Отправьте статью сегодня! Журнал выйдет 12 июля, печатный экземпляр отправим 16 июля
Опубликовать статью

Молодой учёный

Изучение экспоненциальных зависимостей физических процессов на уроках математики

Педагогика
09.12.2021
1683
Поделиться
Библиографическое описание
Имашева, Ш. К. Изучение экспоненциальных зависимостей физических процессов на уроках математики / Ш. К. Имашева. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2021. — № 50 (392). — С. 526-528. — URL: https://moluch.ru/archive/392/86273/.


В статье рассматриваются примеры из физики из различных разделов физики. Объединяющим фактором этих примеров является экспоненциальный характер математического описания физических процессов.

Ключевые слова: экспоненциальная зависимость, экспонента, число Е, скорость изменения физической величины, дифференциальное уравнение.

Одним из задач исследования прикладной математики является изучение физических процессов, в которых скорость изменения некоторой величины пропорциональна уже достигнутому значению самой этой величины .

Обозначим через y(t) значение рассматриваемой физической величины в момент времени t . Через y мы обозначим изменение величины у за малый промежуток t от t до t+t то есть

y = y(t+t)-y(t)

Скорость изменения величины у можно приближенно представить отношением . Если для величины y скорость ее изменения в момент времени t пропорциональна достигнутому значению y(t) этой величины, то мы приходим к соотношению

 ky,

где k коэффициент пропорциональности. Этот коэффициент может быть как положительным числом, так и отрицательным.

При t это соотношение можно писать в таком виде:

= ky

Последнее уравнение называется дифференциальным уравнением первого порядка. С ним школьники старших классов знакомы с математики. Решение этого дифференциального уравнения имеет вид

y(t) = y(0) , (1)

где у(0) называется начальным условием, т. е. значение величины у в момент времени t=0 , е — основание натуральных логарифмов.

Функции в зависимости от некоторых величин, содержащие число «е», называют экспонентами. Формулу (1) в большинстве случаев пишут так:

y(t) = y(0) exp kt.

Экспоненциальные зависимости в физических явлениях

Пример 1 . Катер массы m движется по озеру со скоростью 0 . В момент t=0 выключили его двигатель. Считая силу сопротивления воды движению катера пропорциональной его скорости F = -r, найти скорость катера в зависимости от времени.

Анализ: После выключения двигателя катер движется только под действием силы сопротивления воды. Поэтому уравнение движения катера в скалярном виде:

r = ma -r = m или = -( )

Последнее выражение называется дифференциальным уравнением первого порядка.

Значит убывание скорости катера прямо пропорционально самой скорости катера.

Дифференциальное уравнение напишем в такой форме:

=-( )dt

Интегрируя это выражение

=

получим ln =-( ) t

откуда

= 0

Пример 2. Найти давление воздуха в откачиваемом сосуде как функцию времени откачки t . Объем сосуда V , первоначальное давление p 0 . Процесс считать изотермическим и скорость откачки, не зависящей от давления и равной С .

Примечание: Скоростью откачки называют объем газа, откачиваемый за единицу времени, причем этот объем измеряется при давлении газа в данный момент.

Анализ: За время dt объем откачки газа равен dV=Cdt

Поскольку, процесс изотермически, напишем:

pV=const

Или

d(PV) = VdP + PdV = 0

откуда

Следовательно,

или

Проинтегрировав

-

найдем уравнение давления газа в зависимости от времени:

p=p 0

Пример 3 . Найти закон радиоактивного распада как функцию времени t. В начальный момент (t=0) мы имели N 0 атомов радиоактивных атомов. Из эксперимента известно, что среднее число атомов, распадающихся за малый промежуток времени, пропорционально количеству имеющихся атомов.

Анализ: Из условия задачи мы можем написать следующие уравнения:

Знак минус перед скоростью распада означает, что идет убыль численности не распавшихся атомов.

Поскольку t0, последнее выражение напишем в форме дифференциального уравнения:

Отсюда найдем закон радиоактивного распада:

N=N 0

Если принимается во внимание понятие периода полураспада Т, то этот закон примет вид

N=N 0

Пример 4. Известно, что при наличии разности температур между телом и окружающей средой теплоотдача тела за время t определяется формулой

Q k(T — T c )t

Q — количество отдаваемой теплоты тела к окружающей среде за время t; Т — температура тела, T c — температура окружающей среды, коэффициент k зависит от поверхности и природы тела.

Пусть тело нагрето до температуры Т 0 ; температуру окружающей среды считаем постоянной (Т с Т 0 ). Найти зависимость температуры Т тела от времени охлаждения t.

Анализ: При охлаждении тела количество отдаваемой теплоты выражается через Q=СT. Тогда мы можем написать следующее уравнение:

СT= — k(T — T c )t

или

- .

Следовательно,

-

Знак минус выбран потому, что возрастанием времени t температура Т тела уменьшается.

Разделяя переменные, получим

= —

Отсюда

= — t +

Подставляя начальное условие T t =0 =T 0 , найдем С. C = T 0 -T C .

Окончательно закон охлаждения тела в условиях постоянства температуры окружающей среды имеет вид

T=T c + (T 0 -T C )

В условиях T C =0 получим

T=T 0

Пример 5. Установить формулу, характеризующую динамику цепной ядерной реакции в зависимости от времени, если известно следующие параметры данной реакции: скорость развития цепной реакции зависит от коэффициента k размножения нейтронов и от среднего времени  между двумя последовательными актами деления. Таким образом, коэффициент пропорциональности, характеризующий скорость прироста нейтронов приблизительно равен .

Анализ: Прирост числа нейтронов за единицу времени характеризует следующее дифференциальное уравнение:

Интегрируя это уравнение, получим

N=N 0

Пример 6. Доказано, что параллельный пучок лучей (или частиц), проходя через слой вещества, уменьшает свою интенсивность.

Если толщина слоя достаточно мала, то изменение интенсивности пучка пропорционально толщине слоя:

Ik 1 l

А количество поглощенных квантов (или рассеянных частиц) пропорционально интенсивности пучка:

I = — k 2 I

Коэффициенты k 1 и k 2 зависят от свойств поглощающей среды. Найти закон ослабления интенсивности излучения при прохождении через поглощающую среду.

Анализ: Объединяя обе формулы, приведенные в условии задачи, получим:

I — kIl

Отсюда:

I=I 0 .

Литература:

  1. Осятинский С. Д., Л. З. Румшиский. Экспонента // Квант. — 1972. — № 12. с.19–25.
  2. Слободецкий И. Ш., Асламазов Л. Г. Задачи но физике.- М.: Наука, 1980.—(Библиотечка «Квант», вып. 5). — 198 с.
Можно быстро и просто опубликовать свою научную статью в журнале «Молодой Ученый». Сразу предоставляем препринт и справку о публикации.
Опубликовать статью
Ключевые слова
экспоненциальная зависимость
экспонента
число Е
скорость изменения физической величины
дифференциальное уравнение
Молодой учёный №50 (392) декабрь 2021 г.
Скачать часть журнала с этой статьей(стр. 526-528):
Часть 8 (стр. 497-567)
Расположение в файле:
стр. 497стр. 526-528стр. 567

Молодой учёный