Интегродифференциальное уравнение Фредгольма



В работе рассматриваются следующие задачи:

где

1. Однозначная разрешимость

В этом пункте находятся достаточные условия однозначной разрешимости задачи .

В пространстве используется норма

.

Теорема 1. Пусть непрерывные функции,

удовлетворяют условию:

где

,

Если существует удовлетворяющая неравенству

, тогда задача имеет единственное решение в пространстве .

Доказательство.

Очевидно, что задача (1) — (4) эквивалентна интегрофункциональному уравнению:

Пусть

Очевидно, что . Теперь докажем, что оператор сжимающий. имеем:

Используя норму (5), имеем:

где Доказательство теоремы 1 следует из принципа сжимающих отображений.

2. Непрерывная зависимость решения от параметров

Следующая задача:

где

параметр.

Теорема 2. Пусть, непрерывные функции

удовлетворяют условию:

где

Если существует , удовлетворяющая неравенству

, тогда единственное решение задачи (1) — (4) непрерывно зависит от параметров.

Доказательство. При фиксированных параметрах однозначной разрешимости задача доказана в теореме 1.

Задача эквивалентна следующему интегральному уравнению:

Обозначим через

решение уравнение , соответствующее параметрам и . Имеем

Имеем:

Отсюда следует утверждение теоремы 2.