Автор: Соловьева Ольга Александровна

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №11 (115) июнь-1 2016 г.

Дата публикации: 01.06.2016

Статья просмотрена: 329 раз

Библиографическое описание:

Соловьева О. А. Комбинаторные приложения треугольника Паскаля // Молодой ученый. — 2016. — №11. — С. 75-79.



Одним из самых известных и занимательных математических объектов можно назвать треугольник Паскаля, который представляет собой бесконечную числовую таблицу, имеющую треугольную форму и сформированную по следующему принципу: по боковым сторонам стоят единицы и каждое число, кроме этих боковых единиц, представляет собой сумму двух предшествующих чисел. В данном виде термин «треугольник Паскаля» был обнаружен в сочинении Блеза Паскаля «Трактат об арифметическом треугольнике», вышедшем в свет в 1653 году [4, с.27].

Треугольник Паскаля, с одной стороны, является достаточно простой конфигурацией чисел, понятной обучающимся, но, с другой — он привлекает множеством интересных фактов, связывая с их помощью совершенно разные разделы математики. В данной статье рассматриваются моменты эффективного применения арифметического треугольника в курсе комбинаторики и теории вероятности.

Зная определение понятия операции Паскаля, можно выразить биноминальные коэффициенты. Они определяются следующим образом: бином возводят в степени 0, 1, 2, … и выстраивают получающиеся многочлены по возрастанию степени у. Получают:

(1.1)

(1.2)

(1.3)

(1.4)

В итоге общей формулой для каждого целого m ≥ 0 является выражение вида

(1.5), где — некоторые числа.

Многочлен, который расположен в правой части этого соотношения, называют разложением бинома для показателя m. Его коэффициенты (их количество равно р) зависят от m. Коэффициент при в разложении бинома для показателя m обозначается через . Числа носят название биноминальных коэффициентов [4, с.27]. Заметим, что соотношение (1.5) эквивалентно равенству:

Все строки коэффициентов совпадают с соответствующими строками треугольника Паскаля, так как строка коэффициентов разложения для показателя 0 совпадает с нулевой строкой Паскаля. По этой причине числа = 0,1, 2, 3, …, m, причем (1.6).

Таким образом, можно выразить биноминальные коэффициенты через операцию Паскаля: . (1.7)

Эту формулу назовем биномом Ньютона [4, с.30].

Пример 1. Возведите в степень: (u — v)5 [1].

Решение. Имеем (a + b)n, где a = u, b = -v, и n = 5. Необходимо использовать 6-й ряд треугольника Паскаля: 1, 5, 10, 10, 5, 1. Тогда получаем (u — v)5 = [u + (-v)]5 = 1(u)5 + 5(u)4(-v)1 + 10(u)3(-v)2 + 10(u)2(-v)3 + 5(u)(-v)4 + 1(-v)5 = u5–5u4v + 10u3v2–10u2v3 + 5uv4 — v5. Подчеркнем, что знаки членов колеблются между + и -. Когда степень -v является нечетным числом, знак перед ней отрицательный.

Пример 2. Возведите выражение (2z + 3/z) в четвертую степень.

Решение. Аналогично примеру 1, определяем для выражения (a + b)n a = 2z, b=3/z, и n=4. Применяем 5-й ряд треугольника Паскаля:

1, 4, 6, 4, 1. Тогда имеем:

Треугольник Паскаля включает и ряд свойств о сочетаниях и количестве подмножества данного множества. Рассмотрим m — элементное множество. Известно, что любую n — элементную его часть называют сочетанием из заданных m элементов по n и обозначают . Данное выражение имеет смысл при m=0, 1, 2, … и 0 ≤ n ≤ m. При n > m оно равно 0. Число всех частей m — элементного множества обозначим . Таким образом, (1.8) [4, с.34].

Числа есть не что иное, как члены арифметического треугольника. Строка (1.9) получена из (1.10) по закону Паскаля. При m=0 совпадает с нулевой строкой Паскаля. При любом m строка (1.10) совпадает с m-й строкой Паскаля. Следовательно, (1.11). Соотношения (1.8) и (1.11) демонстрируют, что число всех частей m-элементного множества является суммой членов m — й строки Паскаля и равна 2m, то есть (1.12). [4, с.40].

Пример 3. Сколько подмножеств имеет множество {*,), ^, #, @}?

Решение. Множество имеет 5 элементов, тогда число подмножеств равно 25, или 32.

Пример 4. Сеть кафе «Матрена» предлагает следующую начинку для блинчиков: {мясо, творог, варенье, мед, кленовый сироп, сгущенное молоко, сахарная пудра, шоколад, сливочный сыр}.

Сколько разных видов блинчиков может предложить «Матрена», исключая размеры блинчиков или их количество?

Решение. Начинки для каждого блинчика являются элементами подмножества множества всех возможных начинок, а пустое множество это блинчик без начинки. Общее число всевозможных блинчиков будет равно

. Таким образом, «Матрена» может предложить 512 различных блинчиков.

Пример 5. На почте выставлены на продажу 8 различных наборов марок, посвященных спортивной тематике. Сколькими способами можно выбрать из них 3 набора? [3].

Решение:

В треугольнике Паскаля число, показывающее, сколькими способами можно выбрать k элементов из множества, содержащего n различных элементов, стоит на пересечении k-ой диагонали и n-ой строки. Найдем восьмую диагональ сверху и отсчитаем три числа по горизонтали. Получим число 56 (рис. 1).

Новый рисунок (7)

Рис. 1. Решение примера 5 с помощью треугольника Паскаля

Пример 6. На плоскости даны 11 точек, из которых никакие три не лежат на одной прямой и никакие четыре не лежат на одной окружности. Сколько существует окружностей, каждая из которых проходит через три данные точки? [3].

Решение: (рис.2).

Новый рисунок (11)

Рис. 2. Часть треугольника Паскаля, необходимая для решения примера 6

Три точки, не лежащие на одной прямой, составляют треугольник. Вокруг любого треугольника можно описать окружность и притом только одну, то есть вокруг данных треугольников — 165 окружностей.

Рассмотрим один из методов нахождения чисел с использованием факториалов. Положим 0!=1, а для каждого целого аа!=(а-1)!а. При а≥0 а!=1*2*…*а. Операция Паскаля выражается через операцию взятия факториала и арифметические операции путем ряда рассуждений, связанных с формулой , где а ≥ 0, 0 ≤ к ≤ а. В результате строка является нулевой строкой Паскаля. Строку под номером (m+1) по закону Паскаля можно получить из m-ой строчки . Значит, при каждом а=0, 1, 2,… строка совпадет с а-строкой Паскаля и . Отсюда [4, с.27].

Пример 7. Возведите в степень: (p2–2q)5, применяя знания о связи треугольника Паскаля и факториалов [2].

Решение. Определим для (a + b)n a = p2, b = -2q, и n = 5. Тогда, используя бином Ньютона, имеем:

. Наконец, (x2–2y)5 = x10–10x8y + 40x6y2–80x4y3 + 80x2y4–35y5.

Пример 8. Возведите в степень: (2/m + 3)4, используя факториалы.

Решение. Подставим в (a + b)n следующие значения: a = 2/m, b = 3, и n=4. Тогда, используя бином Ньютона, получим:

Таким образом, (2/m +3)4 = 16/x4 + 96/x5/2 + 216/x + 216x1/2 + 81x2.

Пример 9. Найдите 5-й член в выражении (2c — 5d)6 [2]

Решение. Отметим, что 5 = 4 + 1. Тогда k = 4, a = 2c, b = -5d, и n=6. Тогда 5-й член выражения имеет вид:

.

Резюмируя сказанное выше, подчеркнем, что применение треугольника Паскаля является одним из способов, благодаря которому производится построение решений различного типа комбинаторных заданий и задач на вычисление вероятности события. Обратим внимание, что применение арифметического треугольника на тематических уроках математики и факультативных занятиях позволит привнести творческие элементы в процесс выполнения заданий, стимулировать школьников к углубленному изучению комбинаторики и теории вероятности, что повысит уровень их активности и в итоге окажет положительное влияние на развитие интеллектуальных способностей и личностных качеств учащихся.

Литература:

  1. Бином Ньютона. Биноминальное разложение с помощью треугольника Паскаля / [Электронный ресурс]. — Режим доступа: https://www.math10.com/ru/algebra/veroiatnosti/binominalnaya-teorema/binominalnaya-teorema.html (дата обращения: 02. 05. 16)
  2. Треугольник Паскаля / [Электронный ресурс]. — Режим доступа: http://gigabaza.ru/doc/68254.html (дата обращения: 06. 05. 16)
  3. Треугольник Паскаля в комбинаторных задачах / [Электронный ресурс]. — Режим доступа: http://nsportal.ru/ap/library/drugoe/2013/03/27/treugolnik-paskalya-v-kombinatornykh-zadachakh (дата обращения: 10. 05. 16)
  4. Успенский, В. А. Треугольник Паскаля [Текст] / В. А. Успенский // Популярные лекции по математике № 43. — М.: Наука, 1979. — с.48
Основные термины (генерируются автоматически): треугольника Паскаля, Треугольник Паскаля, строкой Паскаля, нулевой строкой Паскаля, помощью треугольника Паскаля, ряд треугольника Паскаля, закону Паскаля, арифметического треугольника, строками треугольника Паскаля, Часть треугольника Паскаля, связи треугольника Паскаля, применение треугольника Паскаля, m-й строкой Паскаля, сочинении Блеза Паскаля, понятия операции Паскаля, треугольник Паскаля, операцию Паскаля, треугольнике Паскаля число, строки Паскаля, а-строкой Паскаля.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle
Задать вопрос