Алгоритм решения прикладных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений четвертого порядка с методом дифференциальной прогонки | Статья в журнале «Молодой ученый»

Авторы: , ,

Рубрика: Технические науки

Опубликовано в Молодой учёный №6 (86) март-2 2015 г.

Дата публикации: 19.03.2015

Статья просмотрена: 753 раза

Библиографическое описание:

Олимов М., Жакбаров О. О., Ирискулов Ф. С. Алгоритм решения прикладных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений четвертого порядка с методом дифференциальной прогонки // Молодой ученый. — 2015. — №6. — С. 193-196. — URL https://moluch.ru/archive/86/16292/ (дата обращения: 18.10.2018).

Метод дифференциальной прогонки развивается для решения широкого класса краевых задач дифференциальных уравнений четвертого порядка с переменными коэффициентами. В ряде прикладных задач показывается эффективность предлагаемого метода как способа алгоритм решения подобных задач.

Ключевые слова:дифференциальная прогонка, задача Коши, метод Канторович — Власова, изгиб балки переменного сечения, цилиндрической оболочки переменной толщины, прямоугольной пластинки переменной жесткости.

 

Приближенные решения уравнений математической физики, дифференциальных и интегральных чаще всего строятся на основе так называемых прямых методов, позволяющих свести построение приближенного решения данной задачи к решению систем линейных (если данная задача также линейная) алгебраических уравнений. Как хорошо известно, прямые методы прекрасно зарекомендовали себя на практике и получили широкое распространение; чаще других используются различные варианты метода сеток. Однако наряду со многими достоинствами, прямые методы имеют и один важный недостаток: чтобы получить более высокую точность приближения, приходится повышать порядок алгебраической системы, что часто приводит к неустойчивости вычислительного процесса. Для метода сеток увеличение порядка алгебраической системы ведёт к увеличению числа ее обусловленностей, что влечет за собой накопление ошибок при решении системы и, как следствие понижение точности. Добавим к этому, что машинное решение алгебраических систем высокого порядка наталкивается еще на специфические трудности, связанные с ограниченностью памяти ЭВМ.

Высказанные здесь соображения делают, по-видимому, целесообразной попытку использовать для приближенного решения задач математической физики методы, не требующие применения систем алгебраических уравнений высоких порядков. В связи с этим в данной статье мы постараемся показать, как можно заменить линейные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений четвертого порядка задачами Коши, для решения которых существуют устойчивые численные методы. При этом будем пользоваться специальными преобразованиями искомых решений, сводящих краевые задачи к задачам Коши. Подобные преобразования для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка имеются в работах [1,2].

Будем рассматривать краевые задачи только для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений четвертого порядка с переменными коэффициентами. Распространение предлагаемого метода в сочетании с методом Канторовича — Власова или методом прямых на уравнения с частными производными в ряде случаев очевидно.

Рассмотрим дифференциальное уравнение

                                             (1)

где -известные функции при различных граничных условиях.

I.          Пусть граничных условиях для уравнения (1) будут следующие:

                                                                                   (2)

Введя обозначения

                                                                                                     (3)

Напишем уравнение (1) в виде

                                                                      (4)

Где

                                                             (5)

Ищем решение уравнение (4)

                                                                                             (6)

С начальным условием

                                                                                                                       (7)

Где - 2-мерная матрица, - 2-мерный вектор. Тогда для нахождения  и получим уравнения

                                                                       (8)

С начальными условиями

                                                                                                            (9)

Таким образом, краевая задача (1)-(2) свелась к задачам Коши (6)-(7), (8)-(9).

Применяем изложенных методов к некоторым задачам теории упругости.

1. Изгиб балки переменного сечения, лежащей на упругом основании. Основное разрешаемое уравнение-

                                                                   (10)

где Е — модуль упругости, - момент инерции сечения, - переменный коэффициент.

Если, балка свободно опертая, то граничные условия точно совпадают с граничными условиями (2).

Следовательно, полагая ,  и , из решений уравнения (1) найдем решения уравнения (3).

Если один край балки жестко защемлен, а другой — свободный, то граничные условия для уравнения (10) будут такие:

                               (11)

2. Изгиб цилиндрической оболочки переменной толщины под действием симметричной относительно оси нагрузки.

Основное разрешаемое уравнение имеет вид [3]

                                                                   (12)

где - переменная толщина, - радиус оболочки, - коэффициент Пуассона.

Уравнение (12) полностью идентично уравнению (16), поэтому решения о соответствующими граничными условиями получаем аналогичным образом.

3. Изгиб прямоугольной пластинки переменной жесткости.

Рассмотрим задачу об изгибе пластинки, когда жесткость является функцией от . Тогда основной разрежаемое уравнение данной задачи запишется так [3]:

                                       (13)

Граничные условия для пластинок следующие:

a)        жестко защемленной

 при ;                                                                                   (14)

b)        свободно опертой

 при ;                                            (15)

c)         свободной

 при ;                                                                 (16)

Решение уравнения (13) ищем в виде

                                                                                                 (17)

где - известные координатные функции, удовлетворяющие граничным условиям пластинки при y=0, y=b. Подставляя предполагаемое решение (17) и (13) и выполняя процедуры метода Канторовича — Власова, придем к уравнению

,                                          (18)

где

,

Таким образом, уравнения (10), (12) и (18) соответствующими граничными условиями с успехом могут быть решены предлагаемым методом.

 

Литература:

1.         С. С. Ирискулов, М. Олимов, К. Исманова, А. Имомов. Численные методы и алгоритмы. Учебное пособие., Наманган, Изд-во «Наманган», 2013, 278с.

2.         Олимов М., Каримов П., Исмоилов Ш.. К решению краевых задач пространственных стержней при переменных упруго-пластических нагружений с учетом разгрузки // Научно- технический журнал ФерПИ, Фергана — 2014. — № 3 — с. 113–116.

3.         Тимошенко С. П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М., «Наука», 1966.

Основные термины (генерируются автоматически): уравнение, задача, Решение уравнения, переменная толщина, предлагаемый метод, прямоугольная пластинка, переменное сечение, переменная жесткость, основное разрешаемое уравнение, алгебраическая система.


Похожие статьи

К расчету пластин переменной жесткости | Статья в журнале...

Основные термины (генерируются автоматически): система, предлагаемый метод, задача, краевая задача, квадратная матрица порядка, искомая величина, дифференциальное уравнение второго порядка, переменная жесткость, дифференциальная прогонка, вид.

Способы решения квадратных уравнений

Задача: найти все возможные способы решения квадратных уравнений и научиться их использовать самим и познакомить

Некоторые алгебраические приемы решения линейных и квадратных уравнений были известны еще 4000 лет назад в Древнем Вавилоне.

Трещины в композите, армированном однонаправленными...

Затем используя прямые методы, решение интегрального уравнения сведено к конечной алгебраической системе. Численная реализация изложенного способа приведена на IBM.

Исследование устойчивости конечно разностных схем для...

Рассматривается задача исследования устойчивости разностных схем для численного решения уравнений колебаний прямоугольной мембраны и прямоугольной пластины. Исследование проводится методом Неймана.

Численная реализация разностного метода решения одной...

В результате приближенное решение эллиптических задач сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений для значений искомой функции во внутренних узлах сетки.

О распространении гармонических волн в деформируемой...

Основные термины (генерируются автоматически): переменная толщина, спектральная задача, изменение толщины

К расчету пластин переменной жесткости. Применение унифицированных электронных модулей при создании генератора гармонических колебаний.

Методы решения нелинейных уравнений | Задачи работы

Изучить методы решения нелинейных уравнений: ‒ Шаговый метод.

При этом если уравнение содержит несколько переменных, нужно указать после ключевого слова solve список переменных, относительно которых решается уравнение.

Метод «переброски» при решении квадратных уравнений

. Далее уравнение решают устно описанным выше способом, затем возвращаются к исходной переменной и находят корни уравнений и . Применение метода «переброски» при решении квадратных уравнений или уравнений сводящихся к ним.

Введение адаптивных методов обучения при решении...

Рассмотрим закономерность формирования обобщенного приема решения уравнений содним неизвестным алгебраическим способом.

Таким образом, решение каждого уравнения складывается из двух основных частей

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

К расчету пластин переменной жесткости | Статья в журнале...

Основные термины (генерируются автоматически): система, предлагаемый метод, задача, краевая задача, квадратная матрица порядка, искомая величина, дифференциальное уравнение второго порядка, переменная жесткость, дифференциальная прогонка, вид.

Способы решения квадратных уравнений

Задача: найти все возможные способы решения квадратных уравнений и научиться их использовать самим и познакомить

Некоторые алгебраические приемы решения линейных и квадратных уравнений были известны еще 4000 лет назад в Древнем Вавилоне.

Трещины в композите, армированном однонаправленными...

Затем используя прямые методы, решение интегрального уравнения сведено к конечной алгебраической системе. Численная реализация изложенного способа приведена на IBM.

Исследование устойчивости конечно разностных схем для...

Рассматривается задача исследования устойчивости разностных схем для численного решения уравнений колебаний прямоугольной мембраны и прямоугольной пластины. Исследование проводится методом Неймана.

Численная реализация разностного метода решения одной...

В результате приближенное решение эллиптических задач сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений для значений искомой функции во внутренних узлах сетки.

О распространении гармонических волн в деформируемой...

Основные термины (генерируются автоматически): переменная толщина, спектральная задача, изменение толщины

К расчету пластин переменной жесткости. Применение унифицированных электронных модулей при создании генератора гармонических колебаний.

Методы решения нелинейных уравнений | Задачи работы

Изучить методы решения нелинейных уравнений: ‒ Шаговый метод.

При этом если уравнение содержит несколько переменных, нужно указать после ключевого слова solve список переменных, относительно которых решается уравнение.

Метод «переброски» при решении квадратных уравнений

. Далее уравнение решают устно описанным выше способом, затем возвращаются к исходной переменной и находят корни уравнений и . Применение метода «переброски» при решении квадратных уравнений или уравнений сводящихся к ним.

Введение адаптивных методов обучения при решении...

Рассмотрим закономерность формирования обобщенного приема решения уравнений содним неизвестным алгебраическим способом.

Таким образом, решение каждого уравнения складывается из двух основных частей

Задать вопрос