Библиографическое описание:

Худаяров С. С., Умуров Х. Х. Некоторые свойства собственных чисел матрицы 2 × 2 // Молодой ученый. — 2016. — №10. — С. 18-20.



Матрицы составляют основной аналитический аппарат для изучения линейных операций в –мерном пространстве [1]. В свою очередь изучение этих операций дает возможность разбить все матрицы на классы и выявить важные свойства, присущие всем матрицам одного и того же класса.

Известно, что при изучении спектральных свойств блочно-операторных матриц важную роль играют свойства собственных значений числовых матриц . Например, при оценке нижней границы блочно-операторных матриц с помощью соответствующей квадратичной числовой образа [2]. С этой целью в настоящей работе изложим некоторые важные свойств таких матриц.

Для рассмотрим матрицу

. (1)

При исследовании структуры матрицы большую роль играют векторы , для которых . Такие векторы называются собственными векторами, а соответствующие им числа –собственными или характеристическими числами матрицы . Очевидно, что матрица имеет два собственных чисел с учетом кратности. Собственные векторы, соответствующие различным собственным числам, всегда линейно независимы.

Сформулируем основной результат настоящей работы.

Теорема 1.Для собственных чисел , матрицы имеют места следующие:

(а) Если и , то

(1.1);

(1.2);

(1.3)

(б) Пусть и . Тогда

(2.1)

(2.2) если , то , если при этом

, то ;

(2.3) если и , то

, .

(в) Если и , то

,

.

Доказательство. (а) Пусть и . Предположим, что (в противном случае рассмотрим ) и

(2)

(в противном случае вместо берем ). Из условие (2) вытекает, что

.(3)

Собственные значения удовлетворяет уравнению

.

Мы рассмотрим как функция от и напишем

. (4)

Разложим вещественные и мнимые части

; .

Возводя на квадрат обе части равенства (4) и приравняв вещественные и мнимые части получим, что и удовлетворяют соотношение

;(5)

.(6)

Последняя уравнение показывает, что собственные значения лежат в гиперболе с центром и асимптотой и параллельно к вещественным и мнимым осям. Из тождества (5) следует, что при собственные значения заполняет правый ветвь из до , а собственные значения заполняет левый ветвь из до . Отсюда следует утверждение (1.1) и (1.2). Чтобы доказать утверждение (1.3) достаточно показать, что производное гиперболы в точках и по модулю меньше чем . Например, для производное в точке из (6) следует, что

,

которое, в силу (3), по модулю меньше чем .

(б) Доказывается аналогично.

(в) Пусть и . Построим характеристическое уравнение для .

Ясно, что нули этой уравнение, т. е. числа

; ,

являются собственными значениями матрицы .

Используя соотношение перепишем виде . Теперь простые вычисления показывают, что

. Таким образом

.

Совершенно аналогично показывается, что

.

Теорема 1 доказана.

Литература:

  1. Ф. Р. Ганхмахер. Теория матриц. — 4-е изд. –М.: Наука, 1988.
  2. C. Tretter.Spectral theory of block operator matrices and applications. — London:Imperial College Press, 2008.
Основные термины (генерируются автоматически): собственных чисел, собственные значения, собственных чисел матрицы, свойства собственных, блочно-операторных матриц, блочно-операторных матриц важную, матрицы большую роль, значений числовых матриц, характеристическими числами матрицы, границы блочно-операторных матриц, 1.Для собственных чисел, основной аналитический аппарат, основной результат настоящей, соответствующей квадратичной числовой, Собственные векторы, изучения линейных операций, Последняя уравнение, характеристическое уравнение, различным собственным числам, правый ветвь.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle
Задать вопрос