Библиографическое описание:

Олимов М., Каримов П., Исмоилов Ш. М., Ирискулов Ф. С. К вопросу численной реализации краевых задач для системы обыкновенных дифференциальных уравнений четвертого порядка // Молодой ученый. — 2017. — №7. — С. 1-6. — URL https://moluch.ru/archive/141/39215/ (дата обращения: 22.05.2018).



Рассматривается вопрос о построении приближенного решения линейных обыкновенных дифференциальных уравнений четвертого порядка. Излагаются два метода: метод конечных разностей и дифференциальной прогонки с модификацией матричного варианта.

Ключевые слова: аппроксимация, единичная матрица, матричная прогонка, случайная ошибка, векторно-разностные схемы

В данной работе рассматривается вопрос о построении приближенного решения линейных обыкновенных дифференциальных уравнений четвертого порядка с переменными коэффициентами и сравнительно общими краевыми условиями. При этом авторы сочли возможным и заложить сразу два метода построения, чтобы выявить применительно к приведенным краевым задачам эффективность применения того или другого метода. Первый из них — метод конечных разностей с модификацией матричного варианта прогонки. Второй алгоритм базируется на использовании матричного варианта дифференциальной прогонки. Частный случай применения этих методов к численному решению уравнений четвертого порядка приводится в работах. [1, 3]

Постановка задачи:

Требуется определить в области [a, b] неизвестный вектор функции удовлетворяющей системе дифференциальных уравнений:

(1)

Записанной в матричной форме при граничных условиях

(2)

(3)

где

заданные квадратные матрицы в порядке ; f(x) и – мерные векторы функции, причем существует матрица для всех X[a,b] а также рассматривается система дифференциальных уравнений вида

(4)

(5)

Соответствующими граничными условиями

(6)

Гдеi=

искомые векторы.

Будем предполагать, что на отрезке [a, b] решение задач (1)-(3), а также (4)-(6) существует и единственно. Гладкость входных данных и решения задач предположим такими, какие нам будут нужны в каждом случае.

Метод конечных разностей. Введя обозначение

(7)

уравнение (1) перепишем:

(8)

Построим равномерную сетку с шагом h:

Согласно методу баланса (1) из второго уравнения (8) с погрешностью аппроксимации имеем [2]

(9)

Здесь:

-единичная матрица.

Проделав аналогичную процедуру с первым уравнением (8) и обозначив

(10)

Представим первое уравнение (8) и уравнение (9) в виде [4]

i=1,2,…,N-1(11)

Где:

Здесь для нахождения N+1 неизвестных векторов имеем N-1 матричных уравнений, а недостающие уравнения получаем из граничных условий (2) и (3) с учетом уравнения (7), используя при зетом трехточечную аппроксимацию для значений производных и W'(x) c точностью

(12)

Где:

Итак, мы полностью сформулировали разностную задачу (11) – (12), решение которой, исходя из метода матричной прогонки [4], ищем в виде

i=1,2,…,N-1(13)

Где p,s=1,2,…,2n;

Соответственно матричные и векторные про гоночные коэффициенты, определяемые из соотношений

(14)

Формулы для вычисления значений и , дающие возможность начать счет для про гоночных коэффициентов по формулам (14), получим так: умножим слева на уравнение (11) при i=I матрицу и, отнимая найденное соотношение от первого уравнения (12), приходим к равенству

(15)

Сопоставляя соотношение (15) с формулой (13) при i=I, имеем

Определив значения и для всех I, затем решая уравнения

совместно со вторим уравнением (12) получаем

Далее с помощью обратной прогонки (13) вычислим После этого найдем по формуле

Заметим, что в процессе реализации на компьютере метода матричной прогонки необходимо проверить выполнение условий [1]

которые обеспечивают устойчивость изложенного метода по отношению к случайной ошибке. При этом во всех точках выполняется неравенство

Перейдем к построению численного решения дифференциальной краевой задачи (4)-(6). Легко заметить, что в этом случае после некоторых преобразований решение задачи (4)-(6) может быть сведено к описанным выше вычислительным алгоритмам.

Действительно, сделав в уравнениях (4)-(6) замену переменной перепишем систему (4)-(5):

(16)

С граничными условиями

(17)

Где:

Далее в задаче (16)-(17) введя обозначение:

(18)

Получаем:

(19)

(20)

Здесь i=1,2,3; j=0,1,2.

Теперь для задачи (19)-(20) можно применить абсолютно устойчивые векторно-разностные схемы с точностью предложенные И.В. Фрязиновым в Первой всесоюзной школе по численным методам математической физики в Казани

Здесь, вводя обозначения Приходим к разностным задачам:

(21)

Где ;

Матричная дифференциальная прогонка. В ряде случаев для построения решения задачи (1)-(3) целесообразно применение метода дифференциальной прогонки . Для удобства изложения рассмотрим случай (21) при Уравнение (1) примет вид

(22)

Имея в виду (7) и вводя в полученное выражение обозначение из (22), имеем:

Где

Литература:

  1. Олимов М, Жакбаров О. О., Ирискулов Ф. С. Алгоритм решения прикладных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений четвертого порядка с методом дифференциальной прогонки «Молодой ученый» Ежемесячный научный журнал № 6(86) / 2015 г. часть 2.
  2. М. Олимов, Исмонова К., Каримов П., Исмоилов Ш. Математические пакеты прикладных программ. Учебное пособие. Типография «Тафаккур бўстони» Ташкент. 2015.
  3. М. Олимов, П. Каримов, Ш. Исмоилов. «К решению краевых задач пространственных стержней при переменных упруго-пластических нагружённый с учетом разгрузки». Научно-технический журнал. Ферганский политехнический институт. 2014. № 4.
  4. Олимов М., Ирискулов С., К. Исманова, А. Имомов. «Численные методы и алгоритмы». Учебное пособие. «Наманган». 2013.
Основные термины (генерируются автоматически): дифференциальных уравнений, обыкновенных дифференциальных уравнений, дифференциальной прогонки, линейных обыкновенных дифференциальных, матричного варианта, конечных разностей, решения линейных обыкновенных, модификацией матричного варианта, метод конечных разностей, Исмоилов Ш, краевых задач, дифференциальных уравнений вида, матричного варианта дифференциальной, системе дифференциальных уравнений, системы обыкновенных дифференциальных, метода дифференциальной прогонки, матричного варианта прогонки, дифференциальной краевой задачи, численному решению уравнений, Каримов П.


Ключевые слова

аппроксимация, единичная матрица, матричная прогонка, случайная ошибка, векторно-разностные схемы

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle
Задать вопрос