Спектр и числовой образ одного интегрального оператора | Статья в журнале «Молодой ученый»

Библиографическое описание:

Шарипова Н. Х., Акрамова Х. Ж., Исомова З. Ф. Спектр и числовой образ одного интегрального оператора // Молодой ученый. — 2017. — №4. — С. 120-123. — URL https://moluch.ru/archive/138/38620/ (дата обращения: 18.08.2018).



Одним из классических методов изучения спектра линейного оператора в комплексном гильбертовом пространстве с областью определения является изучение его числовой области значений:

.

Это понятие впервые введено в работе [1] и доказано, что числовой образ матрицы содержит все ее собственные значения. Вслед за этим это понятие обобщено разными способами, см. например [2,3].

Рассмотрим интегральный оператор , действующий в гильбертовом пространстве квадратично-интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на по формуле

, .

Легко можно проверить, что оператор , действующий в гильбертовом пространстве , ограничен и самосопряжен.

Лемма. Число является бесконечно кратным собственным значением оператора .

Доказательство. Рассмотрим уравнение

.

Оно эквивалентно уравнению

. (1)

Положим

.

Здесь число выбирается из условия

.

Простые вычисления показывают, что

.

Таким образом, функция

удовлетворяет условию (1). Положим

.

Здесь число выбирается из условия

.

Простые вычисления показывают, что

.

Следовательно, функция

удовлетворяет условию (1). Далее, для любого натурального числа положим

,

где константа найдется из условия

.

Обсуждая аналогично, имеем

.

Полученная последовательность функций линейно независимо. Это означает, что число является бесконечно кратным собственным значением оператора . Лемма доказана.

Теперь изучаем дискретный спектр оператора . С этой целью рассмотрим уравнение для собственных значений, т. е.

.

Это уравнение записывается в следующем виде:

. (2)

Так как из равенства (2) для находим

, (3)

где

. (4)

Подставляя полученное выражение (3) в равенства (4) имеем, что число

является простым собственным значением оператора .

Отсюда следует, что

.

Верна следующая теорема.

Теорема. Для числового образа оператора имеет место равенство

.

Литература:

  1. O. Toeplitz. Das algebraische Analogon zu einem Satze von Fejer // Math. Z., — 1918, — V. 2, — no. 1–2, — P. 187–197.
  2. H. Langer, A. S. Markus, V. I. Matsaev, C. Tretter. A new concept for block operator matrices: the quadratic numerical range // Linear Algebra Appl., — 2001, — V. 330, — no. 1–3, P. 89–112.
  3. L. Rodman, I. M. Spitkovsky. Ratio numerical ranges of operators // Integr. Equ. Oper. Theory, — 2011, V. 71, — P. 245–257.
Основные термины (генерируются автоматически): кратное собственное значение, число.


Похожие статьи

О числе собственных значений одной операторной матрицы...

Теорема 1. Число является бесконечно кратным собственным значением оператора . Доказательство. Рассмотрим уравнение относительно , которое эквивалентно системе уравнений.

Условия существования собственных значений одной...

Блочно-операторная матрица — это матрица, элементы которой являются линейными операторами в банаховом или гильбертовом пространствах [1]. Одним из специальных классов блочно-операторных матриц являются Гамильтонианы системы с несохраняющимся числом...

Некоторые свойства собственных чисел матрицы 2 × 2

Известно, что при изучении спектральных свойств блочно-операторных матриц важную роль играют свойства собственных значений числовых матриц .

Очевидно, что матрица имеет два собственных чисел с учетом кратности.

Спектр и резольвента одного частично интегрального оператора

Следующая теорема описывает множество собственных значений оператора и их кратность. Теорема 1.Число является бесконечнократным собственным значением оператора , а число является его простым собственным значением.

Построение резольвенты обобщенной модели Фридрихса

Там также установлено, что оператор имеет не более чем четыре (с учетом кратности) собственных значений вне существенного спектра.

, где матричные элементы определяются по правилам. . Здесь - фиксированное вещественное число, и вещественно-непрерывные...

О собственных значениях произведений операторов

О собственных значениях произведений операторов. Автор: Сафарова Нигора Насиллоева.

Пуст. характеристический многочлен матрицы , –его корни с учетом кратности. Они являются характеристическими числами матрицы .

Об индексе дефекта и спектре квазидифференциального...

Выберем невещественное число так, чтобы все корни уравнения (7) имели различные вещественные части.

Кратность собственного значения определяется рангом матрицы определителя в точке .

Описание множества собственных значений одной блочной...

Теорема 2. Если один из операторов или имеет собственное значение тогда оператор имеет единственное простое собственное значение на.

О числе собственных значений одной операторной матрицы размера 2 × 2.

О спектре дополнения Шура одной операторной матрицы

Рассматривается операторная матрица в прямой сумме нолчастичного, одночастичного и двухчастичного подпространств фоковского пространства. Изучаются некоторые свойства, в основном связанные с числами собственных значений...

О числе собственных значений одной операторной матрицы...

Теорема 1. Число является бесконечно кратным собственным значением оператора . Доказательство. Рассмотрим уравнение относительно , которое эквивалентно системе уравнений.

Условия существования собственных значений одной...

Блочно-операторная матрица — это матрица, элементы которой являются линейными операторами в банаховом или гильбертовом пространствах [1]. Одним из специальных классов блочно-операторных матриц являются Гамильтонианы системы с несохраняющимся числом...

Некоторые свойства собственных чисел матрицы 2 × 2

Известно, что при изучении спектральных свойств блочно-операторных матриц важную роль играют свойства собственных значений числовых матриц .

Очевидно, что матрица имеет два собственных чисел с учетом кратности.

Спектр и резольвента одного частично интегрального оператора

Следующая теорема описывает множество собственных значений оператора и их кратность. Теорема 1.Число является бесконечнократным собственным значением оператора , а число является его простым собственным значением.

Построение резольвенты обобщенной модели Фридрихса

Там также установлено, что оператор имеет не более чем четыре (с учетом кратности) собственных значений вне существенного спектра.

, где матричные элементы определяются по правилам. . Здесь - фиксированное вещественное число, и вещественно-непрерывные...

О собственных значениях произведений операторов

О собственных значениях произведений операторов. Автор: Сафарова Нигора Насиллоева.

Пуст. характеристический многочлен матрицы , –его корни с учетом кратности. Они являются характеристическими числами матрицы .

Об индексе дефекта и спектре квазидифференциального...

Выберем невещественное число так, чтобы все корни уравнения (7) имели различные вещественные части.

Кратность собственного значения определяется рангом матрицы определителя в точке .

Описание множества собственных значений одной блочной...

Теорема 2. Если один из операторов или имеет собственное значение тогда оператор имеет единственное простое собственное значение на.

О числе собственных значений одной операторной матрицы размера 2 × 2.

О спектре дополнения Шура одной операторной матрицы

Рассматривается операторная матрица в прямой сумме нолчастичного, одночастичного и двухчастичного подпространств фоковского пространства. Изучаются некоторые свойства, в основном связанные с числами собственных значений...

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

О числе собственных значений одной операторной матрицы...

Теорема 1. Число является бесконечно кратным собственным значением оператора . Доказательство. Рассмотрим уравнение относительно , которое эквивалентно системе уравнений.

Условия существования собственных значений одной...

Блочно-операторная матрица — это матрица, элементы которой являются линейными операторами в банаховом или гильбертовом пространствах [1]. Одним из специальных классов блочно-операторных матриц являются Гамильтонианы системы с несохраняющимся числом...

Некоторые свойства собственных чисел матрицы 2 × 2

Известно, что при изучении спектральных свойств блочно-операторных матриц важную роль играют свойства собственных значений числовых матриц .

Очевидно, что матрица имеет два собственных чисел с учетом кратности.

Спектр и резольвента одного частично интегрального оператора

Следующая теорема описывает множество собственных значений оператора и их кратность. Теорема 1.Число является бесконечнократным собственным значением оператора , а число является его простым собственным значением.

Построение резольвенты обобщенной модели Фридрихса

Там также установлено, что оператор имеет не более чем четыре (с учетом кратности) собственных значений вне существенного спектра.

, где матричные элементы определяются по правилам. . Здесь - фиксированное вещественное число, и вещественно-непрерывные...

О собственных значениях произведений операторов

О собственных значениях произведений операторов. Автор: Сафарова Нигора Насиллоева.

Пуст. характеристический многочлен матрицы , –его корни с учетом кратности. Они являются характеристическими числами матрицы .

Об индексе дефекта и спектре квазидифференциального...

Выберем невещественное число так, чтобы все корни уравнения (7) имели различные вещественные части.

Кратность собственного значения определяется рангом матрицы определителя в точке .

Описание множества собственных значений одной блочной...

Теорема 2. Если один из операторов или имеет собственное значение тогда оператор имеет единственное простое собственное значение на.

О числе собственных значений одной операторной матрицы размера 2 × 2.

О спектре дополнения Шура одной операторной матрицы

Рассматривается операторная матрица в прямой сумме нолчастичного, одночастичного и двухчастичного подпространств фоковского пространства. Изучаются некоторые свойства, в основном связанные с числами собственных значений...

О числе собственных значений одной операторной матрицы...

Теорема 1. Число является бесконечно кратным собственным значением оператора . Доказательство. Рассмотрим уравнение относительно , которое эквивалентно системе уравнений.

Условия существования собственных значений одной...

Блочно-операторная матрица — это матрица, элементы которой являются линейными операторами в банаховом или гильбертовом пространствах [1]. Одним из специальных классов блочно-операторных матриц являются Гамильтонианы системы с несохраняющимся числом...

Некоторые свойства собственных чисел матрицы 2 × 2

Известно, что при изучении спектральных свойств блочно-операторных матриц важную роль играют свойства собственных значений числовых матриц .

Очевидно, что матрица имеет два собственных чисел с учетом кратности.

Спектр и резольвента одного частично интегрального оператора

Следующая теорема описывает множество собственных значений оператора и их кратность. Теорема 1.Число является бесконечнократным собственным значением оператора , а число является его простым собственным значением.

Построение резольвенты обобщенной модели Фридрихса

Там также установлено, что оператор имеет не более чем четыре (с учетом кратности) собственных значений вне существенного спектра.

, где матричные элементы определяются по правилам. . Здесь - фиксированное вещественное число, и вещественно-непрерывные...

О собственных значениях произведений операторов

О собственных значениях произведений операторов. Автор: Сафарова Нигора Насиллоева.

Пуст. характеристический многочлен матрицы , –его корни с учетом кратности. Они являются характеристическими числами матрицы .

Об индексе дефекта и спектре квазидифференциального...

Выберем невещественное число так, чтобы все корни уравнения (7) имели различные вещественные части.

Кратность собственного значения определяется рангом матрицы определителя в точке .

Описание множества собственных значений одной блочной...

Теорема 2. Если один из операторов или имеет собственное значение тогда оператор имеет единственное простое собственное значение на.

О числе собственных значений одной операторной матрицы размера 2 × 2.

О спектре дополнения Шура одной операторной матрицы

Рассматривается операторная матрица в прямой сумме нолчастичного, одночастичного и двухчастичного подпространств фоковского пространства. Изучаются некоторые свойства, в основном связанные с числами собственных значений...

Задать вопрос