В статье автор проводит анализ темы «Числовые последовательности» в различных учебниках алгебры 9-го класса.
Ключевые слова: последовательность, прогрессия, анализ.
Основной этап изучения числовых последовательностей осуществляется в 9-м классе, поэтому нами был произведён содержательный анализ нескольких учебных пособий по алгебре за 9-й класс. На данный момент федеральный перечень учебников, рекомендуемых к использованию при обучении, содержит одну позицию — Математика. Алгебра: 9-й класс (Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И. и другие; под ред. Теляковского С. А.) [2]. Согласно федеральному базисному учебному плану на изучение данной темы в 9-м классе отводится всего 15 часов, если занятия проводятся трижды в неделю, и 17 часов, если учащиеся занимаются алгеброй 4 часа в неделю.
Для сравнения мы также рассмотрели учебные пособия С. М. Никольского [5] и А. Г. Мордковича [3].
В первую очередь рассмотрим текст учебника [5]. В конце каждой главы содержится рубрика «Исторические сведения», фрагменты которой, на наш взгляд, удобнее было бы разместить внутри содержания темы, так как нередко исторические факты, не привязанные к тексту параграфов, учащиеся оставляют без внимания.
В учебнике С. М. Никольского содержится множество задач различных типов. Встречаются задачи на доказательство или исследование математической модели, задания, предназначенные для устной работы, задачи повышенного уровня сложности. Система упражнений, разработанная для главы «Последовательности», широка и разнообразна. В каждом параграфе задания располагаются в порядке нарастания уровня сложности. В данном учебнике основную часть заданий занимают репродуктивные задачи, решить которые можно, используя готовые формулы и алгоритмы. Присутствует достаточное количество вариативных задач. Творческие и исследовательские задачи в данном учебнике также представлены, причем некоторые из них сформулированы в точности как в контрольных измерительных материалах на едином государственном экзамене, что закладывает основы формирования навыков решения задач повышенной сложности и подготавливает учащихся к профильным экзаменам по математике. Среди огромного разнообразия задач встречаются также исторические именные: задача Пифагора, задача из папируса Ахмеса, задача аль-Караджи и другие.
Несмотря на то, что доказательства, приведённые в данном учебнике, не являются достаточно строгими, так как не используют метод математической индукции, теоретическая часть главы «Последовательности» изложена понятным для обучающихся языком. Разнообразие задач в системе упражнений позволяет учителю не использовать дополнительные ресурсы при изучении темы.
Для дальнейшего анализа темы «Последовательности» рассмотрим учебное пособие [3].
А. Г. Мордкович в первом параграфе вводит понятие числовой последовательности при помощи актуализации знаний о квадратичной функции и её области определения. Автор задаётся вопросом: «а нужно ли изучать функции, заданные на множестве натуральных чисел?», который, по большому счёту, можно считать мотивацией введения понятия «Числовая последовательность». Ответ на вопрос представлен в параграфе в виде нескольких задач, решение которых не обходится без составления математических моделей, являющихся функциями, заданными на множестве натуральных чисел. Таким образом, создается ситуация, при которой обойтись без знания числовых последовательностей крайне сложно и показывается необходимость их изучения. Далее вводится понятие числовой последовательности как функции натурального аргумента. Очень подробно и понятно в учебнике описываются способы задания последовательностей, а именно: аналитический, словесный и рекуррентный. Каждый способ сопровождается многочисленными примерами.
Завершает изучение раздела «Прогрессии» пункт «Прогрессии и банковские расчёты», в котором производится подробный разбор задач на вклады, встречающихся в профильном ЕГЭ по математике, выводится формула простых процентов и формула сложных процентов.
В задачнике [4] содержится множество заданий, позволяющих в достаточной степени отработать теоретические знания на практике. Задания в учебнике дифференцируются по двум уровням: базовый и углубленный. В каждом из двух уровней также наблюдается разделение на 2 ступени: устные и среднего уровня трудности задания — на базовом, задания выше среднего или повышенной трудности — на углубленном. Таким образом, ученики сами могут определять, готовы ли они перейти к задачам повышенной трудности.
В главе «Прогрессии» встречаются как репродуктивные, реконструктивные, вариативные, так и исследовательские задачи. Многие из заданий требуют умения оперировать математическими понятиями, строить математические модели и исследовать их, доказывать их существование или отсутствие. Задачи с историческим содержанием в учебнике не представлены, равно как и занимательные задачи.
Таким образом, преимуществами учебника [3] являются: полное и понятное изложение теоретического материала, доступные объяснения и комментарии автора, многочисленные примеры, иллюстрирующие сущность того или иного понятия, реализация интеграционных связей изучаемой темы не только с другими темами по алгебре, но и с вопросами других дисциплин [1]. Многие задания из учебника-практикума в точности повторяют задачи, встречающиеся на ОГЭ и ЕГЭ, что служит отличной основой для подготовки к экзаменам. Представлены задачи различных уровней сложности, поэтому для каждого ученика найдутся упражнения, соответствующие его степени подготовки. На основе данного учебника может быть успешно реализована технология дифференцированного обучения. Среди минусов данного учебника можно выделить: отсутствие занимательных задач, задач с историческим содержанием, исторических справок, интересных фактов.
Стоит отметить, что сами авторы учебника [3] А. Г. Мордкович и П. В. Семенов в методическом пособии для учителя рассуждают о следующем: изучаемой теме не место в учебниках алгебры 9 класса, «Последовательности» — это одна из глав математического анализа, соответственно и данная тема должна изучаться в курсе алгебры 10 класса вместе с другими понятиями и теоремами математического анализа. Прогрессии — арифметическая и геометрическая — частные случаи последовательностей, поэтому их тоже удачнее было бы включать именно в курс алгебры и начал анализа. Таким образом, получается, что изучение прогрессий в 9 классе является «тупиковым», т. к. данный раздел не поддерживает связей с другими материалами учебной программы и может разрывать в понимании школьников уже существующие интродисциплинарные связи [1].
Следующим учебным пособием, выбранным для методического анализа темы, является учебник [2] Ю. Н. Макарычева «Алгебра. 9 класс» (углубленный). Раздел «Последовательности» в учебнике рассматривается в главе 4, которая содержит параграфы: «Свойства последовательностей», «Арифметическая последовательность», «Геометрическая последовательность», «Сходящиеся последовательности».
В первом параграфе рассматриваются основные понятия, умение оперировать которыми необходимо обучающемуся на протяжении изучения всей главы. Большинство определений вводятся интуитивно, в частности, понятие «последовательность» рассматривается на примере ряда натуральных чисел, образующих при делении на 7 остаток 1, взятых в порядке возрастания. Конечные и бесконечные последовательности автор определяет как функции, областью определения которых является множество натуральных чисел или 𝑛 первых натуральных чисел (для конечных последовательностей). Далее в пункте рассматриваются различные способы, которыми может быть задана последовательность: с помощью описания, с помощью формулы 𝑛-го члена, рекуррентный. В качестве исторической составляющей темы автор предлагает изучить последовательности, связанные с геометрическими фигурами, которые рассматривались Пифагором и его учениками и последовательность Фибоначчи.
Следующие два пункта первого параграфа позволяют обучающимся изучить свойства числовых последовательностей: монотонность и ограниченность. Далее автор переходит к рассмотрению нового метода доказательства математических утверждений — метода математической индукции.
Одной из особенностей учебного пособия Ю. Н. Макарычева является присутствие в нём параграфа «Сходящиеся последовательности», который содержит сведения о пределе последовательности и сумме бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Первый пункт параграфа организован на содержательной основе индуктивным способом. После рассмотренного автором примера следуют определения основных понятий темы: предел последовательности, сходящаяся последовательность, расходящаяся последовательность, бесконечно малое.
Задачный материал весьма разнообразен. По уровню сложности задачи дифференцируются на базовые и усложненные. Задач второго типа значительно меньше, но содержатся задачи как на доказательство, так и на исследование. Задачи повышенного уровня сложности располагаются в конце учебника и не являются обязательными для выполнения. Творческих, занимательных, исторических или старинных задач в учебнике не представлено.
Достоинствами учебного пособия Ю. Н. Макарычева являются: доступное изложение учебного материала, строгие математические доказательства, наличие упражнений для повторения и контрольных вопросов. Несмотря на то, что учебное пособие предназначено для углубленного изучения алгебры в 9 классе, оно может быть использовано для самостоятельного изучения темы, так как содержит очень много материалов с подробными готовыми объяснениями.
Таким образом, тема «Последовательности» во всех рассмотренных нами учебных пособиях представлена в полном объёме и на высоком уровне. В каждом учебнике содержится достаточное количество разноуровневых задач, позволяющих полноценно применить теоретические знания на практике и подготовиться к итоговой аттестации.
Литература:
- Жмурова, И. Ю. Методическая система обучения дискретной математике бакалавров педагогического образования / И. Ю. Жмурова. — Казань: Общество с ограниченной ответственностью «Бук», 2016. — 142 с. — ISBN 978–5–906873–24–8. — EDN WHSNRR.
- Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс.: учеб. пособие для общеобразоват. организаций: углубл. уровень / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков и др. — М.: Просвещение, 2022. — 400 с.
- Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семёнов. — М.: Мнемозина, 2021. — 224 с.
- Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; под ред. А. Г. Мордковича. — М.: Мнемозина, 2021. — 223 с.
- Никольский С. М. Алгебра. 9 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин. — М.: Просвещение, 2023. — 335 с.
