Статья посвящена описанию курса внеурочной деятельности по математике «Уравнения в целых числах» для обучающихся в 7–8-х классах основной школы.
Ключевые слова: внеурочная деятельность, задача, целочисленное уравнение, диофантовы уравнения,
Уравнения в целых числах, в частности, диофантовы уравнения — интереснейший раздел математики, внимание к которому постоянно растет.
Диофант — великий математик прошлого, написавший фундаментальный труд — «Арифметику», состоявший из 13 книг. Значительная часть известных нам книг «Арифметики» посвящена решению неопределённых уравнений и систем неопределённых уравнений 2-й степени. Диофант описал некоторые общие методы решения данных уравнений. Эти методы вполне доступны учащимся 7–8-х классов, поэтому нами был разработан курс внеурочной деятельности по математике «Уравнения в целых числах».
Согласно Федеральному государственному образовательному стандарту общего образования внеурочная деятельность является неотъемлемой частью учебно-воспитательного процесса. Внеурочная деятельность организуется во внеучебное время и предназначена для удовлетворения индивидуальных потребностей обучающихся. В программу внеурочной деятельности по математике могут быть включены такие разделы, которые или вообще не изучаются в школьном курсе, или изучаются недостаточно глубоко, но представляют интерес как в историческом, так и в научном плане. В частности, таким разделом математики является решение целочисленных или диофантовых уравнений.
Актуальность данной темы связана с тем, что задачи, сводящиеся к диофантовым уравнениям, входят в контрольно-измерительные материалы ЕГЭ по математике профильного уровня, а решение этих задач вызывает значительные затруднения у выпускников общеобразовательных учреждений.
Целочисленные уравнения — важная тема школьного курса математики, которой на уроках практически не уделяется внимания, хотя многие теоретико-числовые задачи могут быть сведены к решению уравнений в целых числах. Именно теоретико-числовые задачи составляют содержание одного из самых сложных и высоко оцениваемых заданий государственной итоговой аттестации по математике профильного уровня — задания № 19. Многие выпускники, сдающие профильный ЕГЭ по математике, даже не пытаются приступить к решению задания № 19, хотя для него вполне достаточно иметь знания по математике на уровне 5–6 классов. Выпускники не готовы решать сложные задачи, требующие принимать решение в нестандартной ситуации, у них не сформированы соответствующие навыки. В школьных учебниках подобного рода задач явно недостаточно. Курс внеурочной деятельности «Уравнения в целых числах» позволяет определенным образом восполнить этот пробел. Кроме того, данный курс может благоприятно влиять на развитие мышления учащихся.
Целями курса «Уравнения в целых числах» являются:
углубление и расширение математического кругозора обучающихся;
повышение интереса к математике;
развитие логического мышления и творческих способностей учащихся;
знакомство учеников с простейшими целочисленными математическими моделями.
В процессе изучения курса внеурочной деятельности числах учащиеся:
смогут познакомиться с понятием диофантовых уравнений различных степеней и со способами их решения;
смогут решать некоторые логические задачи путем сведения их к уравнениям в целых числах.
Курс строится индуктивно с элементами дедуктивных рассуждений и эвристики, начинается с занимательных задач и числовых головоломок. Данные задачи имеют высокий развивающий потенциал, способствуют формированию критического мышления, приучают к анализу получаемой информации, помогают адекватно ее оценить.
Прежде, чем рассматривать основные задачи курса, предполагается знакомство с неизвестными для учащихся приемами рациональных вычислений и первыми теоретико-числовыми задачами. На этом этапе происходит первичное знакомство с построением простейших арифметических моделей.
Дальнейшее изучение теоретического материала происходит блоками через систему тематически ориентированных задач, цель которых — подвести учащихся к самостоятельному формулированию гипотез и их дальнейшей проверке.
Основными темами курса являются следующие: занимательные и провоцирующие задачи; вычислительные лайфхаки; уравнения и неравенства; диофантовы уравнения первой и второй степеней; сюжетные задачи.
Приведем некоторые примеры.
Задача «Найдите все пары натуральных чисел, разность квадратов которых равна 5» [1] сводится к диофантову уравнению второго порядка
которое решается простым перебором. Учащиеся 7 класса, знакомые с формулами сокращенного умножения, легко сумеют разложить левую часть на множители и обратить внимание на то, что правая часть может быть представлена в виде произведения двух целых чисел всего четырьмя различными способами. Но именно эта простая задача позволяет построить математическую модель, использовать прием разложения на множители и применить данный алгоритм к решению других задач. Интересно, что такого рода задачи часто встречаются на математических олимпиадах различного ранга, и учащимся будет интересно попробовать себя в решении сложных задач.
Большое впечатление на учащихся произвела следующая задача: «Купец купил 138 аршин черного и синего сукна за 540 руб. Спрашивается, сколько аршин купил он того и другого, если синее стоило 5 руб. за аршин, а черное 3 руб.?». Она интересна не только тем, что сводится к диофантову уравнению первого порядка и может быть решена различными способами, но и тем, что взята из рассказа А. П. Чехова «Репетитор» [3]. Ребятам было интересно познакомиться с творчеством великого писателе не на уроке литературы, а в курсе математики, а уникальное вычислительное приспособление — русские счеты, на которых считал герой рассказа, многие увидели впервые в жизни. Тем самым были осуществлены интеграционные связи математики, истории и литературы [2].
Таким образом, при изучении курса учащиеся получат сведения по методам решения неопределенных уравнений, приобретут навыки сведения реальных ситуаций к арифметическим моделям, научатся производить содержательные рассуждения и строить простейшие алгоритмы. Это поможет им глубже изучить числа и их свойства и в дальнейшем позволит хорошо подготовиться к ЕГЭ по математике.
Литература:
- Буфеев С. В. Коллекция задач по арифметике целых чисел. — М.: ЛЕНАНД, 2014. — 272 с.
- Полякова, Т. С. Интеграционные связи и их оценка учителями математики и бакалаврами педагогико-математического образования / Т. С. Полякова, И. Ю. Жмурова. — Текст: непосредственный // Методический поиск: проблемы и решения. — 2015. — № 1 (18). — С. 66–72.
- А. П. Чехов. Полное собрание сочинений и писем в 30-ти томах. Сочинения. Том 2. М., Наука, 1983.
