О числе собственных значений одной операторной матрицы размера 2 × 2 | Статья в журнале «Молодой ученый»

Отправьте статью сегодня! Журнал выйдет 23 ноября, печатный экземпляр отправим 27 ноября.

Опубликовать статью в журнале

Автор:

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №6 (140) февраль 2017 г.

Дата публикации: 14.02.2017

Статья просмотрена: 19 раз

Библиографическое описание:

Шаропов Ж. К. О числе собственных значений одной операторной матрицы размера 2 × 2 // Молодой ученый. — 2017. — №6. — С. 25-27. — URL https://moluch.ru/archive/140/38993/ (дата обращения: 15.11.2019).



Пусть — компактное связанное множество, - гильбертово пространство квадратично интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на и — одномерное комплексное пространство. Обозначим Рассмотрим ограниченную самосопряженную блочно операторную матрицу , действующую в гильбертовом пространстве и задающуюся как

,

где матричные элементы определяются по формулам

Здесь — фиксированное вещественное число, — вещественнозначные непрерывные (ненулевые) функции на . Здесь и в дальнейшем интеграл без указания пределов всюду означает интегрирование по всей области изменения переменных интегрирования. Отметим, что оператор можно рассмотреть как некомпактное возмущение оператора , рассмотренного в работе [1], где изучен число собственных значений оператора . Там факты приведены без доказательства. В данной работе, в отличие от работы [1], во первых рассматривается компактный оператор, во вторых дано строгое математическое доказательства результатов о простых и бесконечно кратных собственных значений оператора .

Теорема 1. Число является бесконечно кратным собственным значением оператора .

Доказательство. Рассмотрим уравнение относительно , которое эквивалентно системе уравнений

. (1)

Можно показать, что элементы подпространства

являются решениями системы уравнений (1). Видно, что . Это означает, что число является бесконечно кратным собственным значением оператора . Теорема 1 доказана.

Теорема 2. Оператор может иметь не более чем 2 отрицательных и не более чем 1 положительных простых собственных значений.

Доказательство. Уравнение на собственные значения оператора эквивалентно системе уравнений

(2)

Так как из второго уравнения (2) находим, что

(3)

где число определена по формуле

. (4)

Подставляя выражение (3) для в первое уравнение системы (2) и в равенство (4) имеем, что

(5)

Здесь через обозначена норма в . Положим

Система уравнений (5) имеет решение тогда и только тогда, когда детерминант этой системы равен нулю, т. е. когда .

Таким образом, изучение собственных значений оператора мы привели к изучению нулей полинома степени 3. Заметим, что если и линейно зависимы, тогда . Следовательно,

и .

Пользуясь неравенством получим, что

.

Возможны три случая: 1) и ортогональны; 2) и параллельны; 3) и не ортогональны и не параллельны.

1) Пусть и ортогональны. Тогда . В этом случае числа

являются нулями полинома , т. е. собственными значениями оператора . Отметим, что числа являются нулями полинома в случае, когда и не ортогональны.

2) Пусть и параллельны. Тогда В этом случае полином записывается в виде

Отсюда видно, что числа

и

являются нулями полинома , т. е. собственными значениями оператора . Заметим, что числа являются нулями полинома в случае когда и не параллельны.

3) Пусть и не ортогональны и не параллельны. Тогда имеем, что Положим Тогда можно показать, что существует точки , , которые являются нулями полинома . Так как есть полином степени 3, эти нули являются простыми. Видно, что и . Теорема 2 доказана.

Следствие. Для спектра оператора имеет место равенство

.

Литература:

  1. Р. Н. Мирзакобилов. Описание множества собственных значений одной блочной операторной матрицы размера . Молодой учёный. –2016, –№ 13, –С. 50–52.
Основные термины (генерируются автоматически): собственное значение оператора, нуль полинома, система уравнений, гильбертово пространство, кратное собственное значение, число.


Похожие статьи

Условия существования собственных значений одной...

Блочно-операторная матрица — это матрица, элементы которой являются линейными операторами в банаховом или гильбертовом пространствах [1]. Одним из специальных классов блочно-операторных матриц являются Гамильтонианы системы с несохраняющимся...

Описание множества собственных значений одной блочной...

Блочно-операторные матрицы — это матрицы, элементы которых являются линейными операторами, определенными между банаховым или гильбертовым пространством. Такие операторы возникают в статистической физике, теории твердого тела...

Нули определителя Фредгольма, соответствующие одной...

Возмущения спектра операторов в гильбертовом пространстве. М.: Мир, 1972. гильбертово пространство, оператор, собственное значение оператора, существенный спектр оператора, существенный спектр, операторная...

О собственных значениях произведений операторов

О собственных значениях произведений операторов. Автор: Сафарова Нигора Насиллоева.

. Поэтому и имеют одинаковые собственные числа.

Пусть и две линейные ограниченные операторы в гильбертовом пространстве .

Спектр и резольвента одного частично интегрального оператора

Тогда оператор является ограниченным самосопряженным оператором в гильбертовом пространстве . Всюду в работе через обозначена норма элемента из . Следующая теорема описывает множество собственных значений оператора и их кратность.

Формула для числового образа одной операторной матрицы

Для линейного оператора в гильбертовом пространстве с областью определения его числовой образ определяется следующим образом

Основные термины (генерируются автоматически): гильбертово пространство, собственное значение оператора, система...

О дискретном спектре обобщенной модели Фридрихса...

Действительно. Пусть число — есть собственное значение оператора и пусть — соответствующая собственная вектор-функция.

4. К. О. Фридрихс. Возмущения спектра операторов в гильбертовом пространстве.

Спектр и числовой образ одного интегрального оператора

, . Легко можно проверить, что оператор , действующий в гильбертовом пространстве , ограничен и самосопряжен. Лемма. Число является бесконечно кратным собственным значением оператора .

Уравнение Вайнберга для собственных функций модельного...

Рассмотрим модельный оператор , действующий в гильбертовом пространстве по формуле. , где операторы определяются по правилам

Доказательство. Пусть собственное значение оператора и — соответствующая собственная функция.

Похожие статьи

Условия существования собственных значений одной...

Блочно-операторная матрица — это матрица, элементы которой являются линейными операторами в банаховом или гильбертовом пространствах [1]. Одним из специальных классов блочно-операторных матриц являются Гамильтонианы системы с несохраняющимся...

Описание множества собственных значений одной блочной...

Блочно-операторные матрицы — это матрицы, элементы которых являются линейными операторами, определенными между банаховым или гильбертовым пространством. Такие операторы возникают в статистической физике, теории твердого тела...

Нули определителя Фредгольма, соответствующие одной...

Возмущения спектра операторов в гильбертовом пространстве. М.: Мир, 1972. гильбертово пространство, оператор, собственное значение оператора, существенный спектр оператора, существенный спектр, операторная...

О собственных значениях произведений операторов

О собственных значениях произведений операторов. Автор: Сафарова Нигора Насиллоева.

. Поэтому и имеют одинаковые собственные числа.

Пусть и две линейные ограниченные операторы в гильбертовом пространстве .

Спектр и резольвента одного частично интегрального оператора

Тогда оператор является ограниченным самосопряженным оператором в гильбертовом пространстве . Всюду в работе через обозначена норма элемента из . Следующая теорема описывает множество собственных значений оператора и их кратность.

Формула для числового образа одной операторной матрицы

Для линейного оператора в гильбертовом пространстве с областью определения его числовой образ определяется следующим образом

Основные термины (генерируются автоматически): гильбертово пространство, собственное значение оператора, система...

О дискретном спектре обобщенной модели Фридрихса...

Действительно. Пусть число — есть собственное значение оператора и пусть — соответствующая собственная вектор-функция.

4. К. О. Фридрихс. Возмущения спектра операторов в гильбертовом пространстве.

Спектр и числовой образ одного интегрального оператора

, . Легко можно проверить, что оператор , действующий в гильбертовом пространстве , ограничен и самосопряжен. Лемма. Число является бесконечно кратным собственным значением оператора .

Уравнение Вайнберга для собственных функций модельного...

Рассмотрим модельный оператор , действующий в гильбертовом пространстве по формуле. , где операторы определяются по правилам

Доказательство. Пусть собственное значение оператора и — соответствующая собственная функция.

Задать вопрос