Некоторые свойства собственных чисел матрицы 2 × 2 | Статья в журнале «Молодой ученый»

Авторы: ,

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №10 (114) май-2 2016 г.

Дата публикации: 20.05.2016

Статья просмотрена: 29 раз

Библиографическое описание:

Худаяров С. С., Умуров Х. Х. Некоторые свойства собственных чисел матрицы 2 × 2 // Молодой ученый. — 2016. — №10. — С. 18-20. — URL https://moluch.ru/archive/114/30159/ (дата обращения: 23.07.2018).



Матрицы составляют основной аналитический аппарат для изучения линейных операций в –мерном пространстве [1]. В свою очередь изучение этих операций дает возможность разбить все матрицы на классы и выявить важные свойства, присущие всем матрицам одного и того же класса.

Известно, что при изучении спектральных свойств блочно-операторных матриц важную роль играют свойства собственных значений числовых матриц . Например, при оценке нижней границы блочно-операторных матриц с помощью соответствующей квадратичной числовой образа [2]. С этой целью в настоящей работе изложим некоторые важные свойств таких матриц.

Для рассмотрим матрицу

. (1)

При исследовании структуры матрицы большую роль играют векторы , для которых . Такие векторы называются собственными векторами, а соответствующие им числа –собственными или характеристическими числами матрицы . Очевидно, что матрица имеет два собственных чисел с учетом кратности. Собственные векторы, соответствующие различным собственным числам, всегда линейно независимы.

Сформулируем основной результат настоящей работы.

Теорема 1.Для собственных чисел , матрицы имеют места следующие:

(а) Если и , то

(1.1);

(1.2);

(1.3)

(б) Пусть и . Тогда

(2.1)

(2.2) если , то , если при этом

, то ;

(2.3) если и , то

, .

(в) Если и , то

,

.

Доказательство. (а) Пусть и . Предположим, что (в противном случае рассмотрим ) и

(2)

(в противном случае вместо берем ). Из условие (2) вытекает, что

.(3)

Собственные значения удовлетворяет уравнению

.

Мы рассмотрим как функция от и напишем

. (4)

Разложим вещественные и мнимые части

; .

Возводя на квадрат обе части равенства (4) и приравняв вещественные и мнимые части получим, что и удовлетворяют соотношение

;(5)

.(6)

Последняя уравнение показывает, что собственные значения лежат в гиперболе с центром и асимптотой и параллельно к вещественным и мнимым осям. Из тождества (5) следует, что при собственные значения заполняет правый ветвь из до , а собственные значения заполняет левый ветвь из до . Отсюда следует утверждение (1.1) и (1.2). Чтобы доказать утверждение (1.3) достаточно показать, что производное гиперболы в точках и по модулю меньше чем . Например, для производное в точке из (6) следует, что

,

которое, в силу (3), по модулю меньше чем .

(б) Доказывается аналогично.

(в) Пусть и . Построим характеристическое уравнение для .

Ясно, что нули этой уравнение, т. е. числа

; ,

являются собственными значениями матрицы .

Используя соотношение перепишем виде . Теперь простые вычисления показывают, что

. Таким образом

.

Совершенно аналогично показывается, что

.

Теорема 1 доказана.

Литература:

  1. Ф. Р. Ганхмахер. Теория матриц. — 4-е изд. –М.: Наука, 1988.
  2. C. Tretter.Spectral theory of block operator matrices and applications. — London:Imperial College Press, 2008.
Основные термины (генерируются автоматически): матрица, число, противный случай.


Похожие статьи

О свойствах положительно определенных матриц

Пусть множество комплексных чисел, - декартовое произведение, а множество матриц размера с комплексными элементами. Если для матрицы имеет место неравенство при всех , то матрица называется положительно определенным.

Усовершенствование метода групповых резольвент для решения...

Строки матрицы соответствуют литералам и их отрицаниям . Таким образом, число строк составит 2n, где n — число

Если минимальное покрытие матрицы В содержит более n строк, то данная система дизъюнктов невыполнима; в противном случае — выполнима [2].

Оптимизация алгоритма выравнивания биологических...

— функция, возвращающая значение 1, если i и j элементы последовательностей равны, 0 в противном случае

3) число строк новой матрицы равно ; 4) число столбцов в матрицах совпадает.

Числовой образ матрицы размера 3х3 в частных случаях

В данной работе рассматривается симметричная матрица и исследован ее числовой образ в некоторых частных случаях.

Пусть — собственные числа матрицы . Обозначим через собственный вектор, соответствующий собственному числу матрицы а через собственный...

Условия существования собственных значений одной операторной...

. В настоящей работе рассмотрим случай, когда операторы в формуле (1), определяются равенствами

О числе собственных значений одной операторной матрицы размера 2 × 2.

Теория игр: основные понятия, типы игр, примеры

Игра называется конечной, если каждый игрок имеет конечное число возможных стратегий, и бесконечной — в противном случае.

А = . Матрица А с размерами m x n и будет называться матрицей игры, или платежной матрицей (откуда и пошло название игры — матричная).

Расчет дифференциальных уравнений химической кинетики...

В противном случае вычисляется приближенное решение, а прогнозируемый шаг вычисляется по формуле .

, . Оценку максимального собственного числа матрицы Якоби системы (1) можно вычислить степенным методом [3]. Введем обозначение.

Алгоритм статистических испытаний для определения параметров...

...узла (Руз) окажется меньше случайного числа, выданного датчиком, то анализатором будет принято решение о сохранении узла в сети, в противном случае узел будет поврежден

В нашем случае L=1; 2) В исходной матрице связности сети линия была задана как: $$2= -1

Числовой образ линейных операторов: основные свойства...

Поэтому достаточно показать, что ни одна точка единичной окружности не лежит в . Допустим противное, т. е. пусть некоторое комплексное число с модулью 1 лежат в . Тогда существует элемент такое, что и Так как

Числовой образ матрицы размера 3х3 в частных случаях.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

О свойствах положительно определенных матриц

Пусть множество комплексных чисел, - декартовое произведение, а множество матриц размера с комплексными элементами. Если для матрицы имеет место неравенство при всех , то матрица называется положительно определенным.

Усовершенствование метода групповых резольвент для решения...

Строки матрицы соответствуют литералам и их отрицаниям . Таким образом, число строк составит 2n, где n — число

Если минимальное покрытие матрицы В содержит более n строк, то данная система дизъюнктов невыполнима; в противном случае — выполнима [2].

Оптимизация алгоритма выравнивания биологических...

— функция, возвращающая значение 1, если i и j элементы последовательностей равны, 0 в противном случае

3) число строк новой матрицы равно ; 4) число столбцов в матрицах совпадает.

Числовой образ матрицы размера 3х3 в частных случаях

В данной работе рассматривается симметричная матрица и исследован ее числовой образ в некоторых частных случаях.

Пусть — собственные числа матрицы . Обозначим через собственный вектор, соответствующий собственному числу матрицы а через собственный...

Условия существования собственных значений одной операторной...

. В настоящей работе рассмотрим случай, когда операторы в формуле (1), определяются равенствами

О числе собственных значений одной операторной матрицы размера 2 × 2.

Теория игр: основные понятия, типы игр, примеры

Игра называется конечной, если каждый игрок имеет конечное число возможных стратегий, и бесконечной — в противном случае.

А = . Матрица А с размерами m x n и будет называться матрицей игры, или платежной матрицей (откуда и пошло название игры — матричная).

Расчет дифференциальных уравнений химической кинетики...

В противном случае вычисляется приближенное решение, а прогнозируемый шаг вычисляется по формуле .

, . Оценку максимального собственного числа матрицы Якоби системы (1) можно вычислить степенным методом [3]. Введем обозначение.

Алгоритм статистических испытаний для определения параметров...

...узла (Руз) окажется меньше случайного числа, выданного датчиком, то анализатором будет принято решение о сохранении узла в сети, в противном случае узел будет поврежден

В нашем случае L=1; 2) В исходной матрице связности сети линия была задана как: $$2= -1

Числовой образ линейных операторов: основные свойства...

Поэтому достаточно показать, что ни одна точка единичной окружности не лежит в . Допустим противное, т. е. пусть некоторое комплексное число с модулью 1 лежат в . Тогда существует элемент такое, что и Так как

Числовой образ матрицы размера 3х3 в частных случаях.

Задать вопрос