Метод матрицы переноса в полупроводниках | Статья в журнале «Молодой ученый»

Отправьте статью сегодня! Журнал выйдет 27 июля, печатный экземпляр отправим 31 июля.

Опубликовать статью в журнале

Библиографическое описание:

Ахмедов, Б. Б. Метод матрицы переноса в полупроводниках / Б. Б. Ахмедов, И. А. Муминов, А. И. Зокиров, В. У. Рузибоев. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2021. — № 49 (391). — С. 1-5. — URL: https://moluch.ru/archive/391/86426/ (дата обращения: 16.07.2024).



В этой статье мы рассмотрим способ вычисления волновых функций в слоистых наноструктурах со ступенчатым потенциалом, называемый методом матриц переноса.

Ключевые слова: волновая функция, обратная матрица, ступенчатый потенциал, матрица переноса.

Основу этого метода составляет матричное описание условий сшивания волновых функций и их первых производных на границах слоев. Условия сшивания представляют собой линейные соотношения между парами коэффициентов А и B в волновых функциях вида или , относящихся к соседним слоям, так что их можно рассматривать как результат линейного преобразования двухкомпонентного вектор-столбца (A, B) некоторой матрицей формата 2×2. При этом связь между вектор столбцами двух крайних слоев в многослойной наноструктуре будет описываться произведением t-матриц (матриц переноса), отвечающих заданной последовательности промежуточных слоев. Метод матриц переноса особенно удобен в компьютерных программах, так как современные математические пакеты содержат встроенные подпрограммы для операций с матрицами и комплексными величинами, позволяя нам избежать громоздкого перемножения матриц вручную.

Условимся выбирать координатную ось z в направлении, перпендикулярном плоскости слоев, и будем нумеровать слои слева направо, как показано на рис. 1.

В рис.1 а — соответствие между картиной ступенчатого потенциала U(z), номерами слоев и граничными значениями zn в гетероструктуре с числом слоев N; б — стрелками изображены потоки падающих, прошедших и отразившихся частиц с энергией E в области континуума. Падающий поток задается произвольным коэффициентом А1. Отраженный и прошедший потоки можно найти, вычислив, соответственно, коэффициенты Bi и AN при условии BN = 0. в — в области размерно-квантованных состояний волновая функция имеет «хвосты» (схематично изображены пунктирными кривыми), убывающие в глубь крайних слоев, что соответствует условиям А1 = 0, BN = 0.

К постановке задач в методе матриц переноса

Рис. 1. К постановке задач в методе матриц переноса

В каждом слое решение уравнения Шредингера представляется в форме , где двумерный волновой вектор K, параллельный плоскости слоев, не зависит от номера слоя n, а функция от слоя к слою изменяется и в общем случае имеет вид суммы двух экспонент:

(1)

В этом выражении kn есть z-компонента волнового вектора электрона:

(2)

где mn и Wn — значения эффективной массы электрона и потенциала U(z) в слое с номером n. Мы будем считать, как и выше, что при извлечении квадратного корня (2) из положительной величины берется положительное значение корня, а в случае отрицательной величины под корнем волновой вектор kn становится мнимым с положительной мнимой частью: При таком выборе знака корня экспонента с коэффициентом An в случае мнимого волнового вектора kn становится убывающей функцией аргумента z, а экспонента с коэффициентом Bn — возрастающей функцией.

Пусть волновая функция удовлетворяет граничным условиям типа в каждой точке z = zn:

Отсюда следуют равенства

(3)

связывающие друг с другом пары коэффициентов A n , Bn и A n +1 , Bn+1.

Существуют различные формулировки метода матриц переноса, поскольку можно рассматривать связь не только между указанными парами коэффициентов, но и между линейными комбинациями этих величин. Ниже речь идет о варианте, в котором вектор-столбец

в любом слое n строится из функций

(4)

Мы будем прослеживать перенос граничных условий справа налево, выражая с помощью t -матриц вектор-столбцы vn(z) с меньшими номерами n через величины с большими номерами.

При вещественном kn функции (4) интерпретируются как комплексные амплитуды z-составляющих потока вероятности: есть поток вдоль оси z в n-ом слое, — поток в противоположном направлении в том же слое. Часто интерес представляет вероятность D прохождения электрона сквозь всю систему слоев или вероятность R отражения от нее. Постановка такой задачи проиллюстрирована рисунком 1 б. Вероятности D и R определяются как отношения потоков вероятности

(5)

Они должны удовлетворять тождеству D + R = 1, поэтому достаточно вычислить только первую из величин (5). Предположим, что найдена матрица переноса для всей системы N слоев, то есть нам известны коэффициенты Tik в уравнениях вида

(6)

Поскольку в крайнем правом слое поток частиц в направлении, противоположном оси z, в рассматриваемой постановке задачи отсутствует, необходимо положить . При этом из уравнений (5)–(6) следуют соотношения, связывающие искомые вероятности D и R непосредственно с элементами матрицы :

Для состояний с дискретным спектром энергии E (при фиксированном K) вероятности D и R теряют смысл; новая постановка задачи показана на рис. 1 в. В этих состояниях и , поэтому первое из уравнений (6) сводится к условию , где . Следовательно, дисперсионное уравнение для размерно-квантованных уровней энергии En(K) может быть записано в виде

(7)

Формулы (6)–(7) показывают, что знание матрицы

дает нам много полезной информации об электронных состояниях в слоистой наноструктуре.

Перейдем к вычислению T-матрицы. Сначала найдем матрицу , связывающую соседние вектор-столбцы vn и vn+1 в точке z=zn:

(8)

Заметим, что с учетом определений (4) уравнения (3) можно переписать в виде:

,(9)

где введено обозначение

(10)

Коэффициенты в уравнениях (9) и являются элементами матрицы

(11)

Отметим, что определитель матрицы (11) равен единице, а обратная матрица может быть получена заменой в (11) величин на , так что:

Кроме того, нам потребуется матрица , связывающая вектор-столбцы на границах одного и того же слоя:

(12)

Из выражений (4) видно, что

Следовательно,

(13)

где есть толщина n-го слоя. Определитель матрицы (13) также равен единице. Обратная матрица может быть получена заменой dn на — dn. Теперь, последовательно выражая вектор-столбцы v n (z) с меньшими номерами через вектор-столбцы с большими номерами в соответствующих граничных точках zn, мы придем к соотношению

(14)

эквивалентному уравнениям (6). Таким образом, искомая T-матрица равна произведению t-матриц типа (11) и (13):

(15)

Определитель T-матрицы равен единице, поскольку равны единице определители каждого матричного сомножителя в (15); такие матрицы называются унимодулярными.

Литература:

  1. Material’s electronic structure / B. B. Akhmedov, J. Y. Rozikov, I. A. Muminov. — Текст: непосредственный // Zbiór artykułów naukowych recenzowanych. — Barcelona: Diamond trading tour, 2019. — С. 78–80.
  2. Dimensionally quantized semiconductor structures / B. B. Akhmedov, J. Y. Rozikov, I. A. Muminov, V. U. Ruziboev. — Текст: непосредственный // Scientific Bulletin of Namangan State University. — 2019. — № 6. — С. 58–63.
  3. Метод kp-возмущений с учетом вырождения / Б. Б. Ахмедов, Ж. Ю. Розиков, А. И. Зокиров, В. У. Рузибоев. — Текст: непосредственный // Наука и современное общество: актуальные вопросы, достижения и инновации. — Пермь: НАУКА и просвещение, 2020. — С. 21–25.
  4. Уравнение Шредингера для волновых функций блоха / Б. Б. Ахмедов, Ж. Ю. Розиков, А. И. Зокиров, В. У. Рузибоев. — Текст: непосредственный // Научный форум: технические и физико-математические науки. — Пермь: НАУКА и просвещение, 2020. — С. 20–25.
  5. About wavefunctions in low-dimensional semiconductors / B. B. Akhmedov, J. Y. Rozikov, I. A. Muminov, V. U. Ruziboev. — Текст: непосредственный // Central Asian Problems of Modern Science and Education. — 2018. — № 4. — С. 51–57.
Основные термины (генерируются автоматически): слой, волновая функция, матрица переноса, метод матриц переноса, обратная матрица, ступенчатый потенциал, величина, определитель матрицы, плоскость слоев, элемент матрицы.


Ключевые слова

волновая функция, обратная матрица, ступенчатый потенциал, матрица переноса

Похожие статьи

Способы нахождения обратной матрицы

Обратная матрица — это такая матрица , при умножении на которую исходная матрица даёт в результате единичную матрицу

В представленных выше алгоритмах идентификации поиск обратной матрицы осуществляется у заведомо квадратной матрицы ( ).

Сравнение и разработка методов многокритериального анализа...

__count__ — Метод подсчета суммы произведений матрицы на веса.

функциональная пригодность — степень, в которой продукт или система обеспечивают выполнение функции в соответствии с заявленными потребностями при использовании в указанных условиях.

Основные принципы создания 3D-моделей. Понятия и методы...

Понятия и методы оптимизации в трёхмерной графике.

Видеокарта, функция которой состоит в прорисовке объектов, умеет работать только с полигональными

Каждая из этих маленьких плоскостей на основании собственной нормали отражает свет в единственном направлении.

Математические методы системного анализа | Статья в журнале...

Матрица — некий классификатор, который дает четкое понимание системного анализа.

Метод системных матриц хорошо работает в ситуациях, когда надо решать конкретную проблему, связанную с организацией, поэтому более надежным и верным надо признать подход...

Евклидова плоскость в четырехмерном пространстве

Обратно, если поверхности и изометричны, то они могут быть параметризованы, так что их первые квадратичные формы будут одинаковы.

Линейный элемент поверхности есть. Таким образом поверхность в самом деле изометрична плоскости с прямоугольными координатами .

Теория игр: основные понятия, типы игр, примеры

Матрица А с размерами m x n и будет называться матрицей игры, или платежной матрицей (откуда и пошло название игры — матричная). Следует заметить, что в матричных играх интересы игроков прямо противоположны, что является признаком антагонистических игр.

Волновые функции электрона в квантовых точках...

Значительный интерес представляют многослойные структуры, включающие органические матрицы и внедренные в них

В данной работе рассматриваются особенности волновых функций электронов в квантовых точках «ядро/оболочка» типа I (рисунок 1).

Похожие статьи

Способы нахождения обратной матрицы

Обратная матрица — это такая матрица , при умножении на которую исходная матрица даёт в результате единичную матрицу

В представленных выше алгоритмах идентификации поиск обратной матрицы осуществляется у заведомо квадратной матрицы ( ).

Сравнение и разработка методов многокритериального анализа...

__count__ — Метод подсчета суммы произведений матрицы на веса.

функциональная пригодность — степень, в которой продукт или система обеспечивают выполнение функции в соответствии с заявленными потребностями при использовании в указанных условиях.

Основные принципы создания 3D-моделей. Понятия и методы...

Понятия и методы оптимизации в трёхмерной графике.

Видеокарта, функция которой состоит в прорисовке объектов, умеет работать только с полигональными

Каждая из этих маленьких плоскостей на основании собственной нормали отражает свет в единственном направлении.

Математические методы системного анализа | Статья в журнале...

Матрица — некий классификатор, который дает четкое понимание системного анализа.

Метод системных матриц хорошо работает в ситуациях, когда надо решать конкретную проблему, связанную с организацией, поэтому более надежным и верным надо признать подход...

Евклидова плоскость в четырехмерном пространстве

Обратно, если поверхности и изометричны, то они могут быть параметризованы, так что их первые квадратичные формы будут одинаковы.

Линейный элемент поверхности есть. Таким образом поверхность в самом деле изометрична плоскости с прямоугольными координатами .

Теория игр: основные понятия, типы игр, примеры

Матрица А с размерами m x n и будет называться матрицей игры, или платежной матрицей (откуда и пошло название игры — матричная). Следует заметить, что в матричных играх интересы игроков прямо противоположны, что является признаком антагонистических игр.

Волновые функции электрона в квантовых точках...

Значительный интерес представляют многослойные структуры, включающие органические матрицы и внедренные в них

В данной работе рассматриваются особенности волновых функций электронов в квантовых точках «ядро/оболочка» типа I (рисунок 1).

Задать вопрос