О дискретном спектре обобщенной модели Фридрихса с возмущением ранга не более чем 4 | Статья в журнале «Молодой ученый»

Автор:

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №11 (58) ноябрь 2013 г.

Дата публикации: 22.10.2013

Статья просмотрена: 26 раз

Библиографическое описание:

Расулова З. Д. О дискретном спектре обобщенной модели Фридрихса с возмущением ранга не более чем 4 // Молодой ученый. — 2013. — №11. — С. 15-17. — URL https://moluch.ru/archive/58/8120/ (дата обращения: 11.12.2018).

Как известно, что некоторые актуальные задачи, в частности, задачи квантовой механики, статистической механики и гидродинамики сводятся к исследованию спектральных свойств обобщенной модели Фридрихса [1,2]. Поэтому изучение дискретного спектра обобщенной модели Фридрихса играет важную роль в современной математической физике.

В настоящей работы рассматривается (ограниченный и самосопряженный) обобщенный модель Фридрихса  с возмущением ранга не более чем 4. Отметим, что оператор  ассоциирован с системой не более чем двух квантовых частиц на -мерной решетке. Найден явный вид существенного и дискретного спектра оператора .

Пусть - -мерный тор, т. е. куб  — с соответствующим отождествлением противоположных граней,  — одномерное комплексное пространство, а  — гильбертово пространство квадратично-интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на .

Обозначим через  прямую сумму пространств и , т. е. . Пространство  и  называется нолчастичном и одночастичном подпространством фоковского пространства  над , соответственно.

Рассмотрим обобщенную модель Фридрихса  действующую в гильбертовом пространстве  как  блочно операторная матрица

,

где операторы  определяются по правилам

            (1).

Здесь  - фиксированное вещественное число,  и  — вещественно-непрерывные функции на , а  сопряженный оператор к .

Легко можно проверить, что при этих предположениях оператор  ограничен и самосопряжён в гильбертовом пространстве . Надо отметить, что всякий линейный ограниченный оператор в  всегда записывается как  блочно операторная матрица.

Оператор  называется оператором уничтожения, а оператор  называется оператором рождения [4].

Обозначим через  и  соответственно существенный спектр и дискретный спектр ограниченного самосопряженного оператора.

Пусть оператор  действует в  как

,

где .

Оператор возмущения  оператора  является самосопряженным оператором ранга не более чем 4. Следовательно, из известной теоремы Г. Вейля [3] о сохранении существенного спектра при возмущениях конечного ранга вытекает, что существенный спектр оператора  совпадает с существенным спектром оператора . Известно, что , где числа  и  определяются следующим образом:

.

Из последних фактов следует, что

. (1)

Определим регулярную в  функции

.

Следующая теорема устанавливает связь между собственными значениями оператора  и нулями функции .

Теорема 1. Для дискретного спектра оператора  имеет место равенство

.

Доказательство. Чтобы доказать теоремы достаточно показать, что оператор  имеет собственное значение  тогда и только тогда, когда .

Действительно. Пусть число  — есть собственное значение оператора  и пусть  — соответствующая собственная вектор-функция. Тогда  и  удовлетворяют следующую систему уравнений

;

.             (2)

В силу равенства (1) для любых  и  имеет место соотношение . Из второго уравнения системы (2) для  имеем

,                                                                      (3)

где

.                                                                                          (4)

Подставляя выражение (3) для  в первое уравнение системы (2) и равенству (4) получим, что система уравнений (2) имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда система уравнений

;

;

;

имеет ненулевое решение, т. е. когда . Теорема 1 доказана.

Согласно теореме 1 функция  обладает характеристическим свойством определителя Фредгольма. По этой причине мы назовём её определителем Фредгольма, ассоциированный с оператором .

Рассмотрим некоторые частные случаи:

I. Из теоремы 1 видно, что если функции  удовлетворяет условие

                                                                                            (5)

при всех , то дискретный спектр оператора  совпадает с объединением дискретных спектров операторов

,

где

,

т. е.

.

Из определения операторов  видно, что они имеют более простую структуру чем , причем операторы  имеют по одному простых собственных значений, лежащих левее , а оператор  имеет две простых собственных значений, один из них лежать левее , а второе правее .

Положим

.

Отметим, что если мера Лебега множества  равно нулю при всех , , то выполняется условие (5).

II. Если , то обозначая

,

имеем, что  (т. е. число  является бесконечнократным собственным значением оператора ) и

.

Видно, что в этом случае  является полином четвертого порядка, и следовательно, оно имеет не более чем четыре (с учетом кратности) вещественных нулей отлично от . По теореме 1 это означает, что оператор  имеет не более чем четыре (с учетом кратности) собственных значений, лежащих вне существенного спектра.

Литература:

1.      Л. Д. Фаддеев. О модели Фридрихса в теории возмущений непрерывного спектра // Труды Математического Института АН СССР, 1964, Т. 73, С. 292–313.

2.      Р. А. Минлос, Я. Г. Синай. Исследование спектров стохастических операторов, возникающих в решетчатых моделях газа // Теоретическая и математическая физика, 1979, Т. 2, № 2, С. 230–243.

3.      М. Рид, Б. Саймон. Методы современной математической физики // Т. 4, Анализ операторов, М.: Мир, 1982.

4.      К. О. Фридрихс. Возмущения спектра операторов в гильбертовом пространстве. М.: Мир, 1972.

Основные термины (генерируются автоматически): оператор, система уравнений, существенный спектр, обобщенная модель, дискретный спектр оператора, ненулевое решение, операторная матрица, дискретный спектр, собственное значение оператора, гильбертово пространство.


Похожие статьи

Условия существования собственных значений одной...

собственное значение оператора, оператор, единственное собственное значение, блочно-операторная матрица, лемма, дискретный спектр, гильбертово пространство, вещественное число...

Нули определителя Фредгольма, соответствующие одной...

гильбертово пространство, оператор, собственное значение оператора, существенный спектр оператора, существенный спектр, операторная матрица, ограниченный самосопряженный оператор.

Описание множества собственных значений одной блочной...

оператор, гильбертово пространство, оператор уничтожения, существенный спектр, оператор рождения, блочно-операторная матрица, ограниченный самосопряженный оператор, обобщенная модель...

Построение резольвенты обобщенной модели Фридрихса

обобщенная модель, оператор, дискретный спектр, построение резольвенты, операция сложения, операторная матрица, блочно-операторная матрица, гильбертово пространство, вещественное число...

Спектр и резольвента одного частично интегрального оператора

гильбертово пространство, интегральный оператор, бесконечнократное собственное значение, собственное значение оператора, полученное выражение, оператор, теорема, уравнение, функция.

О дискретном спектре одного матричного оператора

Рассмотрим оператор , действующий в гильбертовом пространстве и задающийся как операторная матрица.

Основные термины (генерируются автоматически): оператор, собственное значение оператора, гильбертово пространство, единственное простое...

О спектре тензорной суммы моделей Фридрихса

оператор, гильбертово пространство, собственное значение оператора, тензорная сумма, учет кратности, существенный спектр, спектр оператора, число, линейный ограниченный самосопряженный оператор, дискретный...

О спектре дополнения Шура одной операторной матрицы

Обозначим через и , соответственно, спектр, существенный спектр, дискретный спектр и резольвентное множества ограниченного самосопряженного оператора. Далее, пространство представим в виде ортогональной суммы гильбертовых пространств и . Положим.

Об одном свойстве уравнения Фаддеева для модельного...

уравнение, собственная функция оператора, нетривиальное решение, оператор умножения, оператор, модельный дискретный оператор, одномерная решетка, операторное уравнение, собственное значение оператора...

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

Условия существования собственных значений одной...

собственное значение оператора, оператор, единственное собственное значение, блочно-операторная матрица, лемма, дискретный спектр, гильбертово пространство, вещественное число...

Нули определителя Фредгольма, соответствующие одной...

гильбертово пространство, оператор, собственное значение оператора, существенный спектр оператора, существенный спектр, операторная матрица, ограниченный самосопряженный оператор.

Описание множества собственных значений одной блочной...

оператор, гильбертово пространство, оператор уничтожения, существенный спектр, оператор рождения, блочно-операторная матрица, ограниченный самосопряженный оператор, обобщенная модель...

Построение резольвенты обобщенной модели Фридрихса

обобщенная модель, оператор, дискретный спектр, построение резольвенты, операция сложения, операторная матрица, блочно-операторная матрица, гильбертово пространство, вещественное число...

Спектр и резольвента одного частично интегрального оператора

гильбертово пространство, интегральный оператор, бесконечнократное собственное значение, собственное значение оператора, полученное выражение, оператор, теорема, уравнение, функция.

О дискретном спектре одного матричного оператора

Рассмотрим оператор , действующий в гильбертовом пространстве и задающийся как операторная матрица.

Основные термины (генерируются автоматически): оператор, собственное значение оператора, гильбертово пространство, единственное простое...

О спектре тензорной суммы моделей Фридрихса

оператор, гильбертово пространство, собственное значение оператора, тензорная сумма, учет кратности, существенный спектр, спектр оператора, число, линейный ограниченный самосопряженный оператор, дискретный...

О спектре дополнения Шура одной операторной матрицы

Обозначим через и , соответственно, спектр, существенный спектр, дискретный спектр и резольвентное множества ограниченного самосопряженного оператора. Далее, пространство представим в виде ортогональной суммы гильбертовых пространств и . Положим.

Об одном свойстве уравнения Фаддеева для модельного...

уравнение, собственная функция оператора, нетривиальное решение, оператор умножения, оператор, модельный дискретный оператор, одномерная решетка, операторное уравнение, собственное значение оператора...

Задать вопрос