Об одном примере упражнения на опровержение ложных математических рассуждений

В статье приводится пример упражнения на опровержение ложного доказательства, который был придуман одним из учащихся 5¹ класса МБОУ СОШ № 42 Гаджиевым Мухаммадом.

Ключевые слова: упражнение на опровержение ложного доказательства, математический софизм, логическая ошибка, цифра, последовательность, последовательность натуральных чисел, натуральный ряд, ряд, определение.

Введение

История применения в обучении математике упражнений на опровержение ложных доказательств начинается с автора «Начал» Евклида из Александрии. Именно он, по свидетельствам Прокла (410–485), составил сборник геометрических софизмов, носивший название «Псевдария». «Псевдария» считается безвозвратно утерянной. Но, основываясь на свидетельствах Прокла, можно утверждать, что сборник этот предназначался для начинающих изучать геометрию и был нацелен на решение задачи сформирования у них умения обнаруживать ложные заключения.

В свое время вопросами, связанными с упражнениями на логические ошибки, на опровержение ложных доказательств, занимались: русский педагог-математик В. И. Обреимов (1843–1910), Д. Н. Горячев, А. М. Воронец, А. А. Лямин, М. С. Лянченков, немецкий ученый Г. Шуберт (1848–1911), французский педагог и историк математики Е. Фурре, датский педагог-математик Вигго Трир (1862–1916), немецкий математик-педагог В. Литцман (1880 -1959), В. М. Брадис (1880–1975), А. К. Харчева, В. Л. Минковский, А. И. Уемов (1928–2012) и многие другие.

В своей работе [4] В. Литцман пишет «…учащиеся зачастую научатся большему на примере разъясненной ошибки, чем даже при правильном выполнении по готовым образцам задач и упражнений». Далее он замечает «…для целей преподавания и воспитания весьма полезно даже простое собрание примеров, содержащих ошибки»

Польза от использования упражнений на опровержение ложных доказательств в процессе обучения в [3] аргументируется так «заставляют особо внимательно, с большой настороженностью прочитывать их тексты, тщательно следить за наличием должной точности в формулировках и записях, за соблюдением всех условий применимости теорем, за отсутствием незаконных обобщений, запрещенных действий, ссылок на кажущиеся свойства фигур и вспомогательных построений. Все эти моменты ценны в методическом отношении, т. к. они направлены на содержательное усвоение предмета». Заметим, что в [3] изложен опыт классификации упражнений на опровержение ложных математических рассуждений, рассчитанный на практикующего математика-педагога.

В результате анализа методической литературы мы пришли к выводу, что упражнения указанного типа следует предлагать учащимся на заключительном этапе упражнений по разделу или при повторении для выявления уровня сознательного усвоения конкретного материала. Такие упражнения, очевидно, можно использовать и для предупреждения ошибок.

Таким образом, история изучения и применения в обучении задач указанного типа насчитывает более двух десятков столетий. За это время накоплено бесчисленное множество примеров таких задач и колоссальное богатство опыта применения их в обучении математике.

Задача. Сколько натуральных чисел можно записать с помощью цифры 5? Ответ обосновать.

Решение Гаджиева Мухаммада[1]. Спомощью цифры 5 можно записать бесчисленное множество натуральных чисел.

Действительно, если начать по порядку выписывать все числа (натуральные), записанные с помощью цифры 5, то получим следующий ряд

(*)

Очевидно, все числа ряда являются натуральными: 5 — натуральное число, 55 — натуральное число, 555 — натуральное и так далее. Следовательно, является рядом натуральных чисел. Как мы знаем, натуральный ряд бесконечен. Значит, ряд бесконечен.

Анализ

Вопрос: где в этом рассуждении ошибка?

Очевидно, ошибка, во-первых, заключается в неправильном использовании терминологии:не ряд[2], а во-вторых, в отождествлении натурального ряда[3]

с последовательностью

Определение: Пусть некоторое непустое множество. Функция , областью определения которой является множество натуральных чисел, называется последовательностью.

Если в этом определении положить , то получим получим последовательности натуральных чисел. Например, последовательности натуральных чисел. Причем последнее из них натуральный ряд. В самом деле, если последовательно придавать аргументу этой функции различные значения, то получим

Эта функция всякое из переводит в себя. Значит, тождественная функция.

Таким образом, натуральный ряд — последовательность, но, не всякая последовательность натуральных чисел является натуральным рядом.

После выявления ошибки, справедливо задаться вопросом: каковы причины из-за которых была совершена ошибка? Почему в рассуждении последовательность была отождествлена с натуральным рядом?

Ответ на вопрос «недостаточная степень строгости школьной математики — источник ошибок в рассуждениях» [3]. В самом деле, в учебнике дается следующее определение ряда натуральных чисел:

Определение. Последовательность всех натуральных чисел называется натуральным рядом:

Очевидно, авторы, определяя натуральный ряд через понятие последовательности, сделали упор на интуитивное понимание этого понятия. Вероятно, это и стало первопричиной ошибки: последовательность, все члены которой являются натуральными числами, есть натуральный ряд.

1, 2, 3, 4, 6, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, …(**)

также является натуральным рядом. Действительно, во-первых, ясно, что (**) — последовательность; во-вторых, (**) — последовательность всех натуральных чисел.

Выводы

Итак, неточности существующие в определении натурального ряда, данного в учебнике , могут стать источниками недоразумений и ошибок в рассуждениях. Поэтому мы считаем, что учителю, который выбрал учебник в качестве основного, при введении понятия натурального ряда следует обратить внимание учащихся на имеющиеся «тонкости» этого понятия. Нами для этого были использованы следующие вопросы, задачи и упражнения:

1) Почему следующая последовательность

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 26, 25, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 39, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, …

не является натуральным рядом? Если это не натуральный ряд, то что это?

2) Является ли последовательность

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 39, 41, 42, 43

натуральным рядом?

0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, …

не есть натуральный ряд?

4) Какое не натуральное число вы знаете?

5) Сколько натуральных чисел можно записать с помощью цифры 0?

6) Сколько натуральных чисел можно записать с помощью цифры 1?

7) Является ли последовательность

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, 19, 21, 22, 23, 24,...

рядом натуральных чисел? Если нет, то почему? Если это не натуральный ряд, то что это?

8) Почему числа

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, 19, 21, 22, 23, 24

Литература:

1. Виленкин, Н. Я. Математика 5 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. — 35-е изд., стер. — Москва: Мнемозина, 2016. — 280 c. — Текст: непосредственный.
2. Зорич, В. А. Математический анализ. Часть 1 / В. А. Зорич. — 4-е изд., испр. — Москва: МЦНМО, 2002. — 664 c. — Текст: непосредственный.
3. Брадис, В. М. Ошибки в математических рассуждениях / В. М. Брадис, В. Л. Минковский, А. К. Харчева. — 2-е изд. — Москва: УЧПЕДГИЗ МП РСФСР, 1959. — 175 c. — Текст: непосредственный.
4. Литцман, В. Где ошибка? / В. Литцман. — Москва: Физматлит, 1962. — 192 c. — Текст: непосредственный.
5. Никольский, С. М. Математика. 5 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин. — 14-е изд. — Москва: Просвещение, 2015. — 272 c. — Текст: непосредственный.

[1] Гаджиев Мухаммад – ученик класса (на 2019 – 2020 учебный год) МБОУ «СОШ №42» г. Махачкалы

[2] Рядом чисел образующих бесконечную последовательность, называется выражение

Числа называются членами ряда.

[3] Следует отметить, что «натуральный ряд» это просто специальное название последовательности , которое не имеет ничего общего с понятием ряда принятым в математике.