Формула для числового образа трехдиагональной матрицы размера 3х3 | Статья в журнале «Молодой ученый»

Автор:

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №10 (114) май-2 2016 г.

Дата публикации: 12.05.2016

Статья просмотрена: 41 раз

Библиографическое описание:

Дилмуродов Э. Б. Формула для числового образа трехдиагональной матрицы размера 3х3 // Молодой ученый. — 2016. — №10. — С. 3-5. — URL https://moluch.ru/archive/114/29279/ (дата обращения: 19.08.2018).



В данной работе рассматривается симметричная трехдиагональная матрица размера 3х3. Используя формулы Кардано для решения кубического уравнения, находим формулу для числового образа.

Пусть Н гильбертово пространство и линейный оператор с областью определения . Тогда множество называется числовым образом оператора [1–3].

Пусть множество комплексных чисел. В пространстве рассмотрим матрицу вида:

размера , где произвольные вещественные числа, а произвольные комплексные числа.

Положим:

;

;

.

Теорема 1. Если то , то

.

Доказательство. Найдем собственные числа матрицы . Для этого мы должны знать решение уравнения:

(1)

где . Приведем некоторые сведение о решение этих уравнений. Положим:

.

Возможны три случая:

  1. Если , то уравнение (1) имеет одно вещественное и два взаимно сопряженных комплексных решения.
  2. Если , то уравнение (1) имеет три вещественных решения и по крайней мере два из них равны:

при , числа ;

при , числа ;

при , числа является решениями уравнения (1). Здесь , т. е. из следует, что .

  1. Если ,то уравнение (1) имеет три разных решений следующего вида:

где

.

Используя свойства косинуса имеем . Заметим, что:

если , то уравнение (1) имеет два положительные и одно отрицательное решение;

если , то уравнение (1) имеет одно положительное и две отрицательные решения;

если , то все решения уравнении (1) являются вещественными тогда и только тогда когда .

Собственные числа матрицы являются нулями характеристического уравнения

(2)

Найдем решение уравнения (2).

Делая замену переменных уравнение (2) перепишем в виде:

.

После простых вычислений имеем:

(3)

Обозначая

;

получим, что уравнение (3) имеет вид .

Решение этого уравнения имеет вид:

.

Здесь .

В этом случае решение уравнения (2) имеет вид:

.

Причем для имеет место соотношение .

Следовательно, имеет место равенство , где

.

Теорема доказана.

Литература:

  1. Hausdorff F. Der Wertvorrat einer Bilinearform // Math. Z., 3:1 (1919), pp. 314–316.
  2. Heydari M. T. Numerical range and compact convex sets // Rend. Circ. Mat. Palermo, 60 (2011), pp. 139–143.
  3. Langer H., Markus A. S., Matsaev V. I., Tretter C. A new concept for block operator matrices: the quadratic numerical range // Linear Algebra Appl., 330:1–3 (2001), pp. 89–112.
Основные термины (генерируются автоматически): решение уравнения, решение, уравнение, вид, собственное число матрицы, число.


Похожие статьи

Числовой образ матрицы размера 3х3 в частных случаях

. Характеристическое уравнение матрицы имеет следующий вид: (1). Известно, что нули характеристического уравнения матрицы являются ее собственными числами. Таким образом, решение уравнения (1) приводится к решению уравнения

Расчет дифференциальных уравнений химической кинетики...

Смысл – некоторое собственное число матрицы Якоби системы (1). Применяя (2), (3) для решения , получим, что функция устойчивости метода второго порядка имеет вид , , а

с более широкой областью устойчивости. Для этого применим (6) для решения тестового уравнения .

Качественное исследование двумерной системы

1. Устойчивость нулевого решения. Теорема 1. Пусть нечетные числа и , или , тогда нулевое решение системы (1) асимптотически устойчиво.

При этом значении уравнение (6) примет вид. (5).

Применяя к системе преобразование , получим: Матрица уравнения изоклины нуля...

Об асимптотическом поведении решений систем нелинейных...

причем медленное время, –фиксированное число малый параметр, функция неотрицательна и удовлетворяет условию.

в) , элементы матрицы , отлично от нуля. (5). Тогда уравнение (1) имеет формальные частные решение вида.

Функции Бесселя и их свойства | Статья в журнале...

Основные термины (генерируются автоматически): функция, решение уравнения, краевая задача, целая функция, целое число, вид, второе, любой, род.

Некоторые свойства собственных чисел матрицы 2 × 2.

Оптимальные способы решения квадратных уравнений

Числа а и b называются первым и вторым коэффициентами, а число с – свободным членом квадратного уравнения. В школьном курсе математики изучаются следующие способы решения квадратных уравнений

Периодические решения разностного уравнения третьего порядка

решение уравнения, коэффициент уравнения, общее решение уравнения, решение, вид, система, линейное разностное уравнение, вспомогательный угол, характеристический многочлен, предельный цикл.

О численных методах решения эволюционных уравнений на...

Решение этих уравнений будет устойчивым, если собственные значения матрицы Якоби.

Решение системы уравнений (1) представляется в виде отрезка тригонометрического ряда.

В (13) – и значение функций в ом узле в момент времени , число отрезков, на которые...

Об индексе дефекта и спектре квазидифференциального...

Раскрывая этот определитель, получим уравнение. . (3). Решая это уравнение, найдем собственные значения матрицы

Выберем невещественное число так, чтобы все корни уравнения (7) имели различные вещественные части.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

Числовой образ матрицы размера 3х3 в частных случаях

. Характеристическое уравнение матрицы имеет следующий вид: (1). Известно, что нули характеристического уравнения матрицы являются ее собственными числами. Таким образом, решение уравнения (1) приводится к решению уравнения

Расчет дифференциальных уравнений химической кинетики...

Смысл – некоторое собственное число матрицы Якоби системы (1). Применяя (2), (3) для решения , получим, что функция устойчивости метода второго порядка имеет вид , , а

с более широкой областью устойчивости. Для этого применим (6) для решения тестового уравнения .

Качественное исследование двумерной системы

1. Устойчивость нулевого решения. Теорема 1. Пусть нечетные числа и , или , тогда нулевое решение системы (1) асимптотически устойчиво.

При этом значении уравнение (6) примет вид. (5).

Применяя к системе преобразование , получим: Матрица уравнения изоклины нуля...

Об асимптотическом поведении решений систем нелинейных...

причем медленное время, –фиксированное число малый параметр, функция неотрицательна и удовлетворяет условию.

в) , элементы матрицы , отлично от нуля. (5). Тогда уравнение (1) имеет формальные частные решение вида.

Функции Бесселя и их свойства | Статья в журнале...

Основные термины (генерируются автоматически): функция, решение уравнения, краевая задача, целая функция, целое число, вид, второе, любой, род.

Некоторые свойства собственных чисел матрицы 2 × 2.

Оптимальные способы решения квадратных уравнений

Числа а и b называются первым и вторым коэффициентами, а число с – свободным членом квадратного уравнения. В школьном курсе математики изучаются следующие способы решения квадратных уравнений

Периодические решения разностного уравнения третьего порядка

решение уравнения, коэффициент уравнения, общее решение уравнения, решение, вид, система, линейное разностное уравнение, вспомогательный угол, характеристический многочлен, предельный цикл.

О численных методах решения эволюционных уравнений на...

Решение этих уравнений будет устойчивым, если собственные значения матрицы Якоби.

Решение системы уравнений (1) представляется в виде отрезка тригонометрического ряда.

В (13) – и значение функций в ом узле в момент времени , число отрезков, на которые...

Об индексе дефекта и спектре квазидифференциального...

Раскрывая этот определитель, получим уравнение. . (3). Решая это уравнение, найдем собственные значения матрицы

Выберем невещественное число так, чтобы все корни уравнения (7) имели различные вещественные части.

Задать вопрос