В работе рассматривается некоторый квадрат и куб в поле р-адических чисел.
Ключевые слова : поле рациональных чисел, р-адическая норма, поле р-адических чисел.
1. Введение. Внастоящее время различные структуры изучаются над полем p-адических чисел. Теория p -адических чисел является одним из самых популярных и бурно развивающихся направлений современной математики. На данный момент известны p -адическая математическая физика, p -адическая теория вероятностей, p -адические дифференциальные уравнения, p -адические динамические системы и др. p -адические числа впервые были введены в конце XIX века в работе немецкого математика К. Гензеля.
Поле р-адических чисел не является алгебраическим замкнутым. Поэтому в работе Владимиров В.С, Волович И. Б. и Зеленов Е. И. дано критерия разрешимости р -адического квадратного уравнения [1, c-28].
Напомним определение поля р -адических чисел.
Пусть — поле рациональных чисел и — фиксированное простое число. Каждое рациональное число представим в виде
,
где m , n , , и не делиться на . В поле рациональных чисел введем норму по правилам
и .
Норма называется - адической нормой . Пополнения поля по -адической норме образует поле -адической чисел, которое обозначим через . Известно, что любое -адическое число однозначно представляется в каноническом виде
,
где и — целые числа такие, что . -адические числа , для которых , называются целыми -адическими числами, и их множество обозначается . Целые числа , для которых , называются единицами в .
В работе [1] дано критерия разрешимости квадратных уравнений.
Теорема 1 [1]. Для того чтобы уравнение
имело решение , необходимо и достаточно выполнение условий:
1) — четное число,
2) является квадратичном вычетом по модулю , если , если .
Напомним, что число называется вычетом степени 3 по модулю , если уравнение имеет решение ; в противном случае называется невычетом степени 3 по модулю .
В работе [2] приведено критерия разрешимости уравнения в поле -адических чисел.
Теорема 2 [2]. Пусть -простое число, . Для того чтобы уравнение
,
, , ,
имело решение х , необходимо и достаточно выполнение условий:
3)(a) — кратное на 3,
4)а0 является кубическим вычетом по модулю р, если ; или если р = 3.
Замечание 1 [2]. Условие 2 теоремы 1 при p=2 всегда выполняется, следовательно, уравнение имеет решение в для любого а и (a) — кратного 3.
Основными результатами являются следующие утверждения.
Предложение 1. Выражение существует в поле 11 -адических чисел.
Доказательство . Первый шаг докажем, что . Для этого мы рассмотрим квадратный уравнение . Сначала разложим число 3 в . Тогда
.
Первое условия теоремы 1 выполняется. Вторая условия теоремы 1 также выполняется, так как сравнение
имеют решение и . Поэтому .
Второй шаг нам надо разрешимо ли
в поле 11-адических чисел. Сначала разложим число в :
,
где . Тогда
.
Первое условия теоремы 1 выполняется, а выполнение второй условий теоремы 1 проверяется разрешимости сравнение . Этот сравнение имеет решение и . Предложение доказано.
Предложение 2. Выражение существует в поле 5 -адических чисел.
Доказательство . Используя условия теоремы 2, доказывается аналогичным образом как предложение 1.
Литература:
- Vladimirov V. S., Volovic I. B., Zelenov E.I, p-adic Analysis and Mathematical Physics. // World Scientific. Singapore. — 1994. — P. 352.
- Масутова К. К., Классификация шестимерных филиформных p -адических алгебр Лейбница. УзМЖ, 2011, № 4, С 115–124.