Настоящая статья является продолжением работы [1], в которой приведены основные свойства квадратичного числового образа. Там утверждается, что квадратичный числовой образ определен, если дано разложение и
, где
и
гильбертово пространство, а
пространство линейных ограниченных операторов в гильбертовом пространстве
. Тогда оператор
всегда записывается в виде блочно–операторной матрицы
(1)
с линейными ограниченными операторами ,
. Для неограниченного линейного оператора
в
, его область определения
необязательно должна быть разлагаемой как прямая сумма
подпространств
,
и следовательно, утверждение о том, что оператор
имеет представление (1) является дополнительным предположением. В этом случае
.
Для удобства сначала дадим определение числового образа оператора . Пусть
и
— скалярное произведение и норма в
,
, соответственно.
Для линейного оператора в гильбертовом пространстве
с областью определения
его числовой образ определяется следующим образом:
.
Пусть — одномерное комплексное пространство,
- гильбертово пространство квадратично интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на
,
. Рассмотрим случай
,
,
,
,
;
,
,
,
.
Здесь





Рассмотрим уравнение для собственных значений
,
.
Это уравнение эквивалентно следующей системе уравнений
. (2)
Случай 1: пусть . Тогда система уравнений (2) записывается в виде
. (3)
Видно, что если и
, то система уравнений (3) превращается в тождество. Так как
, имеем, что
. Тем самим
.
Это и означает, что число является бесконечнократным собственным значением оператора
.
Случай 2: пусть теперь . Тогда из второго уравнения системы уравнений (2) для
имеем

Подставляя полученное выражение (4) для в первое уравнение системы уравнений (2) имеем, что число
является собственным значением оператора
тогда и только тогда, когда
или
.
Если , то в силу (4) имеем
, т. е.
, который противоречит тому, что число
является собственным значением оператора
. Поэтому
. Следовательно,
.
Найдем нули этого уравнения. Простые вычисления показывают, что нули равны
.
Таким образом, и
являются простые собственные значения оператора
и
. Мы получили следующие заключение:
1. Для существенного спектра оператора имеет место равенство:

2. Для дискретного спектра оператора имеет место равенство:
.
Причем обе собственные значение являются простыми.
3. Для числового образа оператора имеет место равенство:
.
Литература:
- И. Б. Куланов. Основные свойства квадратичного числового образа. Молодой учёный, — 2016, –№ 13 (117), — С. 41–44.