.

Пусть оператор действует в как

Оператор возмущения оператора является ограниченным самосопряженным оператором ранга не более чем 3. Следовательно, из известной теоремы Г. Вейля о сохранении существенного спектра при возмущениях конечного ранга вытекает, что существенный спектр оператора совпадает с существенным спектром оператора . Известно, что

где числа и определяются равенствами

Из последних двух фактов следует, что

Далее, для формулировки результата работы вводим операторы

и .

Из определения операторов видно, что они имеют более простую структуру чем .

Определим регулярные в функции (определитель Фредгольма, ассоциированный с оператором соответственно)

.

Теперь установим связь между собственными значениями оператора и нулями функции Верна следующая

Теорема 1. Число является собственным значением оператора тогда и только тогда, когда .

Теорема 2.Число является собственным значением оператора тогда и только тогда, когда .

Литература:

  1. C. Tretter. Spectral Theory of Block Operator Matrices and Applications. ImperialCollegePress, 2008.
  2. Т. Х. Расулов. О существовании виртуального уровня обобщенной модели Фридрихса. Узб. Матем. Журнал. 2007, № 4, стр. 56–63.
  3. Т. Х. Расулов. О собственных значениях обобщенной модели Фридрихса. Узбекский математический журнал, 2006, № 4, стр. 61–68.
  4. К. О. Фридрихс. Возмущения спектра операторов в гильбертовом пространстве. М.: Мир, 1972.
Основные термины (генерируются автоматически): собственным значением оператора, гильбертовом пространстве, существенный спектр оператора, Оператор возмущения оператора, существенным спектром оператора, собственными значениями оператора, возмущение оператора, Фоковского пространства, математической физике оператор, самосопряженным оператором ранга, гильбертово пространство квадратично, модели Фридрихса, одномерное комплексное пространство, неограниченных блочно-операторных матриц, задачах математической физики, Фредгольма соответствующей оператору, компактное связанное множество, подпространстве Фоковского пространства, нулями функции Верна, определенный операторной матрицей.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle
Задать вопрос