Определение максимального прогиба прямоугольных пластинок | Статья в журнале «Молодой ученый»

Автор:

Рубрика: Технические науки

Опубликовано в Молодой учёный №7 (87) апрель-1 2015 г.

Дата публикации: 20.11.2014

Статья просмотрена: 22 раза

Библиографическое описание:

Володин С. С. Определение максимального прогиба прямоугольных пластинок // Молодой ученый. — 2015. — №7. — С. 100-103. — URL https://moluch.ru/archive/87/13052/ (дата обращения: 21.07.2018).

В статье на нескольких примерах показано, что с помощью метода интерполяции по коэффициенту формы можно достаточно просто определять величину максимального прогиба прямоугольных пластинок со сложными граничными условиями, нагруженных равномерно распределенной нагрузкой. В основе метода интерполяции по коэффициенту формы лежит изопериметрический метод. Основным аргументом в получаемых аналитических зависимостях является отношение коэффициента формы к площади области. Все определенное ограниченное подмножество областей имеют граничные (опорные) решения.

 

The article in propose a new geometry method for definite maximum bend plate in form different and complicated limit condition with equality distribution load. At the heart of an interpolation method on a form factor the isoperimetric method lays. The basic argument in received analytical dependences is the relation of a form factor to the area. All decisions for a certain restrained subset of areas have boundary (basic) decisions.

 

Метод интерполяции по коэффициенту формы предложен А. В. Коробко [1], его основу положены изопериметрические свойства и закономерности интегральной характеристики формы плоской области — коэффициента формы Кf. Впервые коэффициент формы был применен Д. Пойа [2] при построении изопериметрических односторонних и двусторонних неравенств для оценки интегральных физических характеристик в некоторых задачах математической физики.

Коэффициент формы плоской области и является количественной характеристикой формы области и выражается через контурный интеграл:

,                                                                                                                  (1)

где ds — линейный элемент контура области (рис. 1,а); h — высота, опущенная из полюса, взятого в нутрии области, на касательную к переменной точке контура; L — периметр области.

Рис. 1.

 

Для областей с полигональным контуром (Рис.1) выражение (1) имеет вид:

,                                 (2)

где li, hi длина i-той стороны многоугольника и высота, опущенная из полюса на i-ю сторону (рис.1);  и - углы прилежащие к i-той стороне и ограниченные отрезками прямых, проведенными из полюса в углы полигона;n- количество сторон многоугольника.

Для прямоугольников коэффициент формы определяется по формуле:

.                                                                                                    (3)

Более подробные сведения об этой характеристике приведены в работе [1].

Сущность метода интерполяции по коэффициенту формы заключается в следующем. Выбирается геометрическое преобразование заданной пластинки с таким расчетом, чтобы в полученное множество форм пластинок входили хотя бы две, для которых известны решения, либо их можно получить каким-либо точным или приближенным методом. Имея опорные решения, приводим их к изопериметрическому виду:

,                                                                                                         (4)

где n и K — неизвестные параметры.

Эти параметры определяются из известных решений (w0)1 и (w0)2, которые называются опорными решениями, а соответствующие им формы пластинок — опорными фигурами. Используя опорные решения и структуру формул, полученных при преобразовании интегро-дифференциальных соотношений технической теории пластинок:

                                                                                       (5)

.                                                                                            (6)

где индексы 1 и 2 относятся к параметрам двух опорных пластинок. В этих выражениях первые формулы соответствуют опорным пластинкам с различной площадью, а вторые — с равной площадью.

Графически рассмотренная аппроксимация изображена на рисунке 2, где кривая I соответствует действительным значениям wo, а кривая II — приближенным решениям, полученным по формуле (6). Приведенные выше рассуждения основывались на непрерывных геометрических преобразованиях, когда изменение формы фигур рассматриваемого множества происходит непрерывно и монотонно.

Рис. 2

 

Таким образом, МИКФ по своей математической сущности является методом интерполяции по коэффициенту формы решений, расположенных между опорными. Применение МИКФ даёт возможность получать простые аналитические зависимости для определения интегральных характеристик в задачах строительной механики, связанных с выпуклой плоской областью. МИКФ также даёт возможность проводить контрольные проверки результатов решений для конкретных фигур, полученных другими приближенными способами, путём построения этих фигур с помощью различных геометрических преобразований.

Рассмотрим прямоугольные пластинки, нагруженные равномерно распределенной нагрузкой, имеющие комбинированные граничные условия.

Пример 1. Рассмотрим пластинку постоянной толщины, комбинированно опертую рис.3, нагруженную равномерно распределенной по всей поверхности нагрузкой. Требуется найти решение и оценить погрешность для прогиба пластинок в виде прямоугольников с соотношением сторон 1,2; 1,4; 1,6; 1,8; 2; 2,2; 2,4; 2,4; 2,6; 2,8.

Рис. 3 Условия операния пластинки

 

Приняв в качестве опорных фигур пластинки в виде прямоугольников с a/b=1 (Кf = 8; 1000W0 = 2,2138) и a/b=3 (Кf = 13,333; 1000W0 = 0,5999) по формулам МИКФ находим максимальный прогиб для заданных пластин, найденные данные сведены в таблицу 1.

Таблица 1

Значения максимального прогиба прямоугольных пластинок с комбинированными граничными условиями

Характеристики пластинок

a/b

1

1,2

1,4

1,6

1,8

2

2,2

2,4

2,6

2,8

3

1000W0 (МКЭ)

2,2138

2,1227

1,909

1,672

1,4358

1,23

1,055

0,907

0,7856

0,684

0,5999

1000W0(МИКФ)

 

2,1184

1,914

1,669

1,4389

1,231

1,055

0,9087

0,786

0,6849

 

Кf

8

8,1333

8,4571

8,9

9,422

10

10,6182

11,267

11,938

12,628

13,333

Разница, %

 

0,2

0,27

0,2

0,22

0,12

0

0,19

0,06

0,14

 

 

Пример 2. Рассмотрим пластинку постоянной толщины, комбинированно опертую рис.4, нагруженную равномерно распределенной по всей поверхности нагрузкой. Требуется найти решение и оценить погрешность для прогиба пластинок в виде прямоугольников с соотношением сторон 1,2; 1,4; 1,6; 1,8; 2; 2,2; 2,4; 2,4; 2,6; 2,8.

Рис. 4 Условия опирания пластинки

 

Приняв в качестве опорных фигур пластинки в виде прямоугольников с a/b=1 (Кf = 8; 1000W0 = 2,886) и a/b=3 (Кf = 13,333; 1000W0 = 0,603) по формулам МИКФ находим максимальный прогиб для заданных пластин, найденные данные сведены в таблицу 2.

Таблица 2

Значения максимального прогиба прямоугольных пластинок с комбинированными граничными условиями

Характеристики пластинок

a/b

1

1,2

1,4

1,6

1,8

2

2,2

2,4

2,6

2,8

3

1000W0 (МКЭ)

2,886

2,528

2,145

1,803

1,513

1,274

1,079

0,922

0,793

0,689

0,603

1000W0(МИКФ)

 

2,642

2,1836

1,8189

1,5213

1,2785

1,0828

0,9232

0,7953

0,689

 

Кf

8

8,1333

8,4571

8,9

9,422

10

10,6182

11,267

11,938

12,628

13,333

Разница, %

 

4,52

1,798

0,88

0,55

0,35

0,35

0,13

0,3

0

 

 

Анализируя результаты, представленные в таблицах 1 и 2 можно сделать вывод о том, погрешность решения, полученного с помощью метода интерполяции по коэффициенту формы (строка 2 табл. 1 и 2) и метода конечных элементов (строка 1 табл. 1 и 2) мала и не превышает 5 %.

Таким образом, МИКФ дает возможность достаточно просто и с высокой степенью точности находить значения изгиба в задачах строительной механики пластинок, связанных с прямоугольными областями с комбинированными граничными условиями.

 

Литература:

 

1.         Коробко А. В. Геометрическое моделирование формы области в двумерных задачах теории упругости. [Текст] / В. И. Коробко — М.: Изд-во АВС, 1999. — 320с.

2.         Полиа Г., Сеге Г. Изопериметрические неравенства в математической физике. — М.: Госматиздат, 1962. — 336с.

3.         Фетисова М. А., Калашникова Н. Г. Определение максимального прогиба трапециевидных пластинок с комбинированными граничными условиями с помощью МИКФ/ Известия ОрелГТУ. Серия «Строительство. Транспорт». — Орел: изд-во ОрелГТУ, 2009. — № 1. — с.65–67.

4.         Коробко А. В., Фетисова М. А. Определение поперечного изгиба методом интерполяции по коэффициенту формы при аффинном преобразовании пластинок в виде ромбов и параллелограммов с комбинированными граничными условиями/ Промышленное и гражданское строительство. Москва, 2010. — № 1. — С.23–24.

5.         Коробко А. В., Фетисова М. А. Способы решения задач поперечного изгиба трапециевидных пластинок/ «Строительство. Реконструкция». — Орел: изд-во ОрелГТУ, 2010. — № 1. — С. 36–39.

Основные термины (генерируются автоматически): коэффициент формы, максимальный прогиб, вид прямоугольников, решение, метод интерполяции, опорная фигура пластинки, плоская область, помощь метода интерполяции, прогиб пластинок, пластинка постоянной толщины.


Похожие статьи

Применение метода интерполяции по коэффициенту формы...

В статье предлагается способ применения метода интерполяции по коэффициенту формы для определения максимального прогиба пластинок с комбинированными граничными условиями.

Решение задач строительной механики по определению...

Показано, что с помощью метода интерполяции по коэффициенту формы (МИКФ) можно с использованием найденных граничных кривых достаточно просто получить решение для пластинки в виде произвольного треугольника с комбинированными граничными условиями.

Обучение математике студентов средних специальных заведений...

Сущность метода интерполяции по коэффициенту формы заключается в следующем.

Значения прогиба для опорных пластинок находятся с помощью метода конечных элементов: w01=0,256мм; w02=0,7849мм.

Коэффициент формы как геометрическая характеристика

– 320 с. Фетисова, М.А. Развитие и применение метода интерполяции по коэффициенту формы к решению задач поперечного изгиба пластинок с комбинированными граничными условиями: диссертация ... кандидата технических наук...

Определение максимального прогиба параллелограммных...

Определение максимального прогиба параллелограммных и трапециевидных пластинок с помощью МИКФ.

Этот учет осуществляется через характер общения с учащимися, через содержание и формы учебных заданий.

Методы математического описания контуров лекал швейных...

‒ математическое описание контуров лекал в удобном и компактном виде, основанное на использовании методов аппроксимаций

Рис. 1. Схематичное изображение аппроксимации контура дугой окружности с учетом допустимой ошибки: а — постоянный прогиб участка...

Интерполяция сплайнами 7-го порядка с дефектом 4

; ; . Решение системы имеет вид

- значение целевой функции (оценка кручения) на элементарном интервале интерполяции, определяемое по формуле

Анализ методов вычисления коэффициентов приближения параболическими сплайнами.

К расчету пластин переменной жесткости | Статья в журнале...

Ключевые слова: дифференциальная прогонка, задача Коши, метод Канторович — Власова, изгиб балки переменного сечения, цилиндрической оболочки переменной толщины, прямоугольной пластинки переменной жесткости.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

Применение метода интерполяции по коэффициенту формы...

В статье предлагается способ применения метода интерполяции по коэффициенту формы для определения максимального прогиба пластинок с комбинированными граничными условиями.

Решение задач строительной механики по определению...

Показано, что с помощью метода интерполяции по коэффициенту формы (МИКФ) можно с использованием найденных граничных кривых достаточно просто получить решение для пластинки в виде произвольного треугольника с комбинированными граничными условиями.

Обучение математике студентов средних специальных заведений...

Сущность метода интерполяции по коэффициенту формы заключается в следующем.

Значения прогиба для опорных пластинок находятся с помощью метода конечных элементов: w01=0,256мм; w02=0,7849мм.

Коэффициент формы как геометрическая характеристика

– 320 с. Фетисова, М.А. Развитие и применение метода интерполяции по коэффициенту формы к решению задач поперечного изгиба пластинок с комбинированными граничными условиями: диссертация ... кандидата технических наук...

Определение максимального прогиба параллелограммных...

Определение максимального прогиба параллелограммных и трапециевидных пластинок с помощью МИКФ.

Этот учет осуществляется через характер общения с учащимися, через содержание и формы учебных заданий.

Методы математического описания контуров лекал швейных...

‒ математическое описание контуров лекал в удобном и компактном виде, основанное на использовании методов аппроксимаций

Рис. 1. Схематичное изображение аппроксимации контура дугой окружности с учетом допустимой ошибки: а — постоянный прогиб участка...

Интерполяция сплайнами 7-го порядка с дефектом 4

; ; . Решение системы имеет вид

- значение целевой функции (оценка кручения) на элементарном интервале интерполяции, определяемое по формуле

Анализ методов вычисления коэффициентов приближения параболическими сплайнами.

К расчету пластин переменной жесткости | Статья в журнале...

Ключевые слова: дифференциальная прогонка, задача Коши, метод Канторович — Власова, изгиб балки переменного сечения, цилиндрической оболочки переменной толщины, прямоугольной пластинки переменной жесткости.

Задать вопрос