В этой статье рассматривается один из методов решения математических задач — метод инварианта, основанный на идее четности и нечетности, а также специфика их при решении занимательных задач школьного курса математики.
Ключевые слова: инвариант, задача, идея, четность, число, правила, закономерность.
При решении некоторых математических задач применяется совокупность преобразований искомого объекта и требуется, используя данные преобразования, получить из одного состояния объекта другое. С помощью перебора вариантов во многих случаях можно убедиться в правомерности ответа “нельзя”, но доказательство правильности полученного результата будет сложным. Таким математическим методом решения данных задач считается метод инварианта. Прежде всего, определим, что такое инвариант.
Определение 1. Инвариантом называется нечто, не меняющееся в преобразованиях.
К примеру, инвариантом может быть число, набор чисел, четность какого-либо числа и другое.
Свойство 1. Если значение инварианта в двух состояниях объекта различно, то одно из них нельзя получить из другого.
Во многих математических задачах инвариантом считаются четность (нечетность) чисел и остаток от деления.
Здесь, прежде всего, основывается на определении четного и нечетного числа, абстрактного понятия четности, чисел, имеющих “разную четность”, а также на свойстве того, что при прибавлении единицы четность чисел меняется. Использование принципа четности и нечетности требует применения следующих утверждений:
Утверждение 1. Четность суммы нескольких целых чисел совпадает с четностью количества нечетных слагаемых.
Утверждение 2. Знак произведения нескольких (отличных от 0) чисел определяется четностью количества отрицательных сомножителей.
Задача 1. На листе бумаги написано число 11. Шестнадцать учеников передают листок друг другу, и каждый прибавляет к числу или отнимает от него единицу — как хочет. Может ли в результате получиться число 0?
Решение. Предлагается выполнить данную операцию учащимся (результат каждого хода записывается на доске), отмечается закономерность: после каждого хода характер четности меняется; после первого ученика число становится четным, после второго нечетным; после третьего — четным; после четвертого — нечетным. Тогда после шестнадцатого число будет нечетным. Поэтому нуль в конце получиться не может.
Задача 2. На вешалке висят 20 платков. 17 девочек по очереди подходят к вешалке и либо снимают, либо вешают платок. Может ли после ухода девочек остаться ровно 10 платков?
Решение. После подхода первой девочки количество оставшихся платков либо 19, либо 21 (нечетное количество); после подхода второй девочки — либо 18, либо 20, либо 22 (четное количество); после подхода третьей девочки — либо 17, либо 21, либо 23, либо 19 (нечетное количество). После подхода 17 девочки остается нечетное количество платков. Получается противоречие. Значит, 10 платков остаться не может.
Задача 3. В таблице, где имеются 15 чисел (-1), можно производить следующую операцию: одновременно изменить знак двух (не более, не меньше) чисел в таблице. Можно ли, применяя эту операцию конечное число раз, получить таблицу, состоящую из (+ 1)?
Решение. Ответ: нельзя. Так как число чисел в таблице нечетно, а после каждой операции число чисел (+ 1) в таблице четно. На языке инвариантов это означает: инвариантом таблицы относительно введенной операции является произведение всех чисел в таблице. В начальный момент это произведение равно (- 1), а нам нужно получить таблицу, инвариант которой равен (+ 1).
Задача 4. Имеется набор чисел 
. Данный набор чисел меняется на тройку чисел: 
, 
, 
. Дан набор чисел 2016, 2018, 2019. Можно ли из него получить набор из чисел 2017, 2018, 2019?
Решение. Ответ: нельзя. Так как 
и ++ равны, а сумма 2016+ 2018+ 2019 и сумма 2017+ 2018+ 2019 различны.
Задача 5. Из цифр 2, 3, 4,… 9 составили два натуральных числа. Каждая цифра использовалась один раз. Могло ли одно из этих чисел оказаться вдвое больше другого?
Решение. Ответ: нет. Пусть 
и 
— полученные числа, S(a) и S(b) — суммы их цифр. По признаку делимости числа N и S(N) имеют одинаковые остатки при делении на 3. Поскольку число a + b = 3a делится на 3, то сумма S = S(a) + S(b) должна делиться на 3, что неверно, так как S = 2 + 3 + 4 + … + 9 = 44.
Задача 6. Числа 0, 1, 2, 3, …, 9 записаны по кругу. За один ход разрешается прибавить к двум соседним числам одно и то же целое число. Можно ли за несколько ходов получить десять нулей?
Решение. Нельзя. При прибавлении одинаковых целых чисел к любым двум из имеющихся не меняется четность общей суммы всех чисел. Первоначально эта сумма равно 1 + 2 + 3 + … 9 = 45, следовательно, после каждого хода общая сумма полученных чисел должна быть нечетна, а нуль — четное число.
Задача 7. В десяти сосудах содержится 1, 2, 3,…, 10 литров воды. Разрешается перелить из сосуда А в сосуд В столько воды, сколько имеется в В. Можно ли добиться, чтобы после нескольких переливаний в 5 сосудах оказалось 3 литра, а в остальных 6, 7, 8, 9, 10?
Решение. Нельзя. Предложенная операция обладает полуинвариантом: при любом переливании число нечетных сосудов (содержащих нечетное число литров воды) не увеличивается. Количество таких сосудов уменьшается при переливании из нечетного сосуда в нечетный, а в остальных случаях не изменяется. Следовательно, переход 1, 2, … 10 —> 3, 3, 3, 3, 3, 6,…,10 невозможен, поскольку увеличивает число нечетных сосудов.
Решения задач-головоломок с использованием четности и нечетности чисел отличаются логической безупречностью и абсолютной обоснованностью выводов, которые требуют знаний простейших свойств арифметических операций сложения и вычитания.
Здесь действуют следующие основные правила четности:
- Сумма четных слагаемых — четна.
- Если число нечетных слагаемых четно, то и сумма четна.
- Если сумма двух чисел — четное число, то и их разность тоже четное число.
- Если сумма двух чисел — нечетное число, то и их разность тоже нечетное число.
- Если число нечетных слагаемых нечетно, то и сумма нечетна.
- Если один из множителей — четное число, то и произведение четно.
- Если все множители нечетны, то и произведение нечетно.
Задача 8. Четно или нечетно число 1+2+3+4+…+2000? Ответ: четно.
Задача 9. Верно ли равенство 1 х 2+2 х 3+3 х 4+…+99 х 100 = 20002007? Ответ: нет, сумма четных слагаемых всегда четна.
Задача 10. Определить на четность числа 3(х+1); х+х; х+х+2005, если х нечетное. Ответ: первое — четное, второе — четное, третье — нечетное.
Задача 11. Можно ли квадрат размером 25 х 25 разрезать на прямоугольники 1 х 2? Ответ: нет, число 625 не делится на 2.
Задача 12. Можно ли соединить 13 городов дорогами так, чтобы из каждого города выходило ровно 5 дорог? Ответ: нет, каждую дорогу считаем дважды, поэтому общее количество дорог должно быть четным. В нашем случае их 13 х 5 =65.
Задача 13. Кузнечик прыгает по прямой: первый раз на 1 см, второй раз на 2 см и т. д. Может ли он через 25 прыжков вернуться на прежнее место? Ответ: нет, чтобы вернуться на старое место общее количество сантиметров должно быть четно, а сумма 1+2+3+…+25 нечетна.
Задача 14. Можно ли организовать шахматный турнир между 15 шахматистами так, чтобы каждый сыграл по 15 партий? Ответ: нет, 15 х 15 нечетно.
Задача 15. Может ли произведение суммы трех последовательных натуральных чисел на сумму трех следующих за ними натуральных чисел быть равным 33333? Ответ: нет, произведение должно быть четно, т. к. один из множителей четное число.
В заключении можно сказать, что применение идеи четности и нечетности позволяет учащимся опровергнуть те факты, о которых идет речь, и понять сходную логику с методом доказательства от противного. При самом распространенном ответе «не может» требуется объяснить, почему именно этого не может быть. Если ответ: «Может», то достаточно привести пример такого расклада, распределения или комбинации. Помимо прямых задач на четность и нечетность, задание может включать в себя разбор близких по замыслу задач (на две противоположности), решаемых при помощи анализа отнесения объекта (или варианта) в ту или иную группу.
Литература
- Альхова, З. Н.; Макеева, А. В. Внеклассная работа по математике. — Саратов: «Лицей», 2001.
- Виленкин, Н. Я. Популярная комбинаторика. — М.: Просвещение, 2003.
- Козлова, Е. Г. Сказки и подсказки (задачи для математического кружка). Издание 2-е, испр. и доп. — М.: МЦНМО, 2004.
- Медников, Л. Е. Четность. ‑ М.:МЦНМО, 2009.
- Бабич, О. А. Сценарий внеурочного занятия по математике (в рамках предметной лаборатории). 7 класс. «Инвариант», г. Холмск, 2015.
- [Электронный ресурс] www.strategy48.ru/sites/default/files/fomina1.pdf
