Усков, В. И. Формула Маклорена характеристического многочлена для квадратной матрицы размерности 5 / В. И. Усков. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2023. — № 44 (491). — С. 5-8. — URL: https://moluch.ru/archive/491/107192/ (дата обращения: 23.03.2025).
В статье получена формула Маклорена характеристического многочлена для квадратной числовой матрицы размерности 5.
Ключевые слова:
формула Маклорена, квадратная матрица размерности 5.
Рассмотрим числовую матрицу
Ее характеристическим многочленом называется
Цель работы: получить формулу Маклорена разложения этого многочлена по степеням
.
Этот результат может применяться, например, при решении систем дифференциальных уравнений.
Введем функции, построенные с помощью определителя от скалярных функций
,
:
Обозначим
полиномиальный коэффициент. Для него справедливо следующее полиномиальное тождество, которое проверяется непосредственно.
Утверждение 1.
Далее, имеет место следующая формула производной.
Далее, пусть
Утверждение 2
.
(1)
Доказательство.
Докажем формулу (1) методом математической индукции по
m
.
При
она верна (см., напр., [1]).
Пусть она справедлива для
. Тогда для
имеем:
Раскроем скобки; в первой сумме вынесем слагаемое по набору
, во второй сумме — слагаемое по набору
и так далее, в последней сумме — слагаемое по набору
; сделаем замены: в первой сумме заменив
на
, во второй сумме
на
и так далее, в последней
на
; применим утверждение 1. Получим:
что и требовалось доказать.
Теперь пусть
— определитель матрицы, полученной из матрицы
A
последовательным исключением
строки и
столбца, затем
строки и
столбца и так далее до
строки и
столбца включительно.
Справедлива следующая формула Маклорена.
Утверждение 2.
Доказательство.
Формула Маклорена для
— это (см. [2])
(2)
Заметим, что
. Далее, в силу утверждения 1 при
,
(3)
где
Нетрудно видеть, что
,
,
при
. Следовательно, определители по всем наборам, содержащим компоненту больше или равную 2, равны 0, так как содержат целиком нулевую строку. Значит, в сумме останутся слагаемые по наборам, содержащим только единицы.
Рассмотрим сумму (3) при
. Имеем:
Раскрыв -й определитель по
-й строке и
-му столбцу, получим
При
в определителях будут две строки, содержащие (-1) и четыре 0. Раскрыв каждый определитель по этим строкам и столбцам, приходим к
Аналогично получим выражения при
и
.
При
При
каждый набор
содержит как минимум 2, поэтому определитель по ним равен 0.
Подставив полученные выражения в (2), получим искомое утверждение.
2. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа в 3-х томах. Том 1: учебник для бакалавров. — 6-е изд., перераб. и доп. — М.: Изд-во Юрайт, 2023. — 703 с.
В данной статье ставится и решается задача о нахождении корней многочлена над булевым кольцом. Представлен алгоритм решения уравнений и систем уравнений от одной переменной над алгеброй множеств. А также рассмотрено применение изложенного материала п...
В одномерной ограниченной области исследована вторая начально-краевая задача для однородного псевдопараболического уравнения с дробной по времени производной Капуто. Установлены условия однозначной разрешимости рассматриваемой задачи в классе непреры...
В работе исследована обратная задача определения правой части для дифференциального уравнения с частными производными четвертого порядка с переопределениям во внутренних точках. Сначала с помощью функции Грина исходная прямая задача сводится к эквива...
Рассматривается начальная задача для неоднородного линейного рекуррентного соотношения первого порядка с операторными коэффициентами A,B, задаваемыми квадратными числовыми матрицами. Оператор A необратим, вследствие чего задача имеет решение не при к...
Многие явления механики, физики, биологии сводятся к исследованию гиперболических уравнений. Чтобы эти явления описать полностью для гиперболических уравнений, ставится задача Дарбу и для дальнейших изучений необходимо явное представление рассматрива...
В работе построено асимптотическое разложение решения задачи Коши для бисингулярной параболического уравнения, в случае, когда решение соответствующего «вырожденного» уравнения имеет полюс второго порядка по времени в начальной точке. Асимптотика реш...
Рассматриваются задачи о сложении классов вычетов по растущему модулю. В частности, получены условия, при которых плотность классов вычетов, представимых в виде суммы двух классов из заданных множеств, положительна, то есть число представимых классов...
Дано полное описание когомологий первой степени простой алгебраической группы типа над алгебраически замкнутым полем характеристики с коэффициентами в простых модулях.
В данной статье ставится и решается задача о нахождении корней многочлена над булевым кольцом. Представлен алгоритм решения уравнений и систем уравнений от одной переменной над алгеброй множеств. А также рассмотрено применение изложенного материала п...
В одномерной ограниченной области исследована вторая начально-краевая задача для однородного псевдопараболического уравнения с дробной по времени производной Капуто. Установлены условия однозначной разрешимости рассматриваемой задачи в классе непреры...
В работе исследована обратная задача определения правой части для дифференциального уравнения с частными производными четвертого порядка с переопределениям во внутренних точках. Сначала с помощью функции Грина исходная прямая задача сводится к эквива...
Рассматривается начальная задача для неоднородного линейного рекуррентного соотношения первого порядка с операторными коэффициентами A,B, задаваемыми квадратными числовыми матрицами. Оператор A необратим, вследствие чего задача имеет решение не при к...
Многие явления механики, физики, биологии сводятся к исследованию гиперболических уравнений. Чтобы эти явления описать полностью для гиперболических уравнений, ставится задача Дарбу и для дальнейших изучений необходимо явное представление рассматрива...
В работе построено асимптотическое разложение решения задачи Коши для бисингулярной параболического уравнения, в случае, когда решение соответствующего «вырожденного» уравнения имеет полюс второго порядка по времени в начальной точке. Асимптотика реш...
Рассматриваются задачи о сложении классов вычетов по растущему модулю. В частности, получены условия, при которых плотность классов вычетов, представимых в виде суммы двух классов из заданных множеств, положительна, то есть число представимых классов...
Дано полное описание когомологий первой степени простой алгебраической группы типа над алгебраически замкнутым полем характеристики с коэффициентами в простых модулях.
содержит как минимум 2, поэтому определитель по ним равен 0.
