Решение задач строительной механики по определению максимального прогиба и основной частоты колебаний треугольных пластинок с помощью МИКФ | Статья в сборнике международной научной конференции

Библиографическое описание:

Фетисова М. А. Решение задач строительной механики по определению максимального прогиба и основной частоты колебаний треугольных пластинок с помощью МИКФ [Текст] // Современные тенденции технических наук: материалы V Междунар. науч. конф. (г. Казань, май 2017 г.). — Казань: Бук, 2017. — С. 40-46. — URL https://moluch.ru/conf/tech/archive/230/12248/ (дата обращения: 23.06.2018).



Для пластинок в виде равнобедренных с комбинированными граничными условиями (комбинация жесткого защемления и шарнирного опирания) построены аппроксимирующие функции по решениям, полученным с помощью МКЭ для задач поперечного изгиба пластинок равномерно распределенной нагрузкой и свободных колебаний в ненагруженном состоянии. Доказано, что эти аппроксимирующие функции ограничивают область распределения всего множества значений максимального прогиба и основной частоты колебаний треугольных пластинок произвольного вида, представленную в координатных осях «физическая характеристика — угол при основании треугольника». Показано, что с помощью метода интерполяции по коэффициенту формы (МИКФ) можно с использованием найденных граничных кривых достаточно просто получить решение для пластинки в виде произвольного треугольника с комбинированными граничными условиями.

Ключевые слова: аффинное преобразование, интерполяция, коэффициент формы, комбинированные граничные условия, треугольник, пластинка

Теоретические основы МИКФ разработаны А. В. Коробко [1]. Сущность метода заключается в установленной автором функциональной взаимосвязи между интегральными физическими характеристиками пластинок F и коэффициентом их формы Kf, который для треугольных пластинок определяется по формуле

(1)

где α, β и γ — углы треугольника.

Pic2_2

Рис. 1

Изучая изопериметрические свойства коэффициента формы и интегральных физических характеристик треугольных пластинок, было доказано, что при геометрических преобразованиях треугольной области эти два параметра изменяются подобным образом. Для иллюстрации этого утверждения рассмотрим рисунки 1 и 2. На рисунке 1 приводится график изменения величины 1/Кf для равнобедренных и прямоугольных треугольников в зависимости от правого угла при основании; на рисунке 2 — график изменения величины 1/ω (ω — основная частота колебаний) для треугольных пластинок с шарнирным опиранием сторон (схема а)) и жестким защемлением по контуру (схема б)). На этих рисунках точка 2 соответствует правильному треугольнику, точка 1 — равнобедренному прямоугольному треугольнику; кривая 0–1 соответствует пластинкам в виде равнобедренных тупоугольных треугольников, кривая 1–2–3 — в виде равнобедренных остроугольных треугольников, кривая 1–3 — в виде прямоугольных треугольников.

Рис. 2

Сопоставляя изображенные на этих рисунках кривые, нетрудно заметить аналогию в распределении основной частоты колебаний и коэффициента формы. Поэтому, все изопериметрические свойства коэффициента формы, которые подробно исследованы в работе [1], можно автоматически перенести на основную частоту колебаний.

На основании изопериметрических свойств коэффициента формы в работе [1] сформулированы изопериметрические теоремы для треугольных пластинок:

‒все множество интегральных физических характеристик для треугольных областей ограничено кривой 0–1–2–3, соответствующей равнобедренным треугольникам;

‒все множество интегральных физических характеристик для областей в виде остроугольных треугольников ограничено кривыми, соответствующими равнобедренным треугольникам (кривая 1–2–3) и прямоугольным треугольникам (кривая 1–3);

‒все множество интегральных физических характеристик для областей в виде тупоугольных треугольников ограничено кривыми, соответствующими равнобедренным треугольникам (кривая 1–2) и прямоугольным треугольникам (кривая 1–3).

Если для какой-либо задачи технической теории пластинок построены рассмотренные выше граничные кривые, то с помощью МИКФ можно получить решение для любой треугольной пластинки. При этом необходимо выполнить следующую последовательность действий:

‒ выбрать геометрическое преобразование (обычно аффинный сдвиг с растяжением), при котором из заданной области можно получить два равнобедренных треугольника (опорные фигуры);

‒ по соответствующим аппроксимирующим (граничным) кривым найти значение интегральных физических характеристик для опорных фигур (опорные решения);

‒ подобрать функцию вида F = KQ(Kf)n, где Q обобщенная физико-геометрическая константа для конкретной рассматриваемой задач теории пластинок;

‒ по опорным решениям найти неопределенные параметры К и n;

‒ подсчитать коэффициент формы для заданной фигуры и, подставив его в аппроксимирующую функции. F(Kf), найти значение F для нее.

Граничные аппроксимирующие кривые были построены для пластинок в виде равнобедренных треугольников с условиями на контуре, изображенными на рисунке 3. Для их построения с помощью МКЭ с использованием современных программных комплексов были получены решения для множества треугольных пластинок с углом при основании, изменяющимся от 15о до 80о[1] с интервалом в 5...10о. Найденные решения для задач поперечного изгиба и свободных колебаний пластинок приведены в таблице 1.

Таблица 1

Значения максимального прогиба иосновной частоты колебаний для пластинок в виде равнобедренного треугольника скомбинированными граничными условиями

п/п

Угол при основании треугольника, αо

15

20

30

40

45

50

55

60

65

70

80

Поперечный изгиб пластинок (w0 = KqA2/D)

1

0,524

0,919

1,571

2,293

2,607

2,812

3,008

3,086

2,986

2,688

1,610

2

0,228

0,412

0,798

1,222

1,447

1,654

1,826

1,949

2,000

1,952

1,303

3

0,234

0,362

0,737

1,044

1,172

1,263

1,303

1,283

1,201

1,047

0,508

4

0,0858

0,194

0,388

0,604

0,715

0,782

0,850

0,872

0,847

0,777

0,425

Свободные колебания пластинок

1

52,456

41,610

31,121

26,156

24,615

23,454

22,887

22,639

22.900

23,841

31,058

2

82,075

62,566

44,273

35,850

33,089

30,993

29,519

28,529

28,175

28,516

34,642

3

81,549

63,392

46,253

39,003

36.826

35,584

35,110

35,270

36,504

39,064

55,50

4

114,53

91,226

62,929

51,227

47,466

45,064

43,620

42,925

43,514

45,409

60,797

Примечание: 1. В приведенных в таблице формулах использованы следующие обозначения: А — площадь, D — цилиндрическая жесткость, m — масса единицы площади пластинки. 2. Величина прогиба увеличена в 103 раз. 3. Жирным шрифтом выделены экстремальные значения w0 и ω, а курсивом — неочевидные результаты.

Анализ приведенных данных показывает:

1) для треугольных пластинок с однородными граничными условиями максимальный прогиб соответствует равностороннему треугольнику (α = 60о);

2) для треугольных пластинок с комбинированными граничными условиями положение экстремума смещается: для схемы опирания, представленной на рисунке 3-б, смещение происходит вправо и экстремум соответствует равнобедренному треугольнику с углом при основании ≈65о (угол при вершине ≈50о); для схемы опирания, представленной на рисунке 3-в, смещение происходит влево и экстремум соответствует равнобедренному треугольнику с углом при основании ≈55о (угол при вершине ≈70о);

3) при переходе последовательно от схемы опирания пластинки а) к схеме г) (рис. 3) значения максимального прогиба уменьшаются, за исключением пластинок с углом при основании равнобедренного треугольника α = 15о (в таблице эти результаты выделены курсивом).

Точно такие же эффекты проявляются и для основной частоты колебаний.

а)

б)

в)

г)

Рис. 3

а)

б)

Рис. 4

Причиной возникновения подобного рода эффектов является влияние жестко защемленного края (см. рис. 4, где жирными линиями внутри треугольника показаны положения нейтральных линий — линий, вдоль которых изгибающие моменты Мn равны нулю):

‒ при однородных граничных условиях влияние границ одинаковое, поэтому экстремумы w0 и ω достигаются для пластинок в виде равностороннего треугольника;

‒ при появлении жестко защемленных сторон в треугольной пластиннике нейтральными линиями (см. рис. 4) ограничивается уже не равносторонний треугольник, а более сложная фигура, у которой стороны, параллельные защемленному краю треугольной пластинки в средней части, отклоняются, поворачивая в углы пластинки;

‒ неочевидное, на первый взгляд, увеличение максимального прогиба и уменьшение основной частоты колебаний для пластинки, опертой по схеме 3-в, по сравнению со схемой 3-б можно объяснить тем, что для пластинок с очень острыми углами при вершине при сближении нейтральной линии и угла пластинки у схемы 3-б влияние жесткости угла оказывается большим, чем влияние жестко защемленного края у схемы 3-в.

Граничные аппроксимирующие функции строились по значениям w0 и ω, приведенным в таблице 1, с помощью программного комплекса Table curve. При этом преследовалась цель, построить эти функции как можно с большей точностью, поскольку они в дальнейшем лягут в основу создания подпрограммы «МИКФ-треугольники» для общего программного комплекса «МИКФ». Этим и объясняется высокая степень полинома, с помощью которого подбирались аппроксимирующие функции. Такие функции были построены для всех случаев опирания треугольных пластинок для обеих рассматриваемых задач. Например:

‒ для шарнирно опертых по контуру пластинок:

(2)

где а = 58,945, b = –16,451, c = 1,964, d = –0,132, e = 0,00556, f = –0,000154, g = 2,856∙10–6,

h = –3,510∙10–8, i = 2,744∙10–10, j = –1,237∙10–12, k = 2,444∙10–15;

(3)

где а = 38,896, b = –57,185, c = 36,980, d = –13,811, e = 3,285, f = –0,516, g = 0,0536,

h = –0,00356, i = 0,000136, j = –2,311∙10–6;

‒ для пластинок, боковые стороны которых шарнирно оперты, а основание жестко защемлено:

(4)

где а = –16,358, b = 4,370, c = –0,504, d = 0,0333, e = –0,00140, f = 3,867∙10–5, g = –7,199∙10–7, h = 8,906∙10–9, i = –7,019∙10–11, j = 3,189∙10–13, k = –6,356∙10–16;

(5)

где а = –0,0277, b = 0,00859, c = –0,000939, d = 6,445∙10–5, e = –2,775∙10–6, f = 7,791∙10–8, g = –1,450∙10–9, h = 1,777∙10–11, i = –1,380∙10–13, j = 6,170∙10–16, k = –1,214∙10–18.

Метод интерполяции по коэффициенту формы имеет несколько возможностей, которые сводятся к решению следующих задач:

‒ качественная оценка области распределения интегральных физических характеристик определенного (заданного) подмножества форм пластинок;

‒ двусторонняя оценка физической характеристики пластинки конкретного вида путем построения двусторонних изопериметрических неравенств;

‒ построение аналитической зависимости, характеризующей изменение интегральной физической величины для некоторого подмножества областей, объединенных одним непрерывным или дискретным геометрическим преобразованием, и определение с ее помощью физической характеристики для пластинки определенного вида из заданного подмножества форм.

Методика реализация первой задачи сводится к изучению изопериметрических свойств и закономерностей распределения коэффициента формы для областей определенного вида. Получив качественную картину распределения коэффициента формы для заданного класса областей (рис. 1), можно сразу же получить и приближенную количественную оценку распределения интегральных физических характеристик, если известно хотя бы одно решение для пластинки определенного вида из этого класса областей. Количественная оценка получается линейным масштабированием графика Kf — α путем приравнивания ординат графиков Kf — α и F — α для пластинки с известным решением.

Покажем эту возможность на примере задачи об основной частоте колебаний треугольных пластинок с шарнирно опертым контуром [1]. Пусть нам известно единственное решение для пластинки в виде равностороннего треугольника (α = 60о, Kf = 10,392 [1], ω = = ). Разделим Kf на коэффициент пропорциональности при ω (Kf/ω = = 10,392/22,792 = 0,456) и умножим график 1\Kf — α на 0,456 При этом получится новый график, у которого ордината вершины соответствует величине 1/ω для равностороннего треугольника, а весь график является подобным графику, изображенному на рисунке 2-а. К сожалению, указанное подобие нелинейное и полученный новый график не является точным изображением графика 1/ω — α. Однако он дает достаточно хорошее приближение к действительному графику. Например, для шарнирно опертой пластинки в виде равнобедренного прямоугольного треугольника (α = 45о, Кf = 11,657) из построенного графика будем иметь:

что отличается от известного точного решения на 3,60 %.

Для построения двусторонних изопериметрических неравенств при оценке интегральных физических характеристик пластинок необходимо знание границ возможного распределения этих характеристик для некоторого подмножества форм пластинок.

Построение двусторонних изопериметрических неравенств можно проиллюстрировать с помощью рисунка 5, на котором показан пример аффинного сдвига равнобедренного тупоугольного треугольника с углом при вершине 98,20оf = 12,460) параллельно основанию. При этом из него получаются прямоугольный треугольник с углами 30о и 60оf = 12,928) и равнобедренный остроугольный треугольник с углом при вершине 25,66оf = 13,795).

Известно [2], что при аффинном сдвиге коэффициент формы получаемых фигур монотонно увеличивается. Это означает, что частота колебаний будет также монотонно увеличиваться.

а)

б)

Pic3_3

Рис. 5

Таким образом, значения основных частот колебаний пластинок в виде указанных равнобедренных треугольников будут давать верхнюю и нижнюю оценки частоты колебаний для пластинки в виде прямоугольного треугольника. По формуле (3) для этих равнобедренных треугольных пластинок будем иметь:

, .

Согласно основной изопериметрической теореме по этим данным можно построить двусторонние изопериметрические неравенства

≤ ω ≤

которые удовлетворяются для всех треугольных пластинок, объединенных указанным преобразованием. Известное точное решение задачи об основной частоте заданной пластинки в виде прямоугольного треугольника ( = 26,58) действительно лежит внутри указанных границ.

Для более точного определения основной частоты колебаний заданной треугольной пластинки следует по опорным решениям построить аналитическую зависимость вида F = KQ(Kf)n, соответствующую выбранному преобразованию. Используя методику МИКФ, получим:

 = 20,7(Кf)0,0903.

Подставляя в эту формулу значение коэффициента формы для заданной пластинки в виде прямоугольного треугольника (Kf = 12,928), найдем:

 = 26,08,

что на 1,89 % отличается от известного точного аналитического решения.

Таким образом, полученные в данной статье решения для задач поперечного изгиба и свободных колебаний пластинок в виде равнобедренных треугольников с однородными и комбинированными условиями опирания на контуре, позволяют построить граничные аппроксимирующие функции и с их помощью, используя методику МИКФ, рассчитывать пластинки для любого вида треугольных пластинок с любой комбинацией граничных условий вдоль их сторон.

Литература:

  1. Коробко А. В. Геометрическое моделирование формы области в двумерных задачах теории упругости. — М.: Изд-во АСВ, 1999. — 304 с.
  2. Коробко В. И. Изопериметрический метод в строительной механике: Теоретические основы изопериметрического метода. — М.: Изд-во АСВ, 1997. — 390 с.
  3. Коробко А. В., Фетисова М. А. Определение поперечного изгиба методом интерполяции по коэффициенту формы при аффинном преобразовании пластинок в виде ромбов и параллелограммов Промышленное и гражданское строительство. 2010. № 1. С. 23–24.
  4. Фетисова М. А. Развитие и применение метода интерполяции по коэффициенту формы к решению задач поперечного изгиба пластинок с комбинированными граничными условиями. Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук / Орловский государственный технический университет. Орел, 2010
  5. Фетисова М. А., Володин С. С. Применение метода интерполяции по коэффициенту формы для решения задач строительной механики. Молодой ученый. 2013. № 3. С. 114–116.
  6. Фетисова М. А., Володин С. С. Коэффициент формы как геометрическая характеристика. Молодой ученый. 2011. Т. 1. № 5. С. 105.
  7. Коробко А. В., Фетисова М. А. Способы решения задач поперечного изгиба трапециевидных пластинокСтроительство и реконструкция. 2010. № 1. С. 36.
  8. Фетисова М. А., Калашникова Н. Г. Определение максимального прогиба трапециевидных пластинок с комбинированными граничными условиями с помощью МИКФ. Известия Орловского государственного технического университета. Серия: Строительство и транспорт. 2009. № 1. С. 65.
  9. Фетисова М. А. Определение максимального прогиба параллелограммных и трапециевидных пластинок с помощью МИКФ Молодой ученый. 2008. № 1. С. 36–40.
  10. Борисова Н. В. Особенности проектирования и расчета деревянных ферм на металлических зубчатых пластинах. В сборнике: Вестник строительства и архитектуры Сборник научных трудов. Орел, 2014. С. 105–108.

[1] При значениях угла α < 15o и α > 80o решения, получаемые с помощью МКЭ, начинали резко отклоняться от плавно и монотонно изменяющихся значений F внутри интервала 15о < α < 80o.

Основные термины (генерируются автоматически): пластинка, основная частота колебаний, вид, треугольник, коэффициент формы, максимальный прогиб, равносторонний треугольник, равнобедренный треугольник, решение, прямоугольный треугольник.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle
Задать вопрос