Теорема Пифагора и её применение для 8-х классов | Статья в журнале «Молодой ученый»

Отправьте статью сегодня! Журнал выйдет 2 ноября, печатный экземпляр отправим 6 ноября.

Опубликовать статью в журнале

Автор:

Научный руководитель:

Рубрика: Педагогика

Опубликовано в Молодой учёный №7 (506) февраль 2024 г.

Дата публикации: 17.02.2024

Статья просмотрена: 305 раз

Библиографическое описание:

Зенов, Т. А. Теорема Пифагора и её применение для 8-х классов / Т. А. Зенов. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2024. — № 7 (506). — С. 215-217. — URL: https://moluch.ru/archive/506/111342/ (дата обращения: 19.10.2024).



В статье рассматривается история теоремы Пифагора и её применения на практике и в теории. Приведены различные примеры из жизненных задач.

Ключевые слова: математика, геометрия, Пифагор, теорема Пифагора, доказательство, решение задач.

Математика — это не только формулы, а это все, что нас окружает. В ней важно не только знать теоремы и аксиомы, но и понимать, чувствовать ее фундаментальные принципы. К одному из таких фундаментальных знаний можно отнести теорему Пифагора, с которой мы знакомимся еще в школе на уроках геометрии. Однако, как порой это бывает, учебная программа упускает красоту и изящество самой теоремы, чья роль намного важнее, чем нахождение сторон треугольника; теорема Пифагора находит неисчисляемое множество применений в науке и технике — невозможно переоценить ее значимость.

Начнем с того, что Пифагор — известнейший древнегреческий математик. С его именем связаны множество понятий и терминов.

Теорема Пифагора, а точнее, её принцип, пользовался интересом давно, даже до самого Пифагора, но, он обобщил этот принцип.

Теорема Пифагора — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника.

Теорема формулируется следующим образом: площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах. Открытие этого утверждения приписывают Пифагору. В школе теорема из себя представляет только следующее: (рис. 1), где a , b длины катетов прямоугольного треугольника, а c длина гипотенузы.

Рис. 1

Данная теорема в школе изучается только для применения в решении геометрических задач, но практическое применение тоже имеет место быть. Теорема Пифагора решает задачи с прямоугольными треугольниками, где нужно вычислить длины сторон. А на практике теорему могут применить при установки антенны для мобильной связи, например, ведь нужно правильно рассчитать высоту и радиус действия или в лесной промышленности: для потребностей строительства бревна распиливают на брус, при этом главная задача — получить как можно меньше отходов. Наименьшее число отходов будет тогда, когда брус имеет наибольший объем. Что же должно быть в сечении? Как видно из решения сечение должно быть квадратным, а теорема Пифагора и другие рассуждения позволяют сделать такой вывод.

В школе данную теорему изучают в 8 классе и не уделяют ей большое количество времени. Мы считаем, что теорема Пифагора легка для понимания, но для неё существует огромное кол-во применений. Её просто нужно увидеть в задаче и уметь выразить.

Доказательство теоремы Пифагора:

Рис. 2

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (рис. 2).

Дано: ∆ABC, в котором ∠C = 90º.

Доказать: a 2 + b 2 = c 2 .

Пошаговое доказательство:

Проведём высоту из вершины C на гипотенузу AB, основание обозначим буквой H.

Прямоугольная фигура ∆ACH подобна ∆ABC по двум углам: ∠ACB =∠CHA = 90º,

∠A — общий.

Также прямоугольная фигура ∆CBH подобна ∆ABC:

∠ACB =∠CHB = 90º,

∠B — общий.

Введем новые обозначения: BC = a, AC = b, AB = c.

Из подобия треугольников получим: = , =

.

Значит a 2 = c HB, b 2 = c AH.

Сложим полученные равенства:

a 2 + b 2 = c HB + c AH

a 2 + b 2 = c (HB + AH)

a 2 + b 2 = c

AB

a 2 + b 2 = c c

a 2 + b 2 = c 2

ч.т.д.

Рис. 3

С помощью этой теоремы решаются многие практические или олимпиадные задачи, например:

условие задачи на рис. 3.

Необходимо найти сторону CB.

Используем теорему Пифагора.

CB = =

Ответ:

Пример 1: Кадету 8 класса требуется найти ширину пруда. Он нашел расстояние от точки R до точки P и Q, расположенных по разным сторонам пруда, как показано на рис. 4. И уточнил, что угол P прямой. Если пренебречь рассчётами кадета, какова длина пруда, отрезка PQ?

Рис. 4

Решение: если понять, что при соединении данных точек образуется прямоугольный треугольник, то эта задача слёгкостью решается теоремой Пифагора.

Дан катет треугольника и гопотенуза.

Применяя теормему составляем уравнение:

PR 2 + PQ 2 = QR 2

PQ 2 = QR 2 — PR 2

PQ = = = 10

Ответ: длина пруда 10 м.

Задачи в курсе физики средней школы также требуют знания теоремы Пифагора

Пример 2: Биатлонист, стреляющий по мишени, делает поправку на ветер. Если ветер дует справа, а биатлонист стреляет по прямой, то пуля уйдёт влево. Чтобы попасть в цель, надо сдвинуть прицел вправо на расстояние смещения пули. Для них составлены специальные таблицы (на основе следствий из т. Пифагора). Биатлонист знает, на какой угол смещать прицел при известной скорости ветра.

Пример 3 : Каждому абоненту важна качественная сотовая связь. А качество зависит от высоты антенны мобильного оператора. Чтобы рассчитать, в каком радиусе можно принимать передачу. Для решения задачи можно применить теорему Пифагора.

Итак, можно сделать вывод, для человека, решающего олимпиадные задачи, мало знать только школьную программу, нужно углубляться в математику и глубже изучать каждую теорему, каждую закономерность, нужно улучшать понимание и умение находить в задачах красоту решения. И они заиграют новыми красками, потому что окажется, что теорема не только для треугольника, или она применяется не только для решения теоретических задач. А может быть, она задействована в разных разделах математики. Конкретно теорема Пифагора помогает во многом: решение школьных задач, олимпиадных работ и проста для понимания. К сожалению, на неё уделяют очень мало времени в школьной программе.

Литература:

  1. Мерзляк А. Г. Геометрия: 8 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский, М. С. Якир. — М.: Вентана-Граф, 2020. — 208 с.
  2. Атанасян Л. С. Геометрия. 7–9 классы: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. — 20-е изд. — М.: Просвещение, 2010. — 384 с.
Основные термины (генерируются автоматически): теорема, ABC, прямоугольный треугольник, ACB, задача, ACH, CBH, CHA, прямоугольная фигура, школьная программа.


Ключевые слова

доказательство, математика, Пифагор, геометрия, решение задач, теорема Пифагора

Похожие статьи

Решение геометрических задач методом «Золотого сечения»

Данная статья посвящена обзору различных способов решения геометрических задач с помощью метода «золотого сечения». Рассмотрен математический термин «золотое сечение», его основные свойства.

Решение логической задачи разными способами и сравнение их эффективности

Статья посвящена обзору различных способов решения логических задач и сравнению их эффективности. Логические задачи можно решать различными способами. У каждого из них есть свои достоинства и недостатки. Поэтому для решения подобного типа задач нужно...

Дополнительное математическое занятие в 6 классе на тему «Принцип Дирихле»

В данной статье представлен фрагмент дополнительного занятия по математике по теме «Принцип Дирихле» в 6 классе. Рассматриваются различные формулировки принципа Дирихле, а также приводятся примеры применения принципа Дирихле при решении геометрически...

Об использовании метода инварианта, основанного на идее четности и нечетности, при решении математических задач

В этой статье рассматривается один из методов решения математических задач — метод инварианта, основанный на идеи четности и нечетности, а также специфика их при решении занимательных задач школьного курса математики.

Анализ системы уравнений «хищник — жертва» и доказательство первого и второго законов Вольтерры

В данной статье рассмотрена система дифференциальных уравнений Лотки — Вольтерры, а также приведены формулировки доказательства первого и второго законов Вольтерры.

Применение различных подходов к решению задач теории вероятностей при подготовке к экзаменам

Существуют различные методы решения задач теории вероятностей. Решение задач при помощи стандартных формул теории вероятностей (формулы сложения/умножения вероятностей/условной вероятности/ Байеса/ полной или не полной вероятности), решение методом п...

Приложения символов Ландау

Символы Ландау имеют широкий спектр приложений в области математического анализа, функционального анализа и математической физики. Ниже мы рассмотрим применение этих символов к задачам математического анализа.

Нестандартные способы решения тригонометрических уравнений

В статье автор рассматривает малоизвестные и редко применяемые методы решения тригонометрических уравнений, основанные на знаниях геометрии, свойств функции, методов искусственных преобразований.

Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод Гаусса

В статье рассматривается алгоритм метода Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений. Выбран язык Maple, как наиболее оптимальный для реализации алгоритма. В статье содержится листинг программного кода.

Теоретический подход к решению комбинаторных задач

В статье рассмотрены основные понятия, встречающиеся при решении различных комбинаторных задач школьного курса математики.

Похожие статьи

Решение геометрических задач методом «Золотого сечения»

Данная статья посвящена обзору различных способов решения геометрических задач с помощью метода «золотого сечения». Рассмотрен математический термин «золотое сечение», его основные свойства.

Решение логической задачи разными способами и сравнение их эффективности

Статья посвящена обзору различных способов решения логических задач и сравнению их эффективности. Логические задачи можно решать различными способами. У каждого из них есть свои достоинства и недостатки. Поэтому для решения подобного типа задач нужно...

Дополнительное математическое занятие в 6 классе на тему «Принцип Дирихле»

В данной статье представлен фрагмент дополнительного занятия по математике по теме «Принцип Дирихле» в 6 классе. Рассматриваются различные формулировки принципа Дирихле, а также приводятся примеры применения принципа Дирихле при решении геометрически...

Об использовании метода инварианта, основанного на идее четности и нечетности, при решении математических задач

В этой статье рассматривается один из методов решения математических задач — метод инварианта, основанный на идеи четности и нечетности, а также специфика их при решении занимательных задач школьного курса математики.

Анализ системы уравнений «хищник — жертва» и доказательство первого и второго законов Вольтерры

В данной статье рассмотрена система дифференциальных уравнений Лотки — Вольтерры, а также приведены формулировки доказательства первого и второго законов Вольтерры.

Применение различных подходов к решению задач теории вероятностей при подготовке к экзаменам

Существуют различные методы решения задач теории вероятностей. Решение задач при помощи стандартных формул теории вероятностей (формулы сложения/умножения вероятностей/условной вероятности/ Байеса/ полной или не полной вероятности), решение методом п...

Приложения символов Ландау

Символы Ландау имеют широкий спектр приложений в области математического анализа, функционального анализа и математической физики. Ниже мы рассмотрим применение этих символов к задачам математического анализа.

Нестандартные способы решения тригонометрических уравнений

В статье автор рассматривает малоизвестные и редко применяемые методы решения тригонометрических уравнений, основанные на знаниях геометрии, свойств функции, методов искусственных преобразований.

Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод Гаусса

В статье рассматривается алгоритм метода Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений. Выбран язык Maple, как наиболее оптимальный для реализации алгоритма. В статье содержится листинг программного кода.

Теоретический подход к решению комбинаторных задач

В статье рассмотрены основные понятия, встречающиеся при решении различных комбинаторных задач школьного курса математики.

Задать вопрос