Библиографическое описание:

Фетисова М. А. Решение задач строительной механики по определению максимального прогиба и основной частоты колебаний треугольных пластинок с помощью МИКФ [Текст] // Современные тенденции технических наук: материалы V Междунар. науч. конф. (г. Казань, май 2017 г.). — Казань: Бук, 2017. — С. 40-46.



Для пластинок в виде равнобедренных с комбинированными граничными условиями (комбинация жесткого защемления и шарнирного опирания) построены аппроксимирующие функции по решениям, полученным с помощью МКЭ для задач поперечного изгиба пластинок равномерно распределенной нагрузкой и свободных колебаний в ненагруженном состоянии. Доказано, что эти аппроксимирующие функции ограничивают область распределения всего множества значений максимального прогиба и основной частоты колебаний треугольных пластинок произвольного вида, представленную в координатных осях «физическая характеристика — угол при основании треугольника». Показано, что с помощью метода интерполяции по коэффициенту формы (МИКФ) можно с использованием найденных граничных кривых достаточно просто получить решение для пластинки в виде произвольного треугольника с комбинированными граничными условиями.

Ключевые слова: аффинное преобразование, интерполяция, коэффициент формы, комбинированные граничные условия, треугольник, пластинка

Теоретические основы МИКФ разработаны А. В. Коробко [1]. Сущность метода заключается в установленной автором функциональной взаимосвязи между интегральными физическими характеристиками пластинок F и коэффициентом их формы Kf, который для треугольных пластинок определяется по формуле

(1)

где α, β и γ — углы треугольника.

Pic2_2

Рис. 1

Изучая изопериметрические свойства коэффициента формы и интегральных физических характеристик треугольных пластинок, было доказано, что при геометрических преобразованиях треугольной области эти два параметра изменяются подобным образом. Для иллюстрации этого утверждения рассмотрим рисунки 1 и 2. На рисунке 1 приводится график изменения величины 1/Кf для равнобедренных и прямоугольных треугольников в зависимости от правого угла при основании; на рисунке 2 — график изменения величины 1/ω (ω — основная частота колебаний) для треугольных пластинок с шарнирным опиранием сторон (схема а)) и жестким защемлением по контуру (схема б)). На этих рисунках точка 2 соответствует правильному треугольнику, точка 1 — равнобедренному прямоугольному треугольнику; кривая 0–1 соответствует пластинкам в виде равнобедренных тупоугольных треугольников, кривая 1–2–3 — в виде равнобедренных остроугольных треугольников, кривая 1–3 — в виде прямоугольных треугольников.

Рис. 2

Сопоставляя изображенные на этих рисунках кривые, нетрудно заметить аналогию в распределении основной частоты колебаний и коэффициента формы. Поэтому, все изопериметрические свойства коэффициента формы, которые подробно исследованы в работе [1], можно автоматически перенести на основную частоту колебаний.

На основании изопериметрических свойств коэффициента формы в работе [1] сформулированы изопериметрические теоремы для треугольных пластинок:

‒все множество интегральных физических характеристик для треугольных областей ограничено кривой 0–1–2–3, соответствующей равнобедренным треугольникам;

‒все множество интегральных физических характеристик для областей в виде остроугольных треугольников ограничено кривыми, соответствующими равнобедренным треугольникам (кривая 1–2–3) и прямоугольным треугольникам (кривая 1–3);

‒все множество интегральных физических характеристик для областей в виде тупоугольных треугольников ограничено кривыми, соответствующими равнобедренным треугольникам (кривая 1–2) и прямоугольным треугольникам (кривая 1–3).

Если для какой-либо задачи технической теории пластинок построены рассмотренные выше граничные кривые, то с помощью МИКФ можно получить решение для любой треугольной пластинки. При этом необходимо выполнить следующую последовательность действий:

‒ выбрать геометрическое преобразование (обычно аффинный сдвиг с растяжением), при котором из заданной области можно получить два равнобедренных треугольника (опорные фигуры);

‒ по соответствующим аппроксимирующим (граничным) кривым найти значение интегральных физических характеристик для опорных фигур (опорные решения);

‒ подобрать функцию вида F = KQ(Kf)n, где Q обобщенная физико-геометрическая константа для конкретной рассматриваемой задач теории пластинок;

‒ по опорным решениям найти неопределенные параметры К и n;

‒ подсчитать коэффициент формы для заданной фигуры и, подставив его в аппроксимирующую функции. F(Kf), найти значение F для нее.

Граничные аппроксимирующие кривые были построены для пластинок в виде равнобедренных треугольников с условиями на контуре, изображенными на рисунке 3. Для их построения с помощью МКЭ с использованием современных программных комплексов были получены решения для множества треугольных пластинок с углом при основании, изменяющимся от 15о до 80о[1] с интервалом в 5...10о. Найденные решения для задач поперечного изгиба и свободных колебаний пластинок приведены в таблице 1.

Таблица 1

Значения максимального прогиба иосновной частоты колебаний для пластинок в виде равнобедренного треугольника скомбинированными граничными условиями

п/п

Угол при основании треугольника, αо

15

20

30

40

45

50

55

60

65

70

80

Поперечный изгиб пластинок (w0 = KqA2/D)

1

0,524

0,919

1,571

2,293

2,607

2,812

3,008

3,086

2,986

2,688

1,610

2

0,228

0,412

0,798

1,222

1,447

1,654

1,826

1,949

2,000

1,952

1,303

3

0,234

0,362

0,737

1,044

1,172

1,263

1,303

1,283

1,201

1,047

0,508

4

0,0858

0,194

0,388

0,604

0,715

0,782

0,850

0,872

0,847

0,777

0,425

Свободные колебания пластинок

1

52,456

41,610

31,121

26,156

24,615

23,454

22,887

22,639

22.900

23,841

31,058

2

82,075

62,566

44,273

35,850

33,089

30,993

29,519

28,529

28,175

28,516

34,642

3

81,549

63,392

46,253

39,003

36.826

35,584

35,110

35,270

36,504

39,064

55,50

4

114,53

91,226

62,929

51,227

47,466

45,064

43,620

42,925

43,514

45,409

60,797

Примечание: 1. В приведенных в таблице формулах использованы следующие обозначения: А — площадь, D — цилиндрическая жесткость, m — масса единицы площади пластинки. 2. Величина прогиба увеличена в 103 раз. 3. Жирным шрифтом выделены экстремальные значения w0 и ω, а курсивом — неочевидные результаты.

Анализ приведенных данных показывает:

1) для треугольных пластинок с однородными граничными условиями максимальный прогиб соответствует равностороннему треугольнику (α = 60о);

2) для треугольных пластинок с комбинированными граничными условиями положение экстремума смещается: для схемы опирания, представленной на рисунке 3-б, смещение происходит вправо и экстремум соответствует равнобедренному треугольнику с углом при основании ≈65о (угол при вершине ≈50о); для схемы опирания, представленной на рисунке 3-в, смещение происходит влево и экстремум соответствует равнобедренному треугольнику с углом при основании ≈55о (угол при вершине ≈70о);

3) при переходе последовательно от схемы опирания пластинки а) к схеме г) (рис. 3) значения максимального прогиба уменьшаются, за исключением пластинок с углом при основании равнобедренного треугольника α = 15о (в таблице эти результаты выделены курсивом).

Точно такие же эффекты проявляются и для основной частоты колебаний.

а)

б)

в)

г)

Рис. 3

а)

б)

Рис. 4

Причиной возникновения подобного рода эффектов является влияние жестко защемленного края (см. рис. 4, где жирными линиями внутри треугольника показаны положения нейтральных линий — линий, вдоль которых изгибающие моменты Мn равны нулю):

‒ при однородных граничных условиях влияние границ одинаковое, поэтому экстремумы w0 и ω достигаются для пластинок в виде равностороннего треугольника;

‒ при появлении жестко защемленных сторон в треугольной пластиннике нейтральными линиями (см. рис. 4) ограничивается уже не равносторонний треугольник, а более сложная фигура, у которой стороны, параллельные защемленному краю треугольной пластинки в средней части, отклоняются, поворачивая в углы пластинки;

‒ неочевидное, на первый взгляд, увеличение максимального прогиба и уменьшение основной частоты колебаний для пластинки, опертой по схеме 3-в, по сравнению со схемой 3-б можно объяснить тем, что для пластинок с очень острыми углами при вершине при сближении нейтральной линии и угла пластинки у схемы 3-б влияние жесткости угла оказывается большим, чем влияние жестко защемленного края у схемы 3-в.

Граничные аппроксимирующие функции строились по значениям w0 и ω, приведенным в таблице 1, с помощью программного комплекса Table curve. При этом преследовалась цель, построить эти функции как можно с большей точностью, поскольку они в дальнейшем лягут в основу создания подпрограммы «МИКФ-треугольники» для общего программного комплекса «МИКФ». Этим и объясняется высокая степень полинома, с помощью которого подбирались аппроксимирующие функции. Такие функции были построены для всех случаев опирания треугольных пластинок для обеих рассматриваемых задач. Например:

‒ для шарнирно опертых по контуру пластинок:

(2)

где а = 58,945, b = –16,451, c = 1,964, d = –0,132, e = 0,00556, f = –0,000154, g = 2,856∙10–6,

h = –3,510∙10–8, i = 2,744∙10–10, j = –1,237∙10–12, k = 2,444∙10–15;

(3)

где а = 38,896, b = –57,185, c = 36,980, d = –13,811, e = 3,285, f = –0,516, g = 0,0536,

h = –0,00356, i = 0,000136, j = –2,311∙10–6;

‒ для пластинок, боковые стороны которых шарнирно оперты, а основание жестко защемлено:

(4)

где а = –16,358, b = 4,370, c = –0,504, d = 0,0333, e = –0,00140, f = 3,867∙10–5, g = –7,199∙10–7, h = 8,906∙10–9, i = –7,019∙10–11, j = 3,189∙10–13, k = –6,356∙10–16;

(5)

где а = –0,0277, b = 0,00859, c = –0,000939, d = 6,445∙10–5, e = –2,775∙10–6, f = 7,791∙10–8, g = –1,450∙10–9, h = 1,777∙10–11, i = –1,380∙10–13, j = 6,170∙10–16, k = –1,214∙10–18.

Метод интерполяции по коэффициенту формы имеет несколько возможностей, которые сводятся к решению следующих задач:

‒ качественная оценка области распределения интегральных физических характеристик определенного (заданного) подмножества форм пластинок;

‒ двусторонняя оценка физической характеристики пластинки конкретного вида путем построения двусторонних изопериметрических неравенств;

‒ построение аналитической зависимости, характеризующей изменение интегральной физической величины для некоторого подмножества областей, объединенных одним непрерывным или дискретным геометрическим преобразованием, и определение с ее помощью физической характеристики для пластинки определенного вида из заданного подмножества форм.

Методика реализация первой задачи сводится к изучению изопериметрических свойств и закономерностей распределения коэффициента формы для областей определенного вида. Получив качественную картину распределения коэффициента формы для заданного класса областей (рис. 1), можно сразу же получить и приближенную количественную оценку распределения интегральных физических характеристик, если известно хотя бы одно решение для пластинки определенного вида из этого класса областей. Количественная оценка получается линейным масштабированием графика Kf — α путем приравнивания ординат графиков Kf — α и F — α для пластинки с известным решением.

Покажем эту возможность на примере задачи об основной частоте колебаний треугольных пластинок с шарнирно опертым контуром [1]. Пусть нам известно единственное решение для пластинки в виде равностороннего треугольника (α = 60о, Kf = 10,392 [1], ω = = ). Разделим Kf на коэффициент пропорциональности при ω (Kf/ω = = 10,392/22,792 = 0,456) и умножим график 1\Kf — α на 0,456 При этом получится новый график, у которого ордината вершины соответствует величине 1/ω для равностороннего треугольника, а весь график является подобным графику, изображенному на рисунке 2-а. К сожалению, указанное подобие нелинейное и полученный новый график не является точным изображением графика 1/ω — α. Однако он дает достаточно хорошее приближение к действительному графику. Например, для шарнирно опертой пластинки в виде равнобедренного прямоугольного треугольника (α = 45о, Кf = 11,657) из построенного графика будем иметь:

что отличается от известного точного решения на 3,60 %.

Для построения двусторонних изопериметрических неравенств при оценке интегральных физических характеристик пластинок необходимо знание границ возможного распределения этих характеристик для некоторого подмножества форм пластинок.

Построение двусторонних изопериметрических неравенств можно проиллюстрировать с помощью рисунка 5, на котором показан пример аффинного сдвига равнобедренного тупоугольного треугольника с углом при вершине 98,20оf = 12,460) параллельно основанию. При этом из него получаются прямоугольный треугольник с углами 30о и 60оf = 12,928) и равнобедренный остроугольный треугольник с углом при вершине 25,66оf = 13,795).

Известно [2], что при аффинном сдвиге коэффициент формы получаемых фигур монотонно увеличивается. Это означает, что частота колебаний будет также монотонно увеличиваться.

а)

б)

Pic3_3

Рис. 5

Таким образом, значения основных частот колебаний пластинок в виде указанных равнобедренных треугольников будут давать верхнюю и нижнюю оценки частоты колебаний для пластинки в виде прямоугольного треугольника. По формуле (3) для этих равнобедренных треугольных пластинок будем иметь:

, .

Согласно основной изопериметрической теореме по этим данным можно построить двусторонние изопериметрические неравенства

≤ ω ≤

которые удовлетворяются для всех треугольных пластинок, объединенных указанным преобразованием. Известное точное решение задачи об основной частоте заданной пластинки в виде прямоугольного треугольника ( = 26,58) действительно лежит внутри указанных границ.

Для более точного определения основной частоты колебаний заданной треугольной пластинки следует по опорным решениям построить аналитическую зависимость вида F = KQ(Kf)n, соответствующую выбранному преобразованию. Используя методику МИКФ, получим:

 = 20,7(Кf)0,0903.

Подставляя в эту формулу значение коэффициента формы для заданной пластинки в виде прямоугольного треугольника (Kf = 12,928), найдем:

 = 26,08,

что на 1,89 % отличается от известного точного аналитического решения.

Таким образом, полученные в данной статье решения для задач поперечного изгиба и свободных колебаний пластинок в виде равнобедренных треугольников с однородными и комбинированными условиями опирания на контуре, позволяют построить граничные аппроксимирующие функции и с их помощью, используя методику МИКФ, рассчитывать пластинки для любого вида треугольных пластинок с любой комбинацией граничных условий вдоль их сторон.

Литература:

  1. Коробко А. В. Геометрическое моделирование формы области в двумерных задачах теории упругости. — М.: Изд-во АСВ, 1999. — 304 с.
  2. Коробко В. И. Изопериметрический метод в строительной механике: Теоретические основы изопериметрического метода. — М.: Изд-во АСВ, 1997. — 390 с.
  3. Коробко А. В., Фетисова М. А. Определение поперечного изгиба методом интерполяции по коэффициенту формы при аффинном преобразовании пластинок в виде ромбов и параллелограммов Промышленное и гражданское строительство. 2010. № 1. С. 23–24.
  4. Фетисова М. А. Развитие и применение метода интерполяции по коэффициенту формы к решению задач поперечного изгиба пластинок с комбинированными граничными условиями. Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук / Орловский государственный технический университет. Орел, 2010
  5. Фетисова М. А., Володин С. С. Применение метода интерполяции по коэффициенту формы для решения задач строительной механики. Молодой ученый. 2013. № 3. С. 114–116.
  6. Фетисова М. А., Володин С. С. Коэффициент формы как геометрическая характеристика. Молодой ученый. 2011. Т. 1. № 5. С. 105.
  7. Коробко А. В., Фетисова М. А. Способы решения задач поперечного изгиба трапециевидных пластинокСтроительство и реконструкция. 2010. № 1. С. 36.
  8. Фетисова М. А., Калашникова Н. Г. Определение максимального прогиба трапециевидных пластинок с комбинированными граничными условиями с помощью МИКФ. Известия Орловского государственного технического университета. Серия: Строительство и транспорт. 2009. № 1. С. 65.
  9. Фетисова М. А. Определение максимального прогиба параллелограммных и трапециевидных пластинок с помощью МИКФ Молодой ученый. 2008. № 1. С. 36–40.
  10. Борисова Н. В. Особенности проектирования и расчета деревянных ферм на металлических зубчатых пластинах. В сборнике: Вестник строительства и архитектуры Сборник научных трудов. Орел, 2014. С. 105–108.

[1] При значениях угла α < 15o и α > 80o решения, получаемые с помощью МКЭ, начинали резко отклоняться от плавно и монотонно изменяющихся значений F внутри интервала 15о < α < 80o.

Основные термины (генерируются автоматически): треугольных пластинок, частоты колебаний, основной частоты колебаний, колебаний треугольных пластинок, интегральных физических характеристик, максимального прогиба, граничными условиями, колебаний пластинок, комбинированными граничными условиями, задач поперечного изгиба, коэффициента формы, свободных колебаний пластинок, поперечного изгиба пластинок, виде равнобедренных, виде прямоугольного треугольника, частоты колебаний треугольных, треугольной пластинки, коэффициенту формы, треугольных пластинок произвольного, теории пластинок.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle
Задать вопрос