Классификация линейных однородных систем дифференциальных уравнений с помощью жордановой нормальной формы | Статья в журнале «Молодой ученый»

Авторы: ,

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №11 (91) июнь-1 2015 г.

Дата публикации: 29.05.2015

Статья просмотрена: 221 раз

Библиографическое описание:

Пащенко З. Д., Шажко С. П. Классификация линейных однородных систем дифференциальных уравнений с помощью жордановой нормальной формы // Молодой ученый. — 2015. — №11. — С. 99-101. — URL https://moluch.ru/archive/91/19318/ (дата обращения: 16.08.2018).

В статье получен алгоритм решения линейной однородной системы дифференциальных уравнений, который использует жорданову нормальную форму матрицы этой системы и получено классификацию решений такой системы третьего порядка.

Ключевые слова:жорданова нормальная форма, линейные однородные системы дифференциальных уравнений, решения систем дифференциальных уравнений.

 

ЖНФ имеет широкое применение. Мы рассматриваем использование ЖНФ для классификации решений линейных однородных систем дифференциальных уравнений (ЛОСДУ). Вообще дифференциальные уравнения и методы исследования их решений широко используются в разнообразных отраслях и разделах современной науки и техники. Поэтому исследование дифференциальных уравнений остается актуальным в современной науке.

Данная работа представляет способ классификации решений ЛОСДУ с постоянными коэффициентами с действительной матрицей системы. Этот способ использует классификацию ЖНФ таких матриц.

ЛОСДУ п-го порядка с постоянными коэффициентами можно записать в виде

,                                                                                                                      (1)

где  — квадратная матрица п-го порядка,  — столбик неизвестных функций ,  — столбик производных этих функций.

Экспонентой  квадратной матрицы  называется матрица , где  — единичная матрица. Тогда  Согласно [1, с.133], система (1) имеет общее решение , где  — столбик произвольных коэффициентов.

По основной теореме, каждая квадратная матрица над алгебраически замкнутым полем (в частности, над ) приводится к ЖНФ. Т. е., для каждой квадратной матрицы  существует такая невырожденная матрица , что  [2]. Существует алгоритм нахождения ЖНФ матрицы .

1.                  Найти характеристический многочлен матрицы  и её собственные значения.

2.                  Для каждого собственного числа  матрицы  и для каждого  вычислить количество  клеток , которые входят в ЖНФ матрицы . Для этого вычислить числа  до тех пор, пока не найдется такое , что . Потом воспользоваться формулой

3.                  Построить ЖНФ  как блочно-диагональную матрицу, диагональ которой составляют клетки Жордана , где  пробегает все собственные значения матрицы , и каждая из клеток  встречается  раз. [3]

Каждой клетке Жордана порядка  соответствует циклический базис  длины  (цепочка длины ). Поэтому количество цепочек длины  корневого подпространства оператора  с матрицей , соответствующих собственному значению , равно , а объединение всех таких цепочек образует цепочный базис, соответствующий . Алгоритм нахождения такого базиса описано в [3].

1.                  Найти ФСР однородной системы с матрицей .

2.                  Для каждого вектора  из этой ФСР построить цепочку .

3.                  Выбрать  цепочек длины , состоящих из линейно независимых векторов. (Это будет часть искомого базиса.)

4.                  Проделать аналогичные действия со следующим (по убыванию) , для которого , следя за линейной независимостью полученных векторов с выбранными ранее.

5.                  Продолжать таким образом, пока не будут выбраны все цепочки.

После нахождения цепочного базиса для каждого собственного числа матрицы  мы можем привести эту матрицу к жордановой форме, но в этом нужно действовать осмотрительно, нумеруя базисные векторы  так, как описано в [3]. Искомая матрица состоит из координат полученных базисных векторов , записанных столбиками.

Заметим, если действительную матрицу  умножить на столбик функций , то получим столбик функций , причем , поскольку

.

По рассмотренному выше,  — решение ЛОСДУ . Пусть  — соответствующая ЖНФ матрицы  и . Тогда , откуда  — решение ЛОСДУ . Значит решение этой системы представляется

.

Этот результат позволяет упростить решение системы , для чего достаточно воспользоваться следующим алгоритмом:

1.                  Найти ЖНФ  матрицы  и матрицу . из столбцов жорданового базиса.

2.                  Вычислить экспоненту .

3.                  Общее решение системы (1) записать в виде .

Также этот результат позволяет классифицировать ЛОСДУ (1) по различным видам решений, используя классификацию соответствующих жордановых матриц. Для примера рассмотрим ЛОСДУ третьего порядка. Жордановы матрицы третьего порядка над полем комплексных чисел по клеточно-диагональному разнообразию имеют шесть видов.

10 ; 40 , где ;

20 , где ; 50 , где ;

30 ; 60 . [4].

Если ЖНФ матрицы системы третьего порядка  имеет вид

10:  и , то  и общее решение этой системы имеет вид

Учитывая, что столбиками матрицы  являются векторы жорданового базиса , этот вид будет следующим:

Аналогично, для всех остальных типов жордановых матриц третьего порядка, общие решения ЛОСДУ (1) имеют вид

20 , ;

30 ;

40 , ;

50 , ;

60 .

Следует заметить, что для ЛОСДУ третьего порядка с вещественной матрицей только в случае 40 возможно появление комплексных (причем пары комплексно сопряженных) собственных значений. В этой ситуации можно рассмотреть изменение вида общего решения системы, что не входит в цели данной статьи.

 

Литература:

 

1.                  Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1982. — 273с.

2.                  Кострикин А. И. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра: учебник для вузов. — 2-е изд., исправл. / — М.: Физико-математическая литература, 2001. — 368 с.

3.                  Мазорчук В. С. Методичний посібник до теми «Жорданова нормальна форма» для студентів механіко-математичного факультету / — Київ: Київський університет імені Тараса Шевченка, 1998. — 123с.

Основные термины (генерируются автоматически): матрица, квадратная матрица, цепочка длины, классификация решений, алгоритм нахождения, общее решение системы, цепочный базис, современная наука, общее решение, матрица третьего порядка.


Ключевые слова

жорданова нормальная форма, линейные однородные системы дифференциальных уравнений, решения систем дифференциальных уравнений.

Похожие статьи

Применение итерационного алгоритма Шульца в рекуррентных...

Сложность алгоритма — . Итерационные методы нахождения обратных матриц

Итерационный метод Шульца. Для квадратной невырожденной матрицы порядка можно найти

2. Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя. М.: Наука, 1991. — 432с.

Использование матриц комбинаторного типа для построения...

. Матрица H для данной системы примет вид: . Для решения задачи 1, прежде всего понадобится провести процедуру параметризации матрицы комбинаторного типа H. Структура матрицы комбинаторного типа такова, что, зная размер матрицы m ´ n, по полученному в...

Качественное исследование двумерной системы

Основные термины (генерируются автоматически): дифференциальное уравнение, система, вырожденное седло, седло, узел, теорема, нулевое решение, место, матрица, антиседло.

Исследование одной нелинейной системы четвертого порядка.

Усовершенствование метода групповых резольвент для решения...

Проблема выполнимости булевых формул (проблема пропозициональной выполнимости) — это одна из наиболее известных NP-полных задач. Несмотря на то, что в общем случае проблема выполнимости не разрешима за полиномиальное время, нахождение случаев...

Матричный способ представления алгоритма | Статья в журнале...

Ключевые слова: алгоритм, предикат, матрица, таблица, граф.

Квадратная матрица алгоритма МA, заданная в матрично-предикатном виде, обладает неизменностью свойств

Разработка алгоритма работы системы автоматического выделения поврежденных секций.

Условия существования собственных значений одной операторной...

Блочно-операторная матрица — это матрица, элементы которой являются линейными операторами в банаховом или

Подставляя выражение (3) для в первое уравнение системы (2) заключаем, что система уравнений (2) имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда .

Об асимптотическом поведении решений систем нелинейных...

(Е-единичная матрица n-го порядка) которое называют характеристическом для матрицы корни этого уравнения обозначим через .

Решение системы нелинейных дифференциальных уравнений высших порядков.

Адаптивное воспроизведение мультисинусоидального сигнала...

Поскольку матрица А устойчива, то элементы вектора K можно принять равными нулю. Расчет элементов вектора Lg осуществляется через решение следующей системы матричных уравнений [3]

Применение итерационного алгоритма Шульца в рекуррентных...

Сложность алгоритма — . Итерационные методы нахождения обратных матриц

Итерационный метод Шульца. Для квадратной невырожденной матрицы порядка можно найти

2. Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя. М.: Наука, 1991. — 432с.

Использование матриц комбинаторного типа для построения...

. Матрица H для данной системы примет вид: . Для решения задачи 1, прежде всего понадобится провести процедуру параметризации матрицы комбинаторного типа H. Структура матрицы комбинаторного типа такова, что, зная размер матрицы m ´ n, по полученному в...

Качественное исследование двумерной системы

Основные термины (генерируются автоматически): дифференциальное уравнение, система, вырожденное седло, седло, узел, теорема, нулевое решение, место, матрица, антиседло.

Исследование одной нелинейной системы четвертого порядка.

Усовершенствование метода групповых резольвент для решения...

Проблема выполнимости булевых формул (проблема пропозициональной выполнимости) — это одна из наиболее известных NP-полных задач. Несмотря на то, что в общем случае проблема выполнимости не разрешима за полиномиальное время, нахождение случаев...

Матричный способ представления алгоритма | Статья в журнале...

Ключевые слова: алгоритм, предикат, матрица, таблица, граф.

Квадратная матрица алгоритма МA, заданная в матрично-предикатном виде, обладает неизменностью свойств

Разработка алгоритма работы системы автоматического выделения поврежденных секций.

Условия существования собственных значений одной операторной...

Блочно-операторная матрица — это матрица, элементы которой являются линейными операторами в банаховом или

Подставляя выражение (3) для в первое уравнение системы (2) заключаем, что система уравнений (2) имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда .

Об асимптотическом поведении решений систем нелинейных...

(Е-единичная матрица n-го порядка) которое называют характеристическом для матрицы корни этого уравнения обозначим через .

Решение системы нелинейных дифференциальных уравнений высших порядков.

Адаптивное воспроизведение мультисинусоидального сигнала...

Поскольку матрица А устойчива, то элементы вектора K можно принять равными нулю. Расчет элементов вектора Lg осуществляется через решение следующей системы матричных уравнений [3]

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

Применение итерационного алгоритма Шульца в рекуррентных...

Сложность алгоритма — . Итерационные методы нахождения обратных матриц

Итерационный метод Шульца. Для квадратной невырожденной матрицы порядка можно найти

2. Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя. М.: Наука, 1991. — 432с.

Использование матриц комбинаторного типа для построения...

. Матрица H для данной системы примет вид: . Для решения задачи 1, прежде всего понадобится провести процедуру параметризации матрицы комбинаторного типа H. Структура матрицы комбинаторного типа такова, что, зная размер матрицы m ´ n, по полученному в...

Качественное исследование двумерной системы

Основные термины (генерируются автоматически): дифференциальное уравнение, система, вырожденное седло, седло, узел, теорема, нулевое решение, место, матрица, антиседло.

Исследование одной нелинейной системы четвертого порядка.

Усовершенствование метода групповых резольвент для решения...

Проблема выполнимости булевых формул (проблема пропозициональной выполнимости) — это одна из наиболее известных NP-полных задач. Несмотря на то, что в общем случае проблема выполнимости не разрешима за полиномиальное время, нахождение случаев...

Матричный способ представления алгоритма | Статья в журнале...

Ключевые слова: алгоритм, предикат, матрица, таблица, граф.

Квадратная матрица алгоритма МA, заданная в матрично-предикатном виде, обладает неизменностью свойств

Разработка алгоритма работы системы автоматического выделения поврежденных секций.

Условия существования собственных значений одной операторной...

Блочно-операторная матрица — это матрица, элементы которой являются линейными операторами в банаховом или

Подставляя выражение (3) для в первое уравнение системы (2) заключаем, что система уравнений (2) имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда .

Об асимптотическом поведении решений систем нелинейных...

(Е-единичная матрица n-го порядка) которое называют характеристическом для матрицы корни этого уравнения обозначим через .

Решение системы нелинейных дифференциальных уравнений высших порядков.

Адаптивное воспроизведение мультисинусоидального сигнала...

Поскольку матрица А устойчива, то элементы вектора K можно принять равными нулю. Расчет элементов вектора Lg осуществляется через решение следующей системы матричных уравнений [3]

Применение итерационного алгоритма Шульца в рекуррентных...

Сложность алгоритма — . Итерационные методы нахождения обратных матриц

Итерационный метод Шульца. Для квадратной невырожденной матрицы порядка можно найти

2. Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя. М.: Наука, 1991. — 432с.

Использование матриц комбинаторного типа для построения...

. Матрица H для данной системы примет вид: . Для решения задачи 1, прежде всего понадобится провести процедуру параметризации матрицы комбинаторного типа H. Структура матрицы комбинаторного типа такова, что, зная размер матрицы m ´ n, по полученному в...

Качественное исследование двумерной системы

Основные термины (генерируются автоматически): дифференциальное уравнение, система, вырожденное седло, седло, узел, теорема, нулевое решение, место, матрица, антиседло.

Исследование одной нелинейной системы четвертого порядка.

Усовершенствование метода групповых резольвент для решения...

Проблема выполнимости булевых формул (проблема пропозициональной выполнимости) — это одна из наиболее известных NP-полных задач. Несмотря на то, что в общем случае проблема выполнимости не разрешима за полиномиальное время, нахождение случаев...

Матричный способ представления алгоритма | Статья в журнале...

Ключевые слова: алгоритм, предикат, матрица, таблица, граф.

Квадратная матрица алгоритма МA, заданная в матрично-предикатном виде, обладает неизменностью свойств

Разработка алгоритма работы системы автоматического выделения поврежденных секций.

Условия существования собственных значений одной операторной...

Блочно-операторная матрица — это матрица, элементы которой являются линейными операторами в банаховом или

Подставляя выражение (3) для в первое уравнение системы (2) заключаем, что система уравнений (2) имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда .

Об асимптотическом поведении решений систем нелинейных...

(Е-единичная матрица n-го порядка) которое называют характеристическом для матрицы корни этого уравнения обозначим через .

Решение системы нелинейных дифференциальных уравнений высших порядков.

Адаптивное воспроизведение мультисинусоидального сигнала...

Поскольку матрица А устойчива, то элементы вектора K можно принять равными нулю. Расчет элементов вектора Lg осуществляется через решение следующей системы матричных уравнений [3]

Задать вопрос