Формула для числового образа одной операторной матрицы | Статья в журнале «Молодой ученый»

Автор:

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №25 (159) июнь 2017 г.

Дата публикации: 27.06.2017

Статья просмотрена: 6 раз

Библиографическое описание:

Куланов И. Б. Формула для числового образа одной операторной матрицы // Молодой ученый. — 2017. — №25. — С. 8-10. — URL https://moluch.ru/archive/159/44849/ (дата обращения: 19.12.2018).



Настоящая статья является продолжением работы [1], в которой приведены основные свойства квадратичного числового образа. Там утверждается, что квадратичный числовой образ определен, если дано разложение и , где и гильбертово пространство, а пространство линейных ограниченных операторов в гильбертовом пространстве . Тогда оператор всегда записывается в виде блочно–операторной матрицы

(1)

с линейными ограниченными операторами , . Для неограниченного линейного оператора в , его область определения необязательно должна быть разлагаемой как прямая сумма подпространств , и следовательно, утверждение о том, что оператор имеет представление (1) является дополнительным предположением. В этом случае

.

Для удобства сначала дадим определение числового образа оператора . Пусть и — скалярное произведение и норма в , , соответственно.

Для линейного оператора в гильбертовом пространстве с областью определения его числовой образ определяется следующим образом:

.

Пусть — одномерное комплексное пространство, - гильбертово пространство квадратично интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на , . Рассмотрим случай ,

, , , ;

, , , .

Здесь –вещественные постоянные, а – вещественнозначная непрерывная функция на . В этих предположениях оператор , определенный по формуле (1) и действующий в гильбертовом пространстве , является ограниченным и самосопряженным.

Рассмотрим уравнение для собственных значений

, .

Это уравнение эквивалентно следующей системе уравнений

. (2)

Случай 1: пусть . Тогда система уравнений (2) записывается в виде

. (3)

Видно, что если и , то система уравнений (3) превращается в тождество. Так как , имеем, что . Тем самим

.

Это и означает, что число является бесконечнократным собственным значением оператора .

Случай 2: пусть теперь . Тогда из второго уравнения системы уравнений (2) для имеем

. (4)

Подставляя полученное выражение (4) для в первое уравнение системы уравнений (2) имеем, что число является собственным значением оператора тогда и только тогда, когда

или

.

Если , то в силу (4) имеем , т. е. , который противоречит тому, что число является собственным значением оператора . Поэтому . Следовательно,

.

Найдем нули этого уравнения. Простые вычисления показывают, что нули равны

.

Таким образом, и являются простые собственные значения оператора и . Мы получили следующие заключение:

1. Для существенного спектра оператора имеет место равенство:

.

2. Для дискретного спектра оператора имеет место равенство:

.

Причем обе собственные значение являются простыми.

3. Для числового образа оператора имеет место равенство:

.

Литература:

  1. И. Б. Куланов. Основные свойства квадратичного числового образа. Молодой учёный, — 2016, –№ 13 (117), — С. 41–44.
Основные термины (генерируются автоматически): гильбертово пространство, собственное значение оператора, система уравнений, оператор, уравнение системы уравнений, квадратичный числовой образ, числовой образ оператора.


Похожие статьи

Квадратичный числовой образ одной 2x2 операторной матрицы

Одним из классических методов изучения спектра линейного оператора в гильбертовом пространстве с областью определения является изучение его числового образа: . Пусть , и - множества всех целых, вещественных и комплексных чисел, соответственно.

Условия существования собственных значений одной...

Тогда эта вектор-функция удовлетворяет уравнению или системе уравнений.

Возмущения спектра операторов в гильбертовом пространстве.

Квадратичный числовой образ одной 2x2 операторной матрицы.

Спектр и квадратичный числовой образ обобщенной модели...

Один из классических методов изучения спектра линейного оператора в гильбертовом пространстве — это изучение числового образа этого оператора [1]: , здесь есть область определения оператора . Если — ограниченный оператор, то .

О числе собственных значений одной операторной матрицы...

собственное значение оператора, нуль полинома, система уравнений, гильбертово пространство, кратное собственное значение, число.

Числовой образ многомерной обобщенной модели Фридрихса

называется числовым образом оператора.

Изучение числового образа линейного оператора в гильбертовом пространстве является одним из основных методов в изучении местоположения

. Тогда оператор имеет собственное значение тогда и только тогда, когда .

Нули определителя Фредгольма, соответствующие одной...

Возмущения спектра операторов в гильбертовом пространстве.

Основные термины (генерируются автоматически): гильбертово пространство, оператор, собственное значение оператора, существенный

Квадратичный числовой образ одной 2x2 операторной матрицы.

Числовой образ модели Фридрихса с одномерным возмущением

Изучение числового образа линейного оператора в гильбертовом пространстве является

Основные термины (генерируются автоматически): линейный оператор, числовой образ, собственное значение оператора, оператор, гильбертово пространство, числовой образ...

Формула для числового образа трехдиагональной матрицы...

Используя формулы Кардано для решения кубического уравнения, находим формулу для числового образа. Пусть Н гильбертово пространство и линейный оператор с областью определения . Тогда множество называется числовым образом оператора [1–3].

Числовой образ линейных операторов: основные свойства...

В настоящей работе сформулированы основные свойства числового образа линейного оператора в комплексном гильбертовом пространстве. Приведены несколько примеров разного характера для вычисления числового образа.

Квадратичный числовой образ одной 2x2 операторной матрицы

Одним из классических методов изучения спектра линейного оператора в гильбертовом пространстве с областью определения является изучение его числового образа: . Пусть , и - множества всех целых, вещественных и комплексных чисел, соответственно.

Условия существования собственных значений одной...

Тогда эта вектор-функция удовлетворяет уравнению или системе уравнений.

Возмущения спектра операторов в гильбертовом пространстве.

Квадратичный числовой образ одной 2x2 операторной матрицы.

Спектр и квадратичный числовой образ обобщенной модели...

Один из классических методов изучения спектра линейного оператора в гильбертовом пространстве — это изучение числового образа этого оператора [1]: , здесь есть область определения оператора . Если — ограниченный оператор, то .

О числе собственных значений одной операторной матрицы...

собственное значение оператора, нуль полинома, система уравнений, гильбертово пространство, кратное собственное значение, число.

Нули определителя Фредгольма, соответствующие одной...

Возмущения спектра операторов в гильбертовом пространстве.

Основные термины (генерируются автоматически): гильбертово пространство, оператор, собственное значение оператора, существенный

Квадратичный числовой образ одной 2x2 операторной матрицы.

Числовой образ многомерной обобщенной модели Фридрихса

называется числовым образом оператора.

Изучение числового образа линейного оператора в гильбертовом пространстве является одним из основных методов в изучении местоположения

. Тогда оператор имеет собственное значение тогда и только тогда, когда .

Числовой образ модели Фридрихса с одномерным возмущением

Изучение числового образа линейного оператора в гильбертовом пространстве является

Основные термины (генерируются автоматически): линейный оператор, числовой образ, собственное значение оператора, оператор, гильбертово пространство, числовой образ...

Формула для числового образа трехдиагональной матрицы...

Используя формулы Кардано для решения кубического уравнения, находим формулу для числового образа. Пусть Н гильбертово пространство и линейный оператор с областью определения . Тогда множество называется числовым образом оператора [1–3].

Числовой образ линейных операторов: основные свойства...

В настоящей работе сформулированы основные свойства числового образа линейного оператора в комплексном гильбертовом пространстве. Приведены несколько примеров разного характера для вычисления числового образа.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

Квадратичный числовой образ одной 2x2 операторной матрицы

Одним из классических методов изучения спектра линейного оператора в гильбертовом пространстве с областью определения является изучение его числового образа: . Пусть , и - множества всех целых, вещественных и комплексных чисел, соответственно.

Условия существования собственных значений одной...

Тогда эта вектор-функция удовлетворяет уравнению или системе уравнений.

Возмущения спектра операторов в гильбертовом пространстве.

Квадратичный числовой образ одной 2x2 операторной матрицы.

Спектр и квадратичный числовой образ обобщенной модели...

Один из классических методов изучения спектра линейного оператора в гильбертовом пространстве — это изучение числового образа этого оператора [1]: , здесь есть область определения оператора . Если — ограниченный оператор, то .

О числе собственных значений одной операторной матрицы...

собственное значение оператора, нуль полинома, система уравнений, гильбертово пространство, кратное собственное значение, число.

Числовой образ многомерной обобщенной модели Фридрихса

называется числовым образом оператора.

Изучение числового образа линейного оператора в гильбертовом пространстве является одним из основных методов в изучении местоположения

. Тогда оператор имеет собственное значение тогда и только тогда, когда .

Нули определителя Фредгольма, соответствующие одной...

Возмущения спектра операторов в гильбертовом пространстве.

Основные термины (генерируются автоматически): гильбертово пространство, оператор, собственное значение оператора, существенный

Квадратичный числовой образ одной 2x2 операторной матрицы.

Числовой образ модели Фридрихса с одномерным возмущением

Изучение числового образа линейного оператора в гильбертовом пространстве является

Основные термины (генерируются автоматически): линейный оператор, числовой образ, собственное значение оператора, оператор, гильбертово пространство, числовой образ...

Формула для числового образа трехдиагональной матрицы...

Используя формулы Кардано для решения кубического уравнения, находим формулу для числового образа. Пусть Н гильбертово пространство и линейный оператор с областью определения . Тогда множество называется числовым образом оператора [1–3].

Числовой образ линейных операторов: основные свойства...

В настоящей работе сформулированы основные свойства числового образа линейного оператора в комплексном гильбертовом пространстве. Приведены несколько примеров разного характера для вычисления числового образа.

Квадратичный числовой образ одной 2x2 операторной матрицы

Одним из классических методов изучения спектра линейного оператора в гильбертовом пространстве с областью определения является изучение его числового образа: . Пусть , и - множества всех целых, вещественных и комплексных чисел, соответственно.

Условия существования собственных значений одной...

Тогда эта вектор-функция удовлетворяет уравнению или системе уравнений.

Возмущения спектра операторов в гильбертовом пространстве.

Квадратичный числовой образ одной 2x2 операторной матрицы.

Спектр и квадратичный числовой образ обобщенной модели...

Один из классических методов изучения спектра линейного оператора в гильбертовом пространстве — это изучение числового образа этого оператора [1]: , здесь есть область определения оператора . Если — ограниченный оператор, то .

О числе собственных значений одной операторной матрицы...

собственное значение оператора, нуль полинома, система уравнений, гильбертово пространство, кратное собственное значение, число.

Нули определителя Фредгольма, соответствующие одной...

Возмущения спектра операторов в гильбертовом пространстве.

Основные термины (генерируются автоматически): гильбертово пространство, оператор, собственное значение оператора, существенный

Квадратичный числовой образ одной 2x2 операторной матрицы.

Числовой образ многомерной обобщенной модели Фридрихса

называется числовым образом оператора.

Изучение числового образа линейного оператора в гильбертовом пространстве является одним из основных методов в изучении местоположения

. Тогда оператор имеет собственное значение тогда и только тогда, когда .

Числовой образ модели Фридрихса с одномерным возмущением

Изучение числового образа линейного оператора в гильбертовом пространстве является

Основные термины (генерируются автоматически): линейный оператор, числовой образ, собственное значение оператора, оператор, гильбертово пространство, числовой образ...

Формула для числового образа трехдиагональной матрицы...

Используя формулы Кардано для решения кубического уравнения, находим формулу для числового образа. Пусть Н гильбертово пространство и линейный оператор с областью определения . Тогда множество называется числовым образом оператора [1–3].

Числовой образ линейных операторов: основные свойства...

В настоящей работе сформулированы основные свойства числового образа линейного оператора в комплексном гильбертовом пространстве. Приведены несколько примеров разного характера для вычисления числового образа.

Задать вопрос