Автор: Дилмуродов Элёр Бахтиёрович

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №10 (114) май-2 2016 г.

Дата публикации: 12.05.2016

Статья просмотрена: 21 раз

Библиографическое описание:

Дилмуродов Э. Б. Формула для числового образа трехдиагональной матрицы размера 3х3 // Молодой ученый. — 2016. — №10. — С. 3-5.



В данной работе рассматривается симметричная трехдиагональная матрица размера 3х3. Используя формулы Кардано для решения кубического уравнения, находим формулу для числового образа.

Пусть Н гильбертово пространство и линейный оператор с областью определения . Тогда множество называется числовым образом оператора [1–3].

Пусть множество комплексных чисел. В пространстве рассмотрим матрицу вида:

размера , где произвольные вещественные числа, а произвольные комплексные числа.

Положим:

;

;

.

Теорема 1. Если то , то

.

Доказательство. Найдем собственные числа матрицы . Для этого мы должны знать решение уравнения:

(1)

где . Приведем некоторые сведение о решение этих уравнений. Положим:

.

Возможны три случая:

  1. Если , то уравнение (1) имеет одно вещественное и два взаимно сопряженных комплексных решения.
  2. Если , то уравнение (1) имеет три вещественных решения и по крайней мере два из них равны:

при , числа ;

при , числа ;

при , числа является решениями уравнения (1). Здесь , т. е. из следует, что .

  1. Если ,то уравнение (1) имеет три разных решений следующего вида:

где

.

Используя свойства косинуса имеем . Заметим, что:

если , то уравнение (1) имеет два положительные и одно отрицательное решение;

если , то уравнение (1) имеет одно положительное и две отрицательные решения;

если , то все решения уравнении (1) являются вещественными тогда и только тогда когда .

Собственные числа матрицы являются нулями характеристического уравнения

(2)

Найдем решение уравнения (2).

Делая замену переменных уравнение (2) перепишем в виде:

.

После простых вычислений имеем:

(3)

Обозначая

;

получим, что уравнение (3) имеет вид .

Решение этого уравнения имеет вид:

.

Здесь .

В этом случае решение уравнения (2) имеет вид:

.

Причем для имеет место соотношение .

Следовательно, имеет место равенство , где

.

Теорема доказана.

Литература:

  1. Hausdorff F. Der Wertvorrat einer Bilinearform // Math. Z., 3:1 (1919), pp. 314–316.
  2. Heydari M. T. Numerical range and compact convex sets // Rend. Circ. Mat. Palermo, 60 (2011), pp. 139–143.
  3. Langer H., Markus A. S., Matsaev V. I., Tretter C. A new concept for block operator matrices: the quadratic numerical range // Linear Algebra Appl., 330:1–3 (2001), pp. 89–112.
Основные термины (генерируются автоматически): числового образа, числового образа трехдиагональной, произвольные вещественные числа, произвольные комплексные числа, решения кубического уравнения, собственные числа матрицы, трехдиагональная матрица размера, знать решение уравнения, множество комплексных чисел, числовым образом оператора, матрицы размера, concept for block, Linear Algebra Appl, решений следующего вида, quadratic numerical range, решениями уравнения, решения уравнении, комплексных решения, вещественных решения, гильбертово пространство.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle
Задать вопрос