К расчету пластин переменной жесткости | Статья в журнале «Молодой ученый»

Авторы: ,

Рубрика: Технические науки

Опубликовано в Молодой учёный №5 (109) март-1 2016 г.

Дата публикации: 03.03.2016

Статья просмотрена: 120 раз

Библиографическое описание:

Олимов М., Шокиров Д. А. К расчету пластин переменной жесткости // Молодой ученый. — 2016. — №5. — С. 62-69. — URL https://moluch.ru/archive/109/26426/ (дата обращения: 17.10.2018).

 

Предлагается алгоритм расчета прямоугольных пластин переменной жесткости при различных краевых условиях. Задача сводится к решению систем обыкновенных дифференциальных уравнений четвертого порядка при переменных коэффициентах с помощью метода дифференциальной прогонки. Приведены некоторые численные результаты.

Ключевые слова: дифференциальная прогонка, задача Коши, метод Канторович — Власова, изгиб балки переменного сечения, цилиндрической оболочки переменной толщины, прямоугольной пластинки переменной жесткости.

 

Вопрос об изгибе прямоугольных пластин переменной толщины — один из сложных в теории изгиба тонких плит. Из-за сложности интегрирования уравнения для прогиба точек срединной поверхности пластинки в настоящее время имеется незначительное число подобных задач, для которых получено точное решение. Поэтому в большинстве случаев такие задачи решаются численными методами.

Эффективность того или иного приближенного метода решения, как известно, определяется многими факторами, среди которых затраты времени на решение задачи и точность полученных результатов являются, по-видимому, наиболее важными.

Анализ широко применяемых приближенных методов приводит к убеждению, что вариационные методы очень трудоемкие в подготовительной работе даже при условии вычисления всех интегралов на компьютере, а метод конечных разностей хотя и универсален, но связен с большим числом алгебраических уравнений.

В данной статье предлагается алгоритм расчета прямоугольных пластин переменной жесткости (толщины) при различных краевых условиях. Задача сводится к решению обыкновенных дифференциальных уравнений четвертого порядка с переменными коэффициентами, которые, в свою очередь сводятся к решению задач Коши.

В качестве исходного возьмем уравнение изгиба пластин переменной жесткости [1], которое в безразмерных координатах будет иметь вид.

,

где

(1)

Здесь переменные с чертой означают переменные в обычных координатах, a-размер пластинки по оси x,b-по оси y,D=D(x,y)-жесткость пластинки, w=w(x,y)- прогиб, q(x,y)-нагрузку (все в безразмерных координатах).

Основные граничные условия дла пластин следующие [1]:

              (2)

Комбинируя эти условия, можно получить и другие варианты граничных условий.

Если положить, что жесткость является функцией только переменной х, то из уравнения (I) получим               (3)

Решение уравнения (3) ищем в виде [2]

(4)

где -известные координатные функции.

Далее, выполняя процедуры метода Канторовича-Власова, придем к системе обыкновенных дифференциальных уравнений четвертого порядка с переменными коэффициентами:

(5)

где -квадратные матрицы порядка n;

F(x)-n-мерный вектор

Элементы этих матриц и вектора имеют вид

При этом граничные условия (2) принимают форму:

а)                  для жестко защемленной пластинки-

б)                 для свободно опёртой –

в)                  для свободной –

здесь и -квадратные матрицы вида

(6)

где элементы квадратных матриц А и В определяются как

Случай, когда система (5) состоит из одного уравнения, описан в работе [3], где она решается методом дифференциальной прогонки. Аналогично к полученной системе попытаемся применить этот метод.

  1.                Рассмотрим систему (5) при следующих граничных условиях:

(7)

Введя обозначения систему (5) приведем к виду

(8)

где

Кроме того, A(x) и B(x) –квадратные матрицы порядка 2n, C(x) и v(x)-2n-мерные векторы.

Граничные условия (7) преобразуется:

v(0)=0, v(1)=0.

Решение системы (8) ищем в виде (9)

с начальными условиями

 v(0)=0, (10)

где -квадратная матрица порядка 2n;

-мерный вектор.

Для определения и построим систему обыкновенных дифференциальных уравнений

  (11)

c начальными условиями

(12)

Таким образом, краевая задача (5), (7) сводится к задачам Коши(11), (12) и (9), (10).

  1.                Если граничные условия для системы (5) представить как

(13)

то решение будем искать в виде(9) и получим систему(11) с начальными условиями(12), а начальными условиями для системы(9) будут

(14)

где -квадратные матрицы порядка n(k=2, 4);

β(k)-n-мерные векторы (k=1,2), причем

Итак, краевая задача(5), (13) свелась к задачам Коши (11), (12) и (9), (14).

  1.                При граничных условиях для системы (5) типа

(15)

решение будем искать в виде

(16)

где α(x) и β(x)-n-мерные квадратные матрицы;

γ(x)-n-мерный вектор.

Из системы(16) и граничных условий(15) следует, что

(17)

Подставляя(16) в систему(5), приводим к системе обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с начальными условиями(17) для отыскания α(x), β(x, γ(x):

, (18)

где .

В результате краевая задача(5), (15) сводится к двум задачам Коши-(18), (17) и системе(16) с начальными условиями

.

  1.                Пусть требуется решить системы(5) при граничных условиях

(19)

Для удовлетворения первых двух граничных условий(19) систему(16) необходимо решать при следующих начальных условиях:

где

  1.                Если систему (5) решать при граничных условиях

то для системы (16) будем иметь начальные условия

  1.                Рассмотрим систему (5) с граничными условиями

(20)

Решение этой системы ищем в виде

. (21)

Из граничных условий (20) и системы (21) вытекают следующие условия:

(22)

Далее, подставив выражение(21) в систему(5), получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка для определения неизвестных функций

и :

(23)

где

.

Начальные условия для системы(21) будут такие:

(24)

Таким образом, краевая задача(5), (20), сведена к двум задачам Коши: (23), (22) и (21), (24).

Рассмотрим примеры.

Задача 1. Пуст жесткость свободно опертой квадратной пластинки изменяется по закону

Где k-дейтвительное число, и на пластинку действует сплошная нагрузка интенсивностью f(x).

В этом и других примерах координатные функции выбирались так:

Данная задача при N=k=1, a1=7, b1=1, c1=0, f(x)=1+7x, ν=0, 16 рассмотрена в работах [1,2].

Для сравнения в табл.I приведены численные значения прогиба и изгибающих моментов по оси симметрии найденные предлагаемым методом, при n=1, где n-число членов ряда(1), и методами, изложенными в работах [1,2,3].

 

Таблица 1

Искомая величина

Решение

X

0,175

0,335

0,494

0,653

0,812

Грань-Ольссона [I] Привед.в в работе [4]

Предлагаемым методом

0,2072

0,2030

0,2069

0,3095

0,3085

0,3086

0,3270

0,3230

0,3278

0,2787

0,2730

0,2782

0,1834

0,1700

0,1725

Гран-Ольссона [1]

Предлагаемым методом

0,8676

0,8631

1,2683

1,2623

1,4778

1,4652

1,5116

1,5051

1,2277

1,2481

Гран-Ольссона [1]

Предлагаемым методом

0,5935

0,5866

1,2171

1,2077

1,6630

1,6586

1,7613

1,7509

1,3965

1,3232

 

Сравнительный анализ показывает хорошее совпадение итоговых данных расчета. Однако метод, предложенный в работе [2], можно применять только в случае, когда жесткость является линейной функцией. В работе же [2] задача сводится к решению бесконечных систем алгебраических уравнений и рассматриваются лишь опертые пластинки, что ограничивает класс решаемых задач.

Предлагаемым методом можно решать задачи практически при любых изменениях функции жесткости. В табл.2 отражены результаты решения задачи I по оси при более сложном виде функции жесткости, т. е. при

 

Таблица 2

Искомая величина

N

X

0,25

0,50

0,75

1

3

5

0,00119

0,00118

0,00118

0,00219

0,00217

0,00217

0,00221

0,00217

0,00217

1

3

5

7

9

11

0,01058

0,01045

0,01050

0,01048

0,01049

0,01049

0,01696

0,01669

0,01677

0,01673

0,01675

0,01674

0,02095

0,01978

0,02002

0,01994

0,01998

0,01996

1

3

5

7

9

11

0,02550

0,02388

0,02418

0,02408

0,02412

0,02410

0,02453

0,02219

0,02273

0,02253

0,02264

0,02261

0,01305

0,01115

0,01174

0,01150

0,01162

0,01156

 

Для того чтобы показать численную сходимость по методу Канторовича-Власова, в этой таблице представлены данные расчета при различных значениях n, где n- число членов ряда (4) свидетельствующих о довольно хорошей сходимости при этом методе.

Задача 2. Рассчитать прямоугольную пластинку с отношениям сторон жесткость которой изменяется по закону

опертую по сторонам у=0 и у=1, защемленную по стороне х=0 и свободную по стороне х=1.

В этом случае граничные условия будут иметь вид

где ивычисляются по формулам (6). Численные результаты для прогиба и изгибающих моментов по оси и при V=0.25, полученные по методике, описанной в п.3 приведены в табл.3

 

Таблица 3

Искомая величина

n

x

0.25

0.50

0.75

1,00

1

3

5

0,00447

0,00444

0,00444

0,00821

0,00817

0,00817

0,01050

0,01046

0,01046

0,01336

0,01329

0,01329

1

3

5

7

9

11

0,00996

0,00956

0,00964

0,00961

0,00962

0,00962

0,01369

0,01325

0,01335

0,01331

0,01333

0,01332

0,01286

0,01235

0,01246

0,01242

0,01244

0,01243

-0,01319

—0,01365

—0,01353

—0,01358

—0,01356

—0,01357

1

3

5

7

9

11

0,02234

0,02090

0,02122

0,02110

0,02116

0,02114

0,04332

0,04152

0,04191

0,04177

0,04183

0,04180

0,05344

0,05131

0,05177

0,05160

0,05168

0,05164

0,04617

0,04383

0,04434

0,04416

0,04424

0,04420

 

В заключение необходимо подчеркнуть, что предлагаемый метод позволяет решать довольно широкий класс задач об изгибе прямоугольных пластин как постоянной, так и переменной жесткости. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, путем надлежащего введения новых независимых переменных, можно свести к довольно компактным системам обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, которые легко реализуются на ЭВМ. Кроме того, этот метод с достаточно высокой точностью и при малых затратах машинного времени обеспечивает получение всех необходимых расчетных величин.

 

Литература:

 

  1.                М. Олимов, О. О. Жакбаров, Ф. С. Ирискулов, Алгоритм решения прикладных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений четвертого порядка с методом дифференциальной прогони, молодой ученыwй, 2015, w6, c.193–196, www.moluch.ru
  2.                Палечек Е. М. Поперечный изгиб прямоугольных пластин переменной жесткости. Труды Калининградского технического института рыбной промышленности и хозяйства, вып 7. Калининградское книжное изд-во, 1963.
  3.                M. Олимов, К. Исманова, П. Каримов, Ш. Исмоилов. Математические пакеты прикладных программ. Тошкент, 2015 г.
Основные термины (генерируются автоматически): система, предлагаемый метод, задача, краевая задача, квадратная матрица порядка, искомая величина, дифференциальное уравнение второго порядка, переменная жесткость, дифференциальная прогонка, вид.


Похожие статьи

Алгоритм решения прикладных задач для обыкновенных...

Метод дифференциальной прогонки развивается для решения широкого класса краевых задач дифференциальных уравнений четвертого порядка с переменными коэффициентами. В ряде прикладных задач показывается эффективность предлагаемого метода как способа...

К вопросу численной реализации краевых задач для системы...

Рассматривается вопрос о построении приближенного решения линейных обыкновенных дифференциальных уравнений четвертого порядка. Излагаются два метода: метод конечных разностей и дифференциальной прогонки с модификацией матричного варианта.

Разрешимость одной краевой задачи для...

Рассматривается вопрос о разрешимости краевой задачи для нелинейного функционально-дифференциального уравнения в предположениях: оператор Немыцкого , определенный равенством , непрерывен; , — измеримая функция, такая...

Решение краевой задачи для линейных дифференциальных...

1. Метод решения дифференциальных уравнений в MATHCAD. Пусть дана краевая задача для дифференциального уравнения в непрерывной области D. Сопоставим ей некоторую дискретную задачу в дискретной области , где - параметр дискретизации и , при , и...

Классификация линейных однородных систем...

В статье получен алгоритм решения линейной однородной системы дифференциальных уравнений, который использует жорданову нормальную форму матрицы этой системы и получено классификацию решений такой системы третьего порядка.

Модульный анализ сеточных методов решения...

Алгоритм решения прикладных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений четвертого порядка с методом дифференциальной прогонки. Некоторые общие положения методики составления и решения дифференциальных уравнений в прикладных задачах.

Некоторые общие положения методики составления и решения...

Модульный анализ сеточных методов решения дифференциальных уравнений. Алгоритм решения прикладных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений четвертого порядка с методом дифференциальной прогонки.

Априорная оценка для решения первой краевой задачи для...

через мы обозначим линейный, дифференциальный оператор с частными производными второго порядка

По классификации уравнений частного производного второго порядка уравнения (1) принадлежит к уравнениям смешанного типа в области , т. е.

Сведение одной функциональной краевой задачи для системы...

Рассматривается система интегро-дифференциальных уравнений. (1).

(12). Таким образом задача (1), (3) свелась к двухточечной задаче для системы дифференциальных уравнений второго порядка, которая изучена в известных работах .

Алгоритм решения прикладных задач для обыкновенных...

Метод дифференциальной прогонки развивается для решения широкого класса краевых задач дифференциальных уравнений четвертого порядка с переменными коэффициентами. В ряде прикладных задач показывается эффективность предлагаемого метода как способа...

К вопросу численной реализации краевых задач для системы...

Рассматривается вопрос о построении приближенного решения линейных обыкновенных дифференциальных уравнений четвертого порядка. Излагаются два метода: метод конечных разностей и дифференциальной прогонки с модификацией матричного варианта.

Разрешимость одной краевой задачи для...

Рассматривается вопрос о разрешимости краевой задачи для нелинейного функционально-дифференциального уравнения в предположениях: оператор Немыцкого , определенный равенством , непрерывен; , — измеримая функция, такая...

Решение краевой задачи для линейных дифференциальных...

1. Метод решения дифференциальных уравнений в MATHCAD. Пусть дана краевая задача для дифференциального уравнения в непрерывной области D. Сопоставим ей некоторую дискретную задачу в дискретной области , где - параметр дискретизации и , при , и...

Классификация линейных однородных систем...

В статье получен алгоритм решения линейной однородной системы дифференциальных уравнений, который использует жорданову нормальную форму матрицы этой системы и получено классификацию решений такой системы третьего порядка.

Модульный анализ сеточных методов решения...

Алгоритм решения прикладных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений четвертого порядка с методом дифференциальной прогонки. Некоторые общие положения методики составления и решения дифференциальных уравнений в прикладных задачах.

Некоторые общие положения методики составления и решения...

Модульный анализ сеточных методов решения дифференциальных уравнений. Алгоритм решения прикладных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений четвертого порядка с методом дифференциальной прогонки.

Априорная оценка для решения первой краевой задачи для...

через мы обозначим линейный, дифференциальный оператор с частными производными второго порядка

По классификации уравнений частного производного второго порядка уравнения (1) принадлежит к уравнениям смешанного типа в области , т. е.

Сведение одной функциональной краевой задачи для системы...

Рассматривается система интегро-дифференциальных уравнений. (1).

(12). Таким образом задача (1), (3) свелась к двухточечной задаче для системы дифференциальных уравнений второго порядка, которая изучена в известных работах .

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

Алгоритм решения прикладных задач для обыкновенных...

Метод дифференциальной прогонки развивается для решения широкого класса краевых задач дифференциальных уравнений четвертого порядка с переменными коэффициентами. В ряде прикладных задач показывается эффективность предлагаемого метода как способа...

К вопросу численной реализации краевых задач для системы...

Рассматривается вопрос о построении приближенного решения линейных обыкновенных дифференциальных уравнений четвертого порядка. Излагаются два метода: метод конечных разностей и дифференциальной прогонки с модификацией матричного варианта.

Разрешимость одной краевой задачи для...

Рассматривается вопрос о разрешимости краевой задачи для нелинейного функционально-дифференциального уравнения в предположениях: оператор Немыцкого , определенный равенством , непрерывен; , — измеримая функция, такая...

Решение краевой задачи для линейных дифференциальных...

1. Метод решения дифференциальных уравнений в MATHCAD. Пусть дана краевая задача для дифференциального уравнения в непрерывной области D. Сопоставим ей некоторую дискретную задачу в дискретной области , где - параметр дискретизации и , при , и...

Классификация линейных однородных систем...

В статье получен алгоритм решения линейной однородной системы дифференциальных уравнений, который использует жорданову нормальную форму матрицы этой системы и получено классификацию решений такой системы третьего порядка.

Модульный анализ сеточных методов решения...

Алгоритм решения прикладных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений четвертого порядка с методом дифференциальной прогонки. Некоторые общие положения методики составления и решения дифференциальных уравнений в прикладных задачах.

Некоторые общие положения методики составления и решения...

Модульный анализ сеточных методов решения дифференциальных уравнений. Алгоритм решения прикладных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений четвертого порядка с методом дифференциальной прогонки.

Априорная оценка для решения первой краевой задачи для...

через мы обозначим линейный, дифференциальный оператор с частными производными второго порядка

По классификации уравнений частного производного второго порядка уравнения (1) принадлежит к уравнениям смешанного типа в области , т. е.

Сведение одной функциональной краевой задачи для системы...

Рассматривается система интегро-дифференциальных уравнений. (1).

(12). Таким образом задача (1), (3) свелась к двухточечной задаче для системы дифференциальных уравнений второго порядка, которая изучена в известных работах .

Алгоритм решения прикладных задач для обыкновенных...

Метод дифференциальной прогонки развивается для решения широкого класса краевых задач дифференциальных уравнений четвертого порядка с переменными коэффициентами. В ряде прикладных задач показывается эффективность предлагаемого метода как способа...

К вопросу численной реализации краевых задач для системы...

Рассматривается вопрос о построении приближенного решения линейных обыкновенных дифференциальных уравнений четвертого порядка. Излагаются два метода: метод конечных разностей и дифференциальной прогонки с модификацией матричного варианта.

Разрешимость одной краевой задачи для...

Рассматривается вопрос о разрешимости краевой задачи для нелинейного функционально-дифференциального уравнения в предположениях: оператор Немыцкого , определенный равенством , непрерывен; , — измеримая функция, такая...

Решение краевой задачи для линейных дифференциальных...

1. Метод решения дифференциальных уравнений в MATHCAD. Пусть дана краевая задача для дифференциального уравнения в непрерывной области D. Сопоставим ей некоторую дискретную задачу в дискретной области , где - параметр дискретизации и , при , и...

Классификация линейных однородных систем...

В статье получен алгоритм решения линейной однородной системы дифференциальных уравнений, который использует жорданову нормальную форму матрицы этой системы и получено классификацию решений такой системы третьего порядка.

Модульный анализ сеточных методов решения...

Алгоритм решения прикладных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений четвертого порядка с методом дифференциальной прогонки. Некоторые общие положения методики составления и решения дифференциальных уравнений в прикладных задачах.

Некоторые общие положения методики составления и решения...

Модульный анализ сеточных методов решения дифференциальных уравнений. Алгоритм решения прикладных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений четвертого порядка с методом дифференциальной прогонки.

Априорная оценка для решения первой краевой задачи для...

через мы обозначим линейный, дифференциальный оператор с частными производными второго порядка

По классификации уравнений частного производного второго порядка уравнения (1) принадлежит к уравнениям смешанного типа в области , т. е.

Сведение одной функциональной краевой задачи для системы...

Рассматривается система интегро-дифференциальных уравнений. (1).

(12). Таким образом задача (1), (3) свелась к двухточечной задаче для системы дифференциальных уравнений второго порядка, которая изучена в известных работах .

Задать вопрос