Некоторые общие положения методики составления и решения дифференциальных уравнений в прикладных задачах | Статья в журнале «Молодой ученый»

Авторы: ,

Рубрика: Технические науки

Опубликовано в Молодой учёный №19 (78) ноябрь-2 2014 г.

Дата публикации: 17.11.2014

Статья просмотрена: 587 раз

Библиографическое описание:

Сухов Я. И., Гарькина И. А. Некоторые общие положения методики составления и решения дифференциальных уравнений в прикладных задачах // Молодой ученый. — 2014. — №19. — С. 243-245. — URL https://moluch.ru/archive/78/13698/ (дата обращения: 17.10.2018).

Составление дифференциального уравнения по условию задачи чаще всего состоит в определении математической зависимости между переменными величинами и их приращением [1]. Умение составить дифференциальное уравнение во многом зависит от навыка и понимания решающим физического содержания задачи.

Методика составления и решения дифференциального уравнения сводится к следующему:

-          внимательному и подробному разбору условий задачи и выполнению чертежа;

-          составлению соотношения между переменными и их приращениями для элементарного акта процесса (то есть процесса, протекающего за малый промежуток времени, или, в общем случае, в течение малого приращения аргумента);

-          составлению дифференциального уравнения рассматриваемого процесса;

-          интегрированию составленного дифференциального уравнения и определению его общего решения;

-          исследованию общего решения;

-          определению вспомогательных параметров (если они есть по условию задачи);

-          выводу закона, определению частного решения дифференциального уравнения при заданных начальных условиях и числовому определению искомых величин (если это требуется по условию задачи);

-          анализу ответа.

Составив соотношение между переменными величинами и их приращениями для элементарного акта процесса, переходят к пределу при стремлении приращения аргумента к нулю, получают дифференциальное уравнение в дифференциалах. Интегрирование полученного уравнения позволяет, объединив совокупность элементарных актов процесса, получить зависимость, которой подчиняется данный процесс в целом.

Иногда делается ряд допущений, упрощающих задачу, но не отражающихся в результатах. Например, бесконечно малые приращения величин заменяются их дифференциалами. Предполагается, что всякий физический процесс, рассматриваемый в течение бесконечно малого промежутка времени , протекает с постоянной скоростью, и т. д.

Кроме того, при составлении дифференциального уравнения задачи, в зависимости от её условия, используются известные законы физики, химии, механики и других наук и различные математические сведения.

Обычно для заданных дифференциальных уравнений (или системы уравнений) определяются их решения (прямые задачи теории дифференциальных уравнений; в обратных задачах решения известны и требуется определить неизвестные структуру, порядок и параметры этого уравнений (или системы); эти задачи иначе называются задачами идентификации).

С точки зрения соотношения «причина-следствие» задачи математического моделирования условно разделяются на два больших класса: прямые задачи (известны причины, необходимо найти следствия) и обратные (известны следствия, нужно найти причины). Обычно обратными задачами называются задачи, решение которых состоит в определении причинно-следственных связей в рамках некоторой математической модели исследуемого объекта или процесса (определяются параметры данной модели по имеющимся результатам наблюдений и прочей экспериментальной информации).

Приведем простейший пример обратной задачи. Радиоактивный распад описывается физическим законом: скорость распада пропорциональна количеству радиоактивного вещества, имеющемуся в данный момент времени. Математической моделью этого процесса является решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения

,

где  — количество вещества в данный момент времени, - количество радиоактивного вещества в начальный момент времени, коэффициент пропорциональности - коэффициент распада. Если постоянные  и  известны, то, решив задачу Коши, можно определить, как будет меняться количество радиоактивного вещества с течением времени. Обратная же задача заключается в определении коэффициента  и начальных данных  по дополнительной информации о решении  при  (когда  и  неизвестны, но из эксперимента можно определить  для ).

Далее рассмотрим ретроспективную идентификацию динамической системы, описываемой системой дифференциальных уравнений второго порядка. А именно, в результате эксперимента были определены осциллограммы колебаний технической системы по обобщенным координатам  и их скоростям  при пробных воздействиях [2,3]. Требуется определить параметры технической системы в предположении, что ее поведение описывается системой дифференциальных уравнений вида:

                                                                                                                            (1)

или в векторно-матричной форме =, или

, .

Уравнения (1) определяют класс и структуру рассматриваемой технической системы. Таким образом, требуется определить параметры этой системы (коэффициенты  уравнений (1)) по синхронным измерениям

,

при «пробных воздействиях» (начальных условиях)

                                                                                           (2)

Характеристическое уравнение системы (1) имеет вид

,

а корни этого уравнения есть

,

где - соответственно собственная частота и относительный коэффициент демпфирования .

Справедливо:

;

.                                                                                                      (3)

Введя = (след матрицы) и =, (3) можно представить в виде

.                                                                                                         (4)

Откуда

.

Решение системы (1), удовлетворяющее начальным условиям (2), имеет вид:

;

.                                                                                                       (5)

По осциллограмме  легко определить  и , откуда

.

Отметим, что кривая  соответствует реальному процессу, происходящему в рассматриваемой технической системе, то есть является реакцией системы по координате  при пробных воздействиях (2). А , определяемые по (5), являются лишь приближением — моделями процессов  и  в выбранном классе, определяемом видом системы (1).

Из (1) имеем

;

.

С учетом (2), (4) получим:

; ; ; .

Таким образом, при известной структуре системы дифференциальных уравнений по заданному ее решению при начальных условиях

,

определили неизвестные параметры  технической системы. Отметим, что при этом кроме  и  для определения  потребовались и синхронные реализации  (во всяком случае, в окрестности ). Рассмотренная задача — есть частная задача параметрической идентификации или частная задача идентификации. Если бы вид систем уравнений, решением которой являются экспериментальные процессы , был неизвестен, то задача значительно усложнилась бы (это общая задача идентификации).

Как видим, в отличие от задач прямого моделирования обратные задачи относятся к классу «некорректных» (в математическом смысле), в частности неустойчивых относительно погрешностей входных данных. Для корректности постановки задачи необходимо:

-        существование решения при всех допустимых исходных данных;

-        единственность данного решения;

-        устойчивость решения к изменениям (малым) исходных данных.

Если задача не удовлетворяют хотя бы одному из указанных условий, то она называется некорректно поставленной.

Некорректность присуща обратным задачам почти всегда; в одних случаях она может быть преодолена весьма просто, в других вообще требует переосмысления понятия самого решения

Из указанного следует, если при приближенном решении обратной задачи использовать какой-либо классический алгоритм формально без учета некорректности задач, то возможно получение результата, не имеющего ни научной, ни прикладной ценности. Игнорировать некорректность постановки задачи нельзя. Для ее преодоления имеются два пути:

-          корректная постановка задачи, основанная на привлечении дополнительной информации об искомом решении;

-          управление классическими алгоритмами некорректно поставленной задачи.

При идентификации рассмотренной выше системы второго порядка использовалась дополнительная информация об искомом решении: результаты экспериментальных исследований практически совпали с теоретическим решением системы (1) при заданных начальных условиях [4].

 

Литература:

 

1.                  Данилов А. М. Данилов А. М., Фадеева Г. Д. Дифференциальные уравнения. — Пенза: ПГАСА. — 1997. — 144 с.

2.                  Данилов А. М., Гарькина И. А., Домке Э. Р. Математическое и компьютерное моделирование сложных систем. — Пенза: ПГУАС. — 2011. — 296 с.

3.                  Данилов А. М., Гарькина И. А. Интерполяция, аппроксимация, оптимизация: анализ и синтез сложных систем: монография. — Пенза: ПГУАС. –2014. — 168 с.

4.                  Математические методы в строительном материаловедении: монография / И. А. Гарькина [и др.]; под ред. акад. РААСН В. И. Соломатова. — Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. — 2001. — 188 с.

Основные термины (генерируются автоматически): дифференциальное уравнение, задача, техническая система, радиоактивное вещество, условие задачи, дополнительная информация, математическая модель, общее решение, искомое решение, обратная задача.


Похожие статьи

Решение методом продолжения задач математической физики...

Для дифференциальных уравнений различают три типа задач: задача Коши; краевая задача; смешанная задача.

Общее решение этого уравнения имеет следующий вид: Используя это решение, мы можем решить задачу Коши.

Разрешимость одной краевой задачи для... | Рубрика: Математика

Ключевые слова: краевая задача, линейный оператор, функционально-дифференциальное уравнение.

Предложение 5. [1] является решение уравнения (8) тогда и только тогда, когда является решением задачи (3).

Априорная оценка для решения первой краевой задачи для...

Краевая задача: Найти функцию , удовлетворяющую в области уравнению (1), а при граничному условию

Экстремальные свойства решений одной краевой задачи для системы уравнений смешанного типа.

Разностная краевая задача для уравнения смешанного типа

Краевая задача: Найти в области решение уравнение (1) условие

Здесь через обозначено пространство Соболева с весом, которое получается замыканием класса дважды непрерывно дифференцируемых в функций, удовлетворяющих условию (2) по норме

Модульный анализ сеточных методов решения...

Исходная дифференциальная задача аппроксимируется системой сеточных уравнений, которую можно записать в виде: (1). где — совокупность номеров узлов, составляющих сеточный шаблон для -го узла в момент...

Применение метода вариационных итераций к приближенному...

..., Точное решение задачи имеет вид: Пример 2. Рассмотрим следующую начальную задачу с неоднородным линейным ОДУ второго порядка с переменными коэффициентами.

Решение системы нелинейных дифференциальных уравнений высших порядков.

Возможные методы решения математических задач...

Мы начнем с задачи исследования сингулярных множеств решений системы Навье-Стокса.

Исследование подходов к решению задач математической физики на примере уравнения колебаний прямоугольной мембраны.

Решение дифференциальных уравнений методом...

дифференциальное уравнение, уравнение, функция, решение, обыкновенное дифференциальное уравнение, область Г плоскости, неизвестная функция, математическая модель, интервал, эта.

Коррекция динамических погрешностей измерительных...

Возникает задача интерпретации зарегистрированного выходного сигнала ИП, в котором содержится истинная и ложная информация об исследуемом процессе. Если известна дополнительная априорная информация (в частности, математическая модель ИП)...

Решение методом продолжения задач математической физики...

Для дифференциальных уравнений различают три типа задач: задача Коши; краевая задача; смешанная задача.

Общее решение этого уравнения имеет следующий вид: Используя это решение, мы можем решить задачу Коши.

Априорная оценка для решения первой краевой задачи для...

Краевая задача: Найти функцию , удовлетворяющую в области уравнению (1), а при граничному условию

Экстремальные свойства решений одной краевой задачи для системы уравнений смешанного типа.

Разрешимость одной краевой задачи для... | Рубрика: Математика

Ключевые слова: краевая задача, линейный оператор, функционально-дифференциальное уравнение.

Предложение 5. [1] является решение уравнения (8) тогда и только тогда, когда является решением задачи (3).

Разностная краевая задача для уравнения смешанного типа

Краевая задача: Найти в области решение уравнение (1) условие

Здесь через обозначено пространство Соболева с весом, которое получается замыканием класса дважды непрерывно дифференцируемых в функций, удовлетворяющих условию (2) по норме

Модульный анализ сеточных методов решения...

Исходная дифференциальная задача аппроксимируется системой сеточных уравнений, которую можно записать в виде: (1). где — совокупность номеров узлов, составляющих сеточный шаблон для -го узла в момент...

Применение метода вариационных итераций к приближенному...

..., Точное решение задачи имеет вид: Пример 2. Рассмотрим следующую начальную задачу с неоднородным линейным ОДУ второго порядка с переменными коэффициентами.

Решение системы нелинейных дифференциальных уравнений высших порядков.

Возможные методы решения математических задач...

Мы начнем с задачи исследования сингулярных множеств решений системы Навье-Стокса.

Исследование подходов к решению задач математической физики на примере уравнения колебаний прямоугольной мембраны.

Решение дифференциальных уравнений методом...

дифференциальное уравнение, уравнение, функция, решение, обыкновенное дифференциальное уравнение, область Г плоскости, неизвестная функция, математическая модель, интервал, эта.

Численная реализация разностного метода решения одной...

Постановка задачи [2]. Требуется построить разностную схему для решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа

искомая функция, которая удовлетворяет дифференциальному уравнению в заданной области и краевым условиям на границе данной области.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

Решение методом продолжения задач математической физики...

Для дифференциальных уравнений различают три типа задач: задача Коши; краевая задача; смешанная задача.

Общее решение этого уравнения имеет следующий вид: Используя это решение, мы можем решить задачу Коши.

Разрешимость одной краевой задачи для... | Рубрика: Математика

Ключевые слова: краевая задача, линейный оператор, функционально-дифференциальное уравнение.

Предложение 5. [1] является решение уравнения (8) тогда и только тогда, когда является решением задачи (3).

Априорная оценка для решения первой краевой задачи для...

Краевая задача: Найти функцию , удовлетворяющую в области уравнению (1), а при граничному условию

Экстремальные свойства решений одной краевой задачи для системы уравнений смешанного типа.

Разностная краевая задача для уравнения смешанного типа

Краевая задача: Найти в области решение уравнение (1) условие

Здесь через обозначено пространство Соболева с весом, которое получается замыканием класса дважды непрерывно дифференцируемых в функций, удовлетворяющих условию (2) по норме

Модульный анализ сеточных методов решения...

Исходная дифференциальная задача аппроксимируется системой сеточных уравнений, которую можно записать в виде: (1). где — совокупность номеров узлов, составляющих сеточный шаблон для -го узла в момент...

Применение метода вариационных итераций к приближенному...

..., Точное решение задачи имеет вид: Пример 2. Рассмотрим следующую начальную задачу с неоднородным линейным ОДУ второго порядка с переменными коэффициентами.

Решение системы нелинейных дифференциальных уравнений высших порядков.

Возможные методы решения математических задач...

Мы начнем с задачи исследования сингулярных множеств решений системы Навье-Стокса.

Исследование подходов к решению задач математической физики на примере уравнения колебаний прямоугольной мембраны.

Решение дифференциальных уравнений методом...

дифференциальное уравнение, уравнение, функция, решение, обыкновенное дифференциальное уравнение, область Г плоскости, неизвестная функция, математическая модель, интервал, эта.

Коррекция динамических погрешностей измерительных...

Возникает задача интерпретации зарегистрированного выходного сигнала ИП, в котором содержится истинная и ложная информация об исследуемом процессе. Если известна дополнительная априорная информация (в частности, математическая модель ИП)...

Решение методом продолжения задач математической физики...

Для дифференциальных уравнений различают три типа задач: задача Коши; краевая задача; смешанная задача.

Общее решение этого уравнения имеет следующий вид: Используя это решение, мы можем решить задачу Коши.

Априорная оценка для решения первой краевой задачи для...

Краевая задача: Найти функцию , удовлетворяющую в области уравнению (1), а при граничному условию

Экстремальные свойства решений одной краевой задачи для системы уравнений смешанного типа.

Разрешимость одной краевой задачи для... | Рубрика: Математика

Ключевые слова: краевая задача, линейный оператор, функционально-дифференциальное уравнение.

Предложение 5. [1] является решение уравнения (8) тогда и только тогда, когда является решением задачи (3).

Разностная краевая задача для уравнения смешанного типа

Краевая задача: Найти в области решение уравнение (1) условие

Здесь через обозначено пространство Соболева с весом, которое получается замыканием класса дважды непрерывно дифференцируемых в функций, удовлетворяющих условию (2) по норме

Модульный анализ сеточных методов решения...

Исходная дифференциальная задача аппроксимируется системой сеточных уравнений, которую можно записать в виде: (1). где — совокупность номеров узлов, составляющих сеточный шаблон для -го узла в момент...

Применение метода вариационных итераций к приближенному...

..., Точное решение задачи имеет вид: Пример 2. Рассмотрим следующую начальную задачу с неоднородным линейным ОДУ второго порядка с переменными коэффициентами.

Решение системы нелинейных дифференциальных уравнений высших порядков.

Возможные методы решения математических задач...

Мы начнем с задачи исследования сингулярных множеств решений системы Навье-Стокса.

Исследование подходов к решению задач математической физики на примере уравнения колебаний прямоугольной мембраны.

Решение дифференциальных уравнений методом...

дифференциальное уравнение, уравнение, функция, решение, обыкновенное дифференциальное уравнение, область Г плоскости, неизвестная функция, математическая модель, интервал, эта.

Численная реализация разностного метода решения одной...

Постановка задачи [2]. Требуется построить разностную схему для решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа

искомая функция, которая удовлетворяет дифференциальному уравнению в заданной области и краевым условиям на границе данной области.

Задать вопрос