В работе рассматриваются только конечные группы. Пусть — непустое множество простых чисел, — произвольное разбиение множества всех простых чисел, — произвольное разбиение множества . Изучаются -веерные формации конечных групп, построенные М. М. Сорокиной и А. А. Горепекиной в качестве обобщения -веерных формаций, с использованием методов -теории конечных групп А. Н. Скибы. В работе установлены свойства -веерных формаций, обладающих -значным -спутником, где — некоторая полная решетка формаций.

Ключевые слова: конечная группа, класс групп, формация, -веерная формация.

Рассматриваются только конечные группы. Пусть — непустое множество простых чисел. Понятие -веерной формации конечных групп было введено в рассмотрение В.А. Ведерниковым в 1999 году (см. напр., [1]). В 2021 году в работе [5] М. М. Сорокиной и А. А. Горепекиной были построены -веерные формации конечных групп ( -веерные формации, в терминологии [5]), с использованием методов -теории конечных групп А. Н. Скибы (см. напр., [8]), где — произвольное разбиение множества всех простых чисел, — произвольное разбиение множества . В данной работе рассматриваются свойства -веерных формаций.

В работе используются обозначения и определения, принятые в [3, 7]. Приведем лишь некоторые из них. В дальнейшем символ означает равенство по определению.

Классом групп называется совокупность групп, содержащая с каждой своей группой все группы, ей изоморфные [3, с. 161]. Через обозначается класс всех конечных групп; – множество всех простых чисел. Через обозначается класс групп, порожденный совокупностью групп , т.е. — пересечение всех классов групп, содержащих .

Операцией на классах групп называется всякое отображение множества всех классов групп в себя. Операции , , определяются соответственно следующим образом:

;

;

.

Пусть — произвольная операция на классах групп. Класс называется -замкнутым, если . Класс называется формацией, если
-замкнут и -замкнут. Формация называется наследственной, если –
-замкнутый класс групп.

Через обозначается множество всех простых делителей порядка группы ; для совокупности групп через обозначается .

Пусть — непустое подмножество множества . Группа называется -группой, если ; — наибольшая нормальная -подгруппа группы ; — произвольное разбиение множества , т.е. , для любого , и для любых , .

Пусть — группа, — непустое множество групп. Тогда , . Функции

, где ,

, где

для любого , называются соответственно -функцией и -функцией [5, с. 234]. Отметим, что через обозначается класс всех -групп, т.е. таких групп, порядки которых не делятся на простые числа из .

Формация

,

где — наибольшая нормальная подгруппа группы , принадлежащая классу , называется -веерной формацией с направлением и -спутником и обозначается ([5], c. 235). -Веерную формацию с направлением будем также называть -веерной формацией.

Непустая совокупность формаций называется полной решеткой формаций, если пересечение любой совокупности формаций из снова принадлежит и в имеется такая формация , что для всех формаций [4, с. 12].

Пусть — полная решетка формаций. Формация называется
-формацией, если . Для множества групп через обозначается пересечение всех -формаций, содержащих . Формация называется -формацией, порожденной множеством . В частности, – наследственная формация, порожденная множеством . Формация называется однопорожденной -формацией, если для некоторой группы ; при этом используется запись или [4, с. 13].

Пусть — -функция, — полная решетка формаций. Тогда — множество всех -веерных формаций, обладающих хотя бы одним -значным -спутником, т.е. таким -спутником, все непустые значения которого принадлежат . В дальнейшем, через обозначается пересечение всех формаций из множества , содержащих .

В дальнейшем используется следующий известный результат.

Лемма 1 ([6], лемма 8.8). Пусть – конечная группа. Тогда в формации содержится лишь конечное множество наследственных подформаций.

Теорема 1 . Пусть — -функция, — полная решетка формаций, удовлетворяющая условию ; — непустой класс групп, . Тогда формация обладает единственным минимальным -значным
-спутником таким, что

;

для любого ;

, если .

Доказательство. Согласно замечанию 3 [5], формация является
-веерной с направлением и -спутником , имеющим следующее строение: и для любого . Так как по условию , то является -значным -спутником формации . Следовательно, — -веерная формация с направлением и -значным -спутником, содержащая . Поэтому формация существует. Пусть — совокупность всех -значных -спутников формации и . Ввиду леммы 3 (3) [5], является -спутником формации . Так как — -значный -спутник формации для любого , то все непустые значения функции принадлежат . Следовательно, . Так как — наименьший элемент множества , то — единственный минимальный -значный -спутник формации .

Пусть — -функция, описанная в заключении теоремы. Покажем, что . Пусть . Установим, что . Предварительно проверим, что . Действительно, пусть . С учетом строения функции , имеем и для любого . Это означает, что и поэтому . Из строения функции следует, что является -значным -спутником формации . Таким образом, — -веерная формация с направлением и -значным -спутником, содержащая . Поскольку – наименьшая формация с перечисленными свойствами, то .

Проверим, что . Пусть . Тогда найдется такая группа , что . Из по определению -веерной формации имеем и, значит, . Пусть . Если , то . Если , то, с учетом определения функции , справедливо и поэтому . Следовательно, для всех . Далее, для любого справедливо , и из следует что . Таким образом, . Это, согласно определению -веерной формации, означает, что . Тем самым установлено равенство и поэтому . Поскольку — минимальный -значный -спутник формации и , то . Теорема доказана.

Следствие 1 . Пусть — минимальный -значный -спутник формации . Тогда в том и только том случае, когда .

Доказательство. Пусть и . Тогда и для любого справедливо . Следовательно, и поэтому .

Пусть . Проверим, что . Действительно, поскольку и , то по теореме 1

. Пусть . Тогда и по теореме 1

. Если , то по теореме 1 . Таким образом, . Следствие доказано.

Замечание 1 . Пусть —– полная решетка формаций и — -функция. Из доказательства теоремы 1 следует, что и пересечение любой совокупности формаций из также принадлежат . Поэтому является полной решеткой.

Теорема 2 . Пусть — совокупность всех наследственных формаций. Тогда в однопорожденной -веерной формации с направлением содержится конечное множество -веерных подформаций с направлением , обладающих -значным -спутником.

Доказательство. Пусть — однопорожденная -веерная формация с направлением . Тогда найдется такая группа , что . Пусть . Поскольку — наименьшая -веерная формация с направлением , содержащая группу , то имеет место включение .

Пусть — минимальный -значный -спутник формации . Согласно теореме 1, имеет следующее строение: , для любого и для любого . Тогда по лемме 1 каждое непустое значение функции содержит конечное множество -подформаций. Это означает, что существует конечное множество -значных -функций , удовлетворяющих условию (a).

Пусть — совокупность всех -веерных подформаций с направлением из , обладающих -значным -спутником, и — минимальный -значный -спутник формации . Так как , то и по следствию 1 получаем , . Ввиду утверждения (а), множество является конечным. Следовательно, в формации содержится конечное множество -веерных подформаций с направлением , имеющих -значный -спутник. Теорема доказана.

Литература:

1. Ведерников, В. А. -Веерные формации и классы Фиттинга конечных / В. А. Ведерников, М. М. Сорокина. — Текст : непосредственный // Математические заметки. — 2002. — Т. 71, № 1. — С. 43-60.
2. Максаков, С. П. Об алгебраичности решеток -веерных формаций конечных групп / С. П. Максаков, М. М. Сорокина. — Текст : непосредственный // Дискретная математика. — 2022. — Т. 34, № 1. — C. 23-35.
3. Монахов, В. С. Введение в теорию конечных групп и их классов / В. С. Монахов. — Минск : Вышэйшая школа, 2006. — 207 c. — Текст : непосредственный.
4. Скиба, А. Н. Алгебра формаций / А. Н. Скиба. — Минск : Беларуская навука, 1997. — 240 c. — Текст : непосредственный.
5. Сорокина, М. М. -Веерные формации конечных групп / М. М. Сорокина, А. А. Горепекина. — Текст : непосредственный // Чебышевский сборник. — 2021. — Т. 22, № 3. — С. 232-244.
6. Шеметков, Л. А. Формации алгебраических систем / Л. А. Шеметков, А. Н. Скиба. — Москва : Наука, 1989. — 252 с. — Текст : непосредственный.
7. Doerk, K. Finite Soluble Groups / K. Doerk, T. Нawkes. — Berlin — New York : Walter de Gruyter, 1992. — 891 p. — Текст : непосредственный.
8. Skiba, A. N. On -properties of finite groups III / A. N. Skiba. — Текст : непосредственный // Problems of Physics, Mathematics and Technics. — 2016. — № 1 (26). — P. 52-62.