Библиографическое описание:

Шарипова Н. Х., Акрамова Х. Ж., Исомова З. Ф. Спектр и числовой образ одного интегрального оператора // Молодой ученый. — 2017. — №4. — С. 120-123. — URL https://moluch.ru/archive/138/38620/ (дата обращения: 23.05.2018).



Одним из классических методов изучения спектра линейного оператора в комплексном гильбертовом пространстве с областью определения является изучение его числовой области значений:

.

Это понятие впервые введено в работе [1] и доказано, что числовой образ матрицы содержит все ее собственные значения. Вслед за этим это понятие обобщено разными способами, см. например [2,3].

Рассмотрим интегральный оператор , действующий в гильбертовом пространстве квадратично-интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на по формуле

, .

Легко можно проверить, что оператор , действующий в гильбертовом пространстве , ограничен и самосопряжен.

Лемма. Число является бесконечно кратным собственным значением оператора .

Доказательство. Рассмотрим уравнение

.

Оно эквивалентно уравнению

. (1)

Положим

.

Здесь число выбирается из условия

.

Простые вычисления показывают, что

.

Таким образом, функция

удовлетворяет условию (1). Положим

.

Здесь число выбирается из условия

.

Простые вычисления показывают, что

.

Следовательно, функция

удовлетворяет условию (1). Далее, для любого натурального числа положим

,

где константа найдется из условия

.

Обсуждая аналогично, имеем

.

Полученная последовательность функций линейно независимо. Это означает, что число является бесконечно кратным собственным значением оператора . Лемма доказана.

Теперь изучаем дискретный спектр оператора . С этой целью рассмотрим уравнение для собственных значений, т. е.

.

Это уравнение записывается в следующем виде:

. (2)

Так как из равенства (2) для находим

, (3)

где

. (4)

Подставляя полученное выражение (3) в равенства (4) имеем, что число

является простым собственным значением оператора .

Отсюда следует, что

.

Верна следующая теорема.

Теорема. Для числового образа оператора имеет место равенство

.

Литература:

  1. O. Toeplitz. Das algebraische Analogon zu einem Satze von Fejer // Math. Z., — 1918, — V. 2, — no. 1–2, — P. 187–197.
  2. H. Langer, A. S. Markus, V. I. Matsaev, C. Tretter. A new concept for block operator matrices: the quadratic numerical range // Linear Algebra Appl., — 2001, — V. 330, — no. 1–3, P. 89–112.
  3. L. Rodman, I. M. Spitkovsky. Ratio numerical ranges of operators // Integr. Equ. Oper. Theory, — 2011, V. 71, — P. 245–257.
Основные термины (генерируются автоматически): гильбертовом пространстве, числовой образ, комплексном гильбертовом пространстве, гильбертовом пространстве квадратично-интегрируемых, числовой образ матрицы, числовой области значений, собственным значением оператора, спектра линейного оператора, numerical ranges, дискретный спектр оператора, интегрального оператора, Ratio numerical ranges, concept for block, Linear Algebra Appl, quadratic numerical range, Акрамова Х, собственных значений, разными способами, интегральный оператор, Молодой ученый.


Обсуждение

Социальные комментарии Cackle
Задать вопрос