Возможные методы решения математических задач гидродинамики и подобных им задач математической физики | Статья в журнале «Молодой ученый»

Авторы: ,

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №24 (104) декабрь-2 2015 г.

Дата публикации: 18.12.2015

Статья просмотрена: 129 раз

Библиографическое описание:

Золотухина В. Г., Сильченко Е. Б. Возможные методы решения математических задач гидродинамики и подобных им задач математической физики // Молодой ученый. — 2015. — №24. — С. 4-8. — URL https://moluch.ru/archive/104/24542/ (дата обращения: 17.07.2018).

 

Рассматривается ряд важных гидродинамических задач, обсуждаются возможные пути их решения.

Ключевые слова: уравнение Навье-Стокса, Эйлера, Шрёдингера, Бюргерса, Россби, сингулярное множество.

 

В начале третьего тысячелетия математический институт Клэя поставил перед математическим сообществом 7 важных «классических» математических задач, решение которых не найдено в течение многих лет. Одна из них (гипотеза Пуанкаре) была решена российским математиком Г. Я. Перельманом в 2002 году. В настоящей работе мы коснемся некоторых аспектов другой задачи из этого списка — проблемы решения системы уравнений Навье-Стокса. Поскольку система Навье-Стокса описывает движение жидкости, то мы также будем рассматривать и другие общие задачи гидродинамики, включая газовую динамику и математическую теорию турбулентности.

Классическая система уравнений Навье-Стокса имеет вид

Здесь предполагается, что плотность жидкости постоянна и равна единице, а также что вязкость тоже равна единице. Задача разрешимости этой системы является шестой проблемой в списке великих проблем тысячелетия, сформулированных математическим институтом Клэя. В настоящей работе мы попытаемся представить некоторые методы и подходы, которые хотя и не решают данную проблему, но могут внести существенный вклад в решение смежных задач гидродинамики, которые тоже очень интересны и, возможно, могут быть решены полностью или хотя бы частично.

Мы начнем с задачи исследования сингулярных множеств решений системы Навье-Стокса. Сингулярное множество решения — это множество, на котором решение является неограниченным в том смысле, что в окрестности любой точки дополнения (к сингулярному множеству) решение является ограниченной функцией. Заметим, что из этого определения следует, что сингулярное множество всегда замкнуто. Оказывается, что для решения проблемы Навье-Стокса достаточно показать, что сингулярное множество пусто (см. [5], [8] и ссылки в этих работах). Возникает «попутная» задача: доказать, что это множество «не очень большое». В работе [5] рассматриваются ситуации, при которых возможно показать, что Хаусдофова размерность сингулярного множества решения системы Навье-Стокса не превышает единицу. Более того, одномерная Хаусдорфова мера этого множества равна нулю. Это тесно связано с классической теоремой сильно-слабой единственности, которая заключается в том, что если имеются слабое решение и сильное решение с теми же начальными данными, то они совпадают. В частности, оба являются сильными решениями. Поэтому, если удастся показать наличие решения с пустым сингулярным множеством, то оно будет сильным (классическим), и поэтому любое другое решение совпадет с этим.

Математическая теория турбулентности находится очень близкой и тесной связи с классической теорией системы Навье-Стокса, которая описывает движение жидкости. Возможно, именно феномен турбулентности не позволяет найти положительное решение для классической задачи Навье-Стокса. Что же такое турбулентность в этих задачах? Если говорить очень упрощенно, то согласно закону Колмогорова-Обухова и следствиям из него, турбулентность — это особый закон поведения преобразования Фурье решения системы Навье-Стокса. Первоначально этот закон был экспериментальным (с математической точки зрения — всего лишь гипотезой), причем с некоторыми параметрами, которые тоже устанавливаются экспериментально. В работах [1] и [8] показывается, как он может быть получен, исходя из математических уравнений, и дается оценка параметров. Интересно, что такой подход может быть применен не только к решениям уравнений Навье-Стокса, но и ко многим другим уравнениям математической физики. Например, к уравнениям Шрёдингера [6], Бюргерса [2]. Турбулентность в уравнении Бюргерса называется «Бюргулентностью». Статистический подход к двумерной турбулентности в уравнении Эйлера описывается в [3]. Важную роль в подходах к установлению единственности и регулярности решений уравнений математической физики играют различные априорные оценки [7], [9], [10].

Еще более сложным, чем уравнение Навье-Стокса, является уравнение Больцмана, которое описывает движение газов с учетом взаимодействия между молекулами. Уравнение Больцмана описывает эволюцию плотности распределения вещества в шестимерном фазовом пространстве координаты-скорость и выглядит следующим образом:

Здесь , , , функция имеет смысл плотности в фазовом пространстве. Задав начальную плотность в момент времени и решив задачу Коши, мы будем знать, что будет происходить в момент времени t в каждой точке пространства. В частности, для каждой точки x мы будем знать в какую сторону, с какой скоростью и сколько вещества движется. Квадратичный оператор Q — это оператор взаимодействия молекул Максвелла-Больцмана, который иногда называют больцмановским оператором столкновений:

Здесь для краткости опущены аргументы x и t. Штрихованные аргументы скорости, появляющиеся в правой части удовлетворяют соотношениям рассеяния:

и являются функциями от не штрихованных аргументов:

Через обозначается стандартная единичная сфера в трехмерном пространстве. Функция двух переменных K называется ядром больцмановского оператора столкновений. Конкретный ее вид определяется физическими характеристиками вещества и другими предположениями. Например, если , то это означает, что столкновений нет, и вещество может свободно пролетать сквозь себя, без взаимодействий. Интересен случай, когда . Однако, в силу сложности поставленной задачи, приходится делать различные предположения относительно ядра K, которые могут быть не всегда физичными. Наиболее популярные предположения заключаются в том, что ядро К обращается в ноль в окрестности нуля и бесконечности и ограниченно в целом. Заметим, что тогда, как для уравнений Навье-Стокса, фазовое пространство является трехмерным, то для уравнения Больцмана фазовое пространство является шестимерным, поскольку в каждой точке пространства описывается распределение плотности вещества по скоростям (т. е. добавляется еще три координаты). Из-за сложности задачи пока удается решить лишь различные частные случаи. В работе [4] исследуется уравнение Больцмана в предположении, что вещество распределено одинаково по переменным x2 и x3, но произвольно по x1. При этом ограничений на вещество по координатам скорости v1, v2, v3 не накладывается. Поэтому в работе [4] изучается динамика в четырехмерном фазовом пространстве.

Еще одним проявлением феноменов гидро и газовой динамики в больших (планетарных) масштабах, учитывающих влияние силы Корриолиса на движение среды, описывается уравнением Россби, которое в простейшем виде выглядит следующим образом:

В случае, когда x — двумерная координата, т. е. ; функция u является функцией тока поля скоростей среды, т. е. само поле скоростей имеет вид . При этом выписанное уравнение Россби интересно и в многомерном случае (). Функция f описывает различные внешние возмущения. Будем интересоваться решением уравнения Россби в ограниченной области , граница которой  — кусочно-гладкая поверхность. Следуя [15], классическим решением задачи Дирихле для уравнения Россби будем называть функцию , которая удовлетворяет уравнению Россби в классическом смысле (поточечно), начальному условию и граничному условию . Кроме этого, обобщенным решением назовем функцию , если для любой функции и для любого выполнено интегральное соотношение:

Следующее утверждение устанавливает связь между понятиями обобщенного и классического решения.

Теорема 1. Если , то функция будет являться классическим решением тогда и только тогда, когда она будет являться обобщенным.

Доказательство. Если , то для любой функции и для любого момента времени t справедливы равенства:

Здесь для краткости опущены аргументы (x,t) функции u и аргумент x функции h. Точка обозначает обычное (не скалярное) умножение. Таким образом, мы доказали равенство

Вычтя из этого равенства интегральное соотношение, определяющее понятие обобщенного решения, получим эквивалентное равенство:

Таким образом, для функций определение обобщённого решения можно заменить на только что полученное. С другой стороны, в силу произвольности и , последнее равенство эквивалентно исходному уравнению Россби. Для завершения доказательства, остается заметить, что для функций принадлежность пространству равносильно условию . Теорема доказана.

Доказанная теорема играет важную роль в теории уравнения Россби, поскольку она позволяет перенести классическую постановку задачи на «операторный язык». Происходит это потому, что обобщенная постановка задачи для уравнения Россби эквивалента задаче Коши для обыкновенного дифференциального уравнения в банаховом пространстве :

Теорема 2. Функция удовлетворяет указанным выше соотношениям тогда и только тогда, когда она является обобщенным решением уравнения Россби.

Для доказательства теоремы нужно разобраться с обозначениями. Оператор

ставит в соответствие правой части обобщенное решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона

Иными словами, тогда и только тогда, когда для любой функции (Q) справедливо интегральное тождество:

Доказательство теоремы 2 заключается в сопоставлении этого тождества и тождества определяющего понятие обобщенного решения.

Оператор является непрерывным в указанных пространствах, что позволяет эффективно реализовывать различные численные и аналитические методы, разработанные для обратного лапласиана, применительно к уравнению Россби, например, метод точечных потенциалов [11–16].

 

Литература:

 

1.        Бирюк А. Э. О пространственных производных решений уравнения Навье-Стокса с малой вязкостью // Успехи математических наук. — 2002. — Т. 57. — № 1. — c. 147–148.

2.        Biryuk A. Note on the transformation that reduces the Burgers equation to the heat equation // preprint — 2003. — mp_arc:03–370

3.        Biryuk A. On invariant measures of the 2D Euler equation // Journal of Statistical Physics. — 2006. — Т. 122. — № 4. — c. 597–616.

4.        Biryuk A., Craig W., Panferov V. Strong solutions of the Boltzmann equation in one spatial dimension // Comptes Rendus Mathematique. — 2006. — Т. 342. — № 11. — с. 843–848.

5.        Biryuk A., Craig W., Ibrahim S. Construction of suitable weak solutions of the Navier-Stokes equations // Contemporary Mathematics. — 2007. — V. 429. — c. 1–18.

6.        Biryuk A. Lower bounds for derivatives of solutions for nonlinear Schrödinger equations // Proceedings of the Royal Society of Edinburgh. Section A: Mathematics. — 2009. — V. 139. — № 2. c. 237–251.

7.        Biryuk A. Аn optimal limiting 2D Sobolev inequality // Proceedings of the American Mathematical Society. — 2010. — V. 138. — № 4. — c. 1461–1470.

8.        Biryuk A., Craig W. Bounds on Kolmogorov spectra for the Navier-Stokes equations // Physica D: Nonlinear Phenomena. — 2012. — Т. 241. — № 4. — c. 426–438.

9.        Левицкий Б. Е. Оценки модулей семейств поверхностей, огибающих препятствия. // Сибирский математический журнал. 1990. Т. 31. № 6. С. 104–112.

10.    Левицкий Б. Е., Бирюк А. Э. Cравнение решений нелинейных дифференциальных уравнений с «нагруженными» множествами уровня // Геометрический анализ и его приложения. Материалы II международной конференции, г. Волгоград, 26–30 мая 2014 г. — 2014. — c. 92–94.

11.    Свидлов А. А. Вихревое обтекание острова в канале // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. — 2006. — Спец. выпуск. — c. 141–143.

12.    Свидлов А. А. О начально-краевой задаче для уравнения Россби в ограниченной области // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. — 2008. — № 3. — с. 48–52.

13.    Свидлов А. А. О второй начально-краевой задаче для уравнения Россби в ограниченной области // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. —2009. — № 3. — с. 80–84.

14.    Свидлов А. А., Бирюк А. Э., Дроботенко М. И. Негладкое решение уравнения Россби // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. — 2013. — № 2. — c. 89–94.

15.    Свидлов А. А. Решение линейного уравнения Россби в ограниченной области // Ученые записки Казанского университета. Серия: Физико-математические науки. —2013. —Т. 155. —№ 3. —с. 142–149.

16.    Свидлов А. А., Дроботенко М. И., Бирюк А. Э. Множество единственности потенциала простого слоя // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. — 2015. — № 2. — с. 77–81.

Основные термины (генерируются автоматически): функция, уравнение, фазовое пространство, сингулярное множество, обобщенное решение, решение, момент времени, уравнение Навье-Стокса, интегральное соотношение, газовая динамика.


Ключевые слова

уравнение Навье-Стокса, Эйлера, Шрёдингера, Бюргерса, Россби, сингулярное множество.

Похожие статьи

Об одном из методов решения уравнения НавьеСтокса

In this article was presented solving the equations of Nave — Stocks with the help of actually packs activity. Discussed the analyses of speed epicures. Ключевые слова: MathCAD, численные методы, Навье-Стокс, движения, скорость.

Анализ уравнения, моделирующего волновые движения...

Анализ уравнения, описывающего динамическое деформирование в слое микроразрушенной среды. Об одном из методов решения уравнения НавьеСтокса. Диофантовы уравнения: от древности до наших дней.

Регуляризация решения неклассического интергального...

Наряду с уравнением (1) рассмотрим уравнение. (2). где, - решение уравнения (1). Его решение будем искать в виде (3).

Об одном из методов решения уравнения НавьеСтокса.

Исследование статической задачи несимметричной теории...

После дифференцирования уравнений (1.35) и (1.36) по и подстановки соотношений (1.37), (1.38) получается.

«Новая» постановка задачи заключается в отыскании 12 независимых компонент симметричных тензоров , из решения 12 обобщенных уравнений совместности...

Совместная задача газовой динамики и теории упругости...

Поэтому определение поля давлений в конкретный момент времени представляет собой краевую задачу решения уравнения Рейнольдса (2). Обобщенное уравнение Рейнольдса, в цилиндрических координатах имеет вид

Управление движением вращающегося тела с полостью, частично...

Ключевые слова: уравнения Навье-Стокса, принцип максимума Понтрягина, вихревые движения жидкости.

В пространстве Лапласа характеристическое уравнение системы (11) при имеет вид (при ).

Возмущение как функция управляющего момента.

Разрешимость одной краевой задачи для...

Тогда уравнение (1) имеет хотя бы одно решение для любого . Уравнение (1) эквивалентно уравнению (2).

— измеримая функция, такая, что существует ограниченная в существенном на производная Радона-Никодима функция множества удовлетворяет условиям Каратеодори...

Интегрирование уравнений динамики твердого тела

Определим проекции кинетического момента (обобщенные импульсы) через производные функций углов

Решение дифференциальных уравнений методом последовательностей.

Организация приближённого решения интегральных уравнений в MathCAD.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

Об одном из методов решения уравнения НавьеСтокса

In this article was presented solving the equations of Nave — Stocks with the help of actually packs activity. Discussed the analyses of speed epicures. Ключевые слова: MathCAD, численные методы, Навье-Стокс, движения, скорость.

Анализ уравнения, моделирующего волновые движения...

Анализ уравнения, описывающего динамическое деформирование в слое микроразрушенной среды. Об одном из методов решения уравнения НавьеСтокса. Диофантовы уравнения: от древности до наших дней.

Регуляризация решения неклассического интергального...

Наряду с уравнением (1) рассмотрим уравнение. (2). где, - решение уравнения (1). Его решение будем искать в виде (3).

Об одном из методов решения уравнения НавьеСтокса.

Исследование статической задачи несимметричной теории...

После дифференцирования уравнений (1.35) и (1.36) по и подстановки соотношений (1.37), (1.38) получается.

«Новая» постановка задачи заключается в отыскании 12 независимых компонент симметричных тензоров , из решения 12 обобщенных уравнений совместности...

Совместная задача газовой динамики и теории упругости...

Поэтому определение поля давлений в конкретный момент времени представляет собой краевую задачу решения уравнения Рейнольдса (2). Обобщенное уравнение Рейнольдса, в цилиндрических координатах имеет вид

Управление движением вращающегося тела с полостью, частично...

Ключевые слова: уравнения Навье-Стокса, принцип максимума Понтрягина, вихревые движения жидкости.

В пространстве Лапласа характеристическое уравнение системы (11) при имеет вид (при ).

Возмущение как функция управляющего момента.

Разрешимость одной краевой задачи для...

Тогда уравнение (1) имеет хотя бы одно решение для любого . Уравнение (1) эквивалентно уравнению (2).

— измеримая функция, такая, что существует ограниченная в существенном на производная Радона-Никодима функция множества удовлетворяет условиям Каратеодори...

Интегрирование уравнений динамики твердого тела

Определим проекции кинетического момента (обобщенные импульсы) через производные функций углов

Решение дифференциальных уравнений методом последовательностей.

Организация приближённого решения интегральных уравнений в MathCAD.

Задать вопрос